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专项小卷十六　与切线性质有关的证明与计算
1.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，CD平分∠ACB交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线交CA的延长线于点E.
(1)求证：AB∥DE；
(2)若⊙O的半径为2，∠CAB=30°，求图中阴影部分的面积.
第1题图
2.如图，已知 ABCD，以AD为直径作⊙O与边BC相切于点E，延长BA交⊙O于点F，连接DF，EF.
(1)求证：FE是∠AFD的平分线；
(2)若BE=3CE，DF=4，求EF的长.
第2题图
3.如图，在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点E，交BC于点F，连接BD，OD.
(1)求证：DF⊥BC；
(2)延长DO交⊙O于点M，连接BM，求证：∠BMD=∠BDE.
第3题图
4.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB=AD=CD，过点A作⊙O的切线AE交CD的延长线于点E，F为线段AE上一点，连接AC，BD交于点G，连接DF，且AF=DG.
(1)判断四边形AFDG的形状，并说明理由；
(2)若AB=10，cos∠ABD=，求AE的长.
第4题图
5.如图，已知AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，连接AC交⊙O于点D，F为的中点，连接BF交AC于点E，过点C作CG⊥BE于点G.
(1)求证：CG平分∠ACB；
(2)若AB=2，AE=2，求BF的长.
第5题图
6.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC边上，过A，B，D三点的⊙O与AC相切，直径AE交BC于点F，连接BE.
(1)求证：BE=EF；
(2)若BF=2，DF=3，求AB的长.
第6题图
7.如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，切点为A，过点B作BD∥AC交⊙O于点D，BC⊥BD，E是劣弧AD上一点，且=2，连接AE并延长，交BD的延长线于点F.
(1)求证：AC=BD；
(2)若⊙O的半径r=5，BC=8，求线段EF的长.
第7题图
8.如图，AB为⊙O的直径，以AB为边作等腰△ABC，AB=BC，AC，BC分别交⊙O于点D，E，连接DE，过点D作⊙O的切线交BA的延长线于点F，交BC于点G.
(1)求证：CD=DE；
(2)若DG=2CG=4，求AF的长.
第8题图
9.如图，已知AB是⊙O的直径，C为AB上方⊙O上一点，M为的中点，连接OM，与AC交于点G，过点M作MD⊥AB于点D，交AC于点E，延长DM，与过点C的切线相交于点F.
(1)求证：AC=2DM；
(2)若FM=ME=2，求△FEC的周长.
第9题图
参考答案
1.(1)证明：如解图，连接OD.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠ACB=45°，
∴∠AOD=2∠ACD=90°，
∵DE是⊙O的切线，OD为⊙O的半径，
∴OD⊥DE，
∴∠AOD＋∠ODE=180°，
∴AB∥DE；
第1题解图
(2)解：如解图，过点A作AF⊥DE于点F，
∵OA=OD，∠AOD=∠ODF=∠AFD=90°，
∴四边形AODF为正方形，
∴AF=OA=2，
∵AB∥DE，
∴∠E=∠CAB=30°，∴EF=AF=2，
∴S阴影=S△AEF＋(S正方形AODF－S扇形AOD)=EF AF＋(OA2－)=2＋4－π.
2.(1)证明：如解图，连接OE，
∵⊙O与边BC相切于点E，∴OE⊥BC.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴OE⊥AD，
∴∠DOE=∠AOE=90°，
∴∠DFE=∠BFE=45°，
∴EF是∠AFD的平分线；
(2)解：如解图，延长DC，FE交于点G，
由(1)知，∠DFE=∠BFE=45°.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠EGC=∠BFE=45°，
∴∠FDG=90°，
∴△FDG是等腰直角三角形，
∴FG=DF=4.
∵AB∥CD，
∴===3，
∴EF=3EG，
∴EF=FG=3.
第2题解图
3.证明：(1)∵OA=OD，AB=BC，
∴∠A=∠ODA，∠A=∠C，
∴∠C=∠ODA，
∴OD∥BC，
∴∠BFE=∠ODE，
∵DE为⊙O的切线，OD为⊙O的半径，
∴∠ODE=90°，
∴∠BFE=90°，
∴DF⊥BC；
(2)如解图，∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ODA＋∠ODB=90°，
∵∠ODE=90°，
∴∠ODB＋∠BDE=90°，
∴∠ODA=∠BDE，
由(1)得∠ODA=∠A，
∴∠A=∠BDE.
∵=，
∴∠A=∠BMD，
∴∠BMD=∠BDE.
第3题解图
4.解：(1)四边形AFDG是菱形.
理由如下：如解图，连接OA，交BD于点H，
∵AB=AD，∴=，
∴AO⊥BD，∴∠AHB=90°，
∵AE为⊙O的切线，
∴∠EAO=90°，
∴∠AHB=∠EAO=90°，
∴AE∥BD，
∵AF=DG，
∴四边形AFDG为平行四边形.
∵AB=CD，∴=，
∴∠CAD=∠ADB，
∴AG=DG，
∴四边形AFDG是菱形；
第4题解图
(2)如解图，由(1)得∠AHB=90°，
∴cos∠ABD==，
∵AB=10，
∴BH=，∴BD=，
∵AB=AD=CD，
∴==，
∴∠ACB=∠ABD=∠ACD=∠CBD，
∴∠ABC=∠BCD，
∵BC=BC，
∴△ABC≌△DCB，
∴AC=BD=，
∵∠DAG=∠DBA，∠ADG=∠BDA，
∴△ADG∽△BDA，
∴=，即=，∴AG=6，∴DG=6，
∵AE∥BD，∴△CDG∽△CEA，
∴=，即=，
∴AE=.
5.(1)证明：如解图，连接AF，
∵F为的中点，
∴=，
∴∠FAD=∠ABF，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AFB=90°，
∵CG⊥BF，
∴CG∥AF，∠BCG＋∠CBG=90°，
∴∠ECG=∠FAD=∠ABF，
∵BC为⊙O的切线，
∴∠ABC=90°，即∠ABF＋∠CBG=90°，
∴∠BCG=∠ABF，
∴∠ECG=∠BCG，
∴CG平分∠ACB.
第5题解图
(2)解：∵CG平分∠ACB，CG⊥BE，∴CE=CB，
在Rt△ABC中，由BC2＋AB2=AC2得BC2＋(2)2=(BC＋2)2，解得BC=2，
在Rt△ABC中，tan∠ACB==，
∴∠ACB=60°，
∴△CEB是等边三角形，
∴∠CBE=60°，
∴∠EBA=30°，
∴BF=AB cos 30°=3.
6.(1)证明：∵AE为⊙O的直径，AC为⊙O的切线，
∴∠ABE=∠EAC=90°，
∴∠ABC＋∠EBF=90°，∠AFC＋∠C=90°，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，
∴∠EBF=∠AFC，
∵∠AFC=∠EFB，
∴∠EFB=∠EBF，
∴BE=EF；
(2)解：如图，连接AD，
∵=，
∴∠EBF=∠EAD，
由(1)知∠EBF=∠AFC，
∴∠DFA=∠DAF，
∴DA=DF=3，
∵∠ABC=90°－∠EBF，∠CAD=90°－∠EAD，
∴∠ABC=∠CAD，
∵∠ABC=∠C，
∴∠C=∠CAD，
∴DC=DA=3，
∴BC=BF＋DF＋DC=8.
∵∠C=∠C，
∴△ABC∽△DAC，
∴=，
∴AC2=BC DC=24，
∴AC=2，
∴AB=2.
第6题解图
7.(1)证明：如解图，连接AO并延长，交BD于点M，交⊙O于点N，
∵AC是⊙O的切线，OA为⊙O的半径，
∴∠MAC=90°，
∵AC∥BD，
∴∠AMB=90°，
∵AN是⊙O的直径，
∴BM=BD，
∵BC⊥BD，
∴∠CBM=90°，
∴四边形ACBM是矩形，
∴AC=BM，
∴AC=BD；
第7题解图
(2)解：如解图，连接OD，EN，由(1)得，四边形ACBM是矩形，
∴AM=BC=8，∠OMD=∠OMB=90°，
∵⊙O的半径r=5，
∴OM=AM－AO=3，AN=10，
在Rt△ODM中，
DM===4，
∴BD=2DM=8，
∵AN⊥BD，AN是⊙O的直径，
∴=，∠AEN=90°，
∵=2，
∴=，=，
∴EN=BD=8，
易得∠AEN=90°，
∴在Rt△AEN中，AE===6，
∵=，
∴∠EAM=∠DON，
∵∠AMF=∠OMD，
∴△AMF∽△OMD，
∴=，即=，
解得AF=，
∴EF=AF－AE=－6=.
8.(1)证明：如解图，连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BD，
∵AB=BC，
∴AD=CD，∠ABD=∠CBD，
∴=，
∴AD=DE，
∴CD=DE；
第8题解图
(2)解：如解图，连接OD，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
由(1)得∠ABD=∠CBD，
∴∠ODB=∠CBD，
∴OD∥BC，
∵FG是⊙O的切线，D为切点，
∴OD⊥FG，
∴BC⊥FG，
∴∠DGB=90°，
∵∠CDG＋∠BDG=90°，∠DBG＋∠BDG=90°，
∴∠CDG=∠DBG，
∵DG=2CG=4，
∴tan∠CBD=tan∠CDG===，CG=2，
∴BG=8，
∴BC=BG＋CG=8＋2=10，
∴AB=10，
∴OD=OA=AB=5，
由OD∥BC可得△BGF∽△ODF，
∴=，
∴=，
∴AF=.
9.(1)证明：∵M为的中点，
∴OG⊥AC，AG=GC，即AC=2AG，
在△MOD和△AOG中，
，
∴△MOD≌△AOG(AAS)，
∴AG=MD，
∴AC=2MD；
(2)解：如解图，连接OC，过点F作FH⊥AC于点H，
∵CF为⊙O的切线，
∴OC⊥FC，
∴∠FCA＋∠ACO=90°，
∵OA=OC，∴∠A=∠ACO，
又∵∠FEC=∠AED，∠AED＋∠A=90°，
∴∠FCA=∠FEC，
∴FE=FC=4，
∴H为EC的中点，
由(1)知△MOD≌△AOG，
∴∠A=∠EMG，DO=GO，OM=OA，
∴MG=AD，
∴△AED≌△MEG，
∴AE=ME=2，DE=EG，
∵M为EF的中点，MG∥FH，
∴G为EH的中点，
设DE=x，
则EG=GH=x，HC=2x，
∵AC=2DM，∴6x=2(2＋x)，
解得x=1，
∴EC=4，
∴△FEC的周长为4×3=12.
第9题解图
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

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