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专项小卷十七　与切线判定有关的证明与计算
1.如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，位于AB两侧，过点C的射线与BA的延长线交于点P，连接AC，AD，BC，CD，且∠ABC=∠ACP.
(1)求证：PC是⊙O的切线；
(2)若AB=4，sin∠ADC=，求PC的长.
第1题图
2.如图，在△ABC中，AB=AC，AB为⊙O的直径，⊙O与BC交于点D，与AC交于点E，F是AD延长线上一点，连接FB，FC，且FC⊥AC.
(1)求证：FB是⊙O的切线；
(2)若BF=2，⊙O的半径为3，求BC的长.
第2题图
3.如图，AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点C，AO的延长线交⊙O于点D，E是上不与B，D重合的点，连接BE，DE，sin A=.
(1)求∠BED的度数；
(2)若⊙O的半径为3，点F在AB的延长线上，且BF=3，连接DF，求证：DF与⊙O相切.
第3题图
4.如图，AB是⊙O的直径，AC，CD是⊙O的弦，=，过点D作DE∥AC，且与AB的延长线交于点E，过点A作AF⊥DE，交ED的延长线于点F.
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径r=5，DE=10，求AF的长.
第4题图
5.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是OB的中点，连接CD并延长至点E，使DE=CD，连接AE与⊙O交于点F，连接CF，BE，且∠AFC=45°.
(1)求证：BE是⊙O的切线；
(2)若OB=4，求EF的长.
第5题图
6.如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接BC，AC，OC，过点O作OE∥BC交⊙O于点E(E，C在AB异侧)，过点E作EF⊥AB于点F，D为AB延长线上一点，连接DC，且∠BCD=∠A，连接EB.
(1)判断CD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
(2)连接CE，求证：∠BEF=∠OEC.
第6题图
7.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接BC，作OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE，AD.
(1)求证：BE是⊙O的切线；
(2)当⊙O的半径为9，OD=6时，求AD的长.
第7题图
8.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上异于A，B的点，连接AC，BC，D是⊙O外一点，连接BD，CD，CD交AB于点E，已知AC=AE，BC=BD.
(1)求证：BD是⊙O的切线；
(2)若BD=AC，BE=2－2，求图中阴影部分的面积.
第8题图
9.如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接BO并延长至圆外一点D，BD交AC于点E，交⊙O于点F，已知CD是⊙O的切线，F是的中点，连接AD，AD∥BC.
(1)求证：AD是⊙O的切线；
(2)若BC=6，求EF的长.
第9题图
参考答案
1.(1)证明：如解图，连接OC，
∵OB=OC，
∴∠ABC=∠BCO，
∵∠ABC=∠ACP，
∴∠BCO=∠ACP，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ACO＋∠BCO=90°，
∴∠ACO＋∠ACP=90°，即∠OCP=90°，
∴OC⊥CP，
∵OC是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线；
第1题解图
(2)解：∵D是⊙O上一点，AC=AC，
∴∠ADC=∠ABC，
∴sin∠ABC=sin∠ADC=，
在Rt△ABC中，sin∠ABC==，AB=4，
∴AC=AO=CO=AB=2，
∴△AOC是等边三角形，∠AOC=60°，
由(1)知，∠OCP=90°，
∴在Rt△OCP中，PC=CO tan 60°=2.
2.(1)证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
又∵AB=AC，
∴AF是线段BC的垂直平分线，
∴FB=FC，
在△ABF和△ACF中，
，
∴△ABF≌△ACF(SSS)，
∴∠ABF=∠ACF，
∵FC⊥AC，
∴∠ABF=∠ACF=90°，即FB⊥AB，
∵AB是⊙O的直径，
∴FB是⊙O的切线；
(2)解：∵AB=2OA=6，BF=2，
∴在Rt△ABF中，由勾股定理得AF===2，
由(1)知BD⊥AF，
∴S△ABF=AB BF=AF BD，
∴BD===，
由(1)知AF是线段BC的垂直平分线，
∴BC=2BD=.
3.(1)解：如解图，连接OB，
∵AB与⊙O相切于点B，
∴OB⊥AB，∠OBA=90°，
∵sin A=，∴∠A=30°，
∴∠AOB=60°，∴∠BOD=120°，
∵点E在BCD上，
∴∠BED=∠BOD=60°；
第3题解图
(2)证明：如解图，连接OF，
由(1)得∠BOD=120°，OB⊥AB，
即∠OBF=90°，
∵OB=3，BF=3，
∴tan∠BOF===，
∴∠BOF=60°，∴∠DOF=60°，
在△BOF与△DOF中，
，
∴△BOF≌△DOF(SAS)，
∴∠ODF=∠OBF=90°，
∵OD为⊙O的半径，
∴DF与⊙O相切.
4.(1)证明：如解图，连接DO并延长交AC于点G，
∵=，OD是⊙O的半径，∴DG⊥AC，
∵AC∥DE，
∴∠EDG=∠DGA=90°，
∴DE是⊙O的切线；
第4题解图
(2)解：由(1)得∠EDG=∠DGA=90°，
∵DE=10，OD=r=5，
∴OE==5，
∵∠EDO=∠AGO，∠DOE=∠GOA，
∴△DOE∽△GOA，
∴=，即=，
解得GO=，
∴DG=OD＋GO=5＋，
∵∠F=∠FDG=∠DGA=90°，
∴四边形AGDF是矩形，
∴AF=DG=5＋.
5.(1)证明：如解图①，连接OC，
∵∠AFC=45°，
∴∠AOC=2∠AFC=90°，
∴∠BOC=90°，
∵D为OB的中点，
∴OD=BD，
∵CD=DE，∠ODC=∠BDE，
∴△COD≌△EBD，
∴∠EBD=∠COD=90°，即OB⊥BE，
∵OB为⊙O的半径，
∴BE是⊙O的切线；
第5题解图①
(2)解：由(1)可得BE=OC=OB=4，∠ABE=90°，
∴AB=8，
∴在Rt△ABE中，
AE==4，
如解图②，连接BF，OC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AFB=90°，
∵∠AFB=∠ABE=90°，∠A=∠A，
∴△AFB∽△ABE，
∴=，即=，
解得AF=，
∴EF=AE－AF=4－=.
第5题解图②
6.(1)解：CD与⊙O相切，证明如下：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
即∠ACO＋∠OCB=90°，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∵∠BCD=∠A，
∴∠BCD=∠ACO，
∴∠BCD＋∠OCB=90°，
∴∠OCD=90°，即OC⊥CD，
∵OC为⊙O的半径，
∴CD为⊙O的切线；
(2)证明：如解图，∵=，
∴∠A=∠BEC，
∵OE∥BC，
∴∠EOB=∠ABC，
∵EF⊥AB，
∴∠OFE=90°，
∴∠EOB＋∠OEF=90°，
∵∠A＋∠ABC=90°，
∴∠A=∠OEF，
∴∠OEF=∠BEC，
∴∠OEF－∠CEF=∠BEC－∠CEF，
即∠BEF=∠OEC.
第6题解图
7.(1)证明：如解图，连接OC，
∵CE是⊙O的切线，OC是⊙O的半径，∴∠OCE=90°，
∵OC=OB，OD⊥BC，∴OD是△BOC的角平分线，
即∠BOE=∠COE.
又∵OE=OE，
∴△BOE≌△COE(SAS)，
∴∠OBE=∠OCE=90°，
∴OB⊥BE，
∵OB是⊙O的半径，
∴BE是⊙O的切线；
(2)解：如解图，过点D作DH⊥AB于点H，
∴∠DHO=90°，
由题意得OE⊥BC，OA=OB=9，∴∠DOH＋∠ODH=∠DOH＋∠ABC=90°，
∴∠ODH=∠ABC，
∴sin∠ODH==sin∠ABC==，即=，
∴OH=4，∴DH==2，
∵AH=OA＋OH=9＋4=13，
∴AD==3.
第7题解图
8. (1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，
∵AC=AE，∴∠ACE=∠AEC，
∵BC=BD，∴∠BCD=∠D，
∴∠ACB=∠ACE＋∠BCD=∠AEC＋∠D=90°，
∵∠AEC=∠BED，∴∠BED＋∠D=90°，
∴∠ABD=90°，即OB⊥BD，
∵OB是⊙O的半径，
∴BD是⊙O的切线；
(2)解：∵BD=AC，BD=BC，∴AC=BC，
由(1)知，∠ACB=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
设AC=AE=BC=x，由sin∠CAB=，得=，解得x=2，
∴AC=BC=2，∴AB=2，∴OA=OB=，
∴S阴影=S半圆－S△ABC=π×()2－×2×2=π－2.
9.(1)证明：如解图，连接OA，OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD=90°，
∵F是的中点，∴=，
∵BF是⊙O的直径，
∴BF垂直平分AC，
∴AD=CD，
∵OD=OD，OA=OC，
∴△AOD≌△COD，
∴∠OCD=∠OAD=90°，
∴OA⊥AD，
又∵OA是⊙O的半径，
∴AD是⊙O的切线；
第9题解图
(2)解：∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD=90°，
∵AD∥BC，
∴∠ADC＋∠BCD=180°，
∠DAC=∠ACB，
由(1)知BF垂直平分AC，
∴AB=BC，AD=CD，
∴∠DCA=∠DAC，
∴∠DCA=∠ACB，
在△BCE和△DCE中，
，
∴△BCE≌△DCE(ASA)，
∴BC=CD，
∴AB=BC=CD=DA，
∴四边形ABCD是菱形，
设∠CBD=x，∴∠ADB=∠CDB=∠CBD=x，
∵OB=OC，∴∠CBD=∠OCB，
∴∠CBD＋∠CDB＋∠OCD＋∠OCB=180°，
即3x=90°，解得x=30°，即∠CBD=∠OCB=30°，
∵BF垂直平分AC，
∴∠BEC=90°，
∴∠OCE=30°，∴CE=BC=3，
∴在Rt△OCE中，OE=CE tan∠OCE=，OC==2，
∴OF=OC=2，
∴EF=OF－OE=.
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