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2026年山西省太原市部分学校中考数学模拟试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.数轴上表示-5的点到原点的距离为（　　）
A. -5 B. 0 C. 5 D.
2.下列调查方式中，适合采用全面调查（普查）的是（　　）
A. 调查九年级一班学生的寒假作业完成情况
B. 检测一批新能源汽车电池的续航寿命
C. 调查山西电视台某节目的收视率
D. 了解全国中学生对“中国天眼”FAST的认知程度
3.下列运算正确的是（　　）
A. a2+a3=a6 B. （a2）3=a5 C. a6÷a2=a3 D. （ab2）3=a3b6
4.某工厂的零件加工车间里，有一个L形的金属零件（如图），它由两个长方体拼接而成，则它的主视图为（　　）
A.
B.
C.
D.
5.将一副三角板ABC和DEF按照如图所示的方式放置，DE与BC交于点G.已知∠B=∠F=90°，∠A=60°，∠E=45°.若EF⊥AC，则∠DGC的度数为（　　）
A. 60°
B. 65°
C. 75°
D. 80°
6.已知反比例函数，下列说法正确的是（　　）
A. 图象与两坐标轴相交 B. 图象位于第二、四象限
C. y随x的增大而增大 D. 图象经过点（-1，-3）
7.《算学启蒙》是中国古代重要的著作，书中记载：今有军士分甲，人分五领，少十领；人分四领，多二领，问军士、甲各几何？题目大意：今有士兵分铠甲，如果每人分5领，则缺少10领，如果每人分4领，则多出2领.问士兵和铠甲各有多少？设士兵有x人，铠甲有y领，则所列方程组正确的是（　　）
A. B. C. D.
8.如图，在等腰直角三角形OAB中，以点O为原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，且OA=OB=4，将△OAB绕原点O顺时针旋转45°得到△OA′B′，则点B的对应点B′的坐标为（　　）
A.
B.
C.
D.
9.甲、乙、丙、丁四名同学在配制硫酸铜溶液的实验中，分别记录了所配制溶液中溶质质量m1（单位：g）与溶液质量m2（单位：g）的数据，并绘制了如图所示的变化关系图象，根据化学知识可知，溶质的质量分数=.判断四名同学所配制的溶液中，溶质的质量分数最大的是（　　）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
10.如图，在正六边形ABCDEF中，连接AE，DF交于点O，以点O为圆心，OA的长为半径作⊙O，与正六边形交于点D.若正六边形的边长为，则的长为（　　）
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.因式分解：= ．
12.2026年2月10日-3月30日，晋阳湖公园举办非遗展.已知某展位展示的商品成本价为a元，若将成本价增加20元作为标价，后又以标价的八折进行销售，则该商品的售价为 （用含a的代数式表示）元.
13.每年4月的第四周为全民阅读活动周.某学校计划开展“书香三晋”校园读书活动，设置了经典诵读、读书分享、主题演讲、征文比赛四项活动，小张和小李各自从中随机选择一项参加，则他俩选择同一项活动的概率是 .
14.如图，四边形ABCD是边长为4的菱形，∠DAB=60°，延长AB至点E，使得BE=AB，连接ED交BC于点F，连接AF，CE，则AF的长为 .
15.某温室大棚的拱架呈抛物线型（图1），如图2，以拱架底部AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴，过点O且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，y轴与抛物线交于顶点M.已知AB=6m,现要在距离底部3m高处安装一根与AB平行的通风管CD，通风管CD的长度为3m,则拱架最高点M距底部AB的高度为 m.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
（1）计算：；
（2）解不等式组.
17.(本小题7分)
如图，在矩形ABCD中，AB＜AD，点E是边AD上一点，连接CE.
（1）尺规作图：在边AD上找一点P，使得点P到点E，C的距离相等（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）.
（2）在（1）的条件下，连接PC.若，求PE的长.
18.(本小题8分)
为响应校园科技节“AI赋能创意未来”的主题，某校举办了AI创意编程挑战赛，最后甲、乙两位同学进入最终决赛，决赛从创意设计、代码实现、答辩展示三项进行评分（每项评分满分均为10分），每项均有5位评委评分，取5位评委评分的平均数作为该项的最终成绩.
数据整理：将甲、乙两位同学的创意设计得分成绩整理成如下统计图.
数据分析：甲、乙两位同学三项得分的最终成绩整理如表：
成绩/分
创意设计 代码实现 答辩展示
甲 a 8 8
乙 7.6 9 7
请认真阅读上述信息，回答下列问题：
（1）填空：a=______.
（2）有人认为“乙同学创意设计得分中有2个满分，因此乙同学的创意设计更能获得评委的认可”，你认同这种说法吗？并说明理由（写出一条即可）.
（3）如果将创意设计、代码实现、答辩展示三项成绩按照3：3：4的比例计算最终决赛成绩，最终决赛成绩高的选手获得一等奖，通过计算说明甲、乙两位同学谁会获得一等奖.
19.(本小题7分)
为推进乡村振兴，建设美丽乡村，某乡村计划安装路灯.已知每盏太阳能路灯的价格比普通路灯贵200元；用12000元采购太阳能路灯的盏数与用9000元采购普通路灯的盏数相同.求每盏太阳能路灯的价格.
20.(本小题8分)
项目式学习
项目背景：山西省晋中市榆次区无限城前面的“小月亮”LED球形屏（也称为月球旋转巨幕），是华北首个旋转LED球形巨幕.某校综合实践活动小组的同学围绕“测量LED球形屏的直径”这一主题开展项目学习活动，形成了如下活动报告.
项目主题 测量LED球形屏的直径
数学抽象 如图，MN表示水平地面，线段AB表示LED球形屏的直径（AB⊥MN）
活动准备 无人机、卷尺（可测量距离）
活动过程 方案说明 如图是该综合实践活动小组的测量示意图.无人机从距AB水平距离12m的点C处竖直向上飞行到点D，此时测得点B的仰角为26°，再竖直向上飞行25m到达点F，此时测得点A的俯角为18°，图中各点均在同一竖直平面内，点C，M，N在同一水平直线上.
计算 …
交流展示 …
请根据上述数据，计算LED球形屏的直径（结果精确到1m,参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32，sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49）.
21.(本小题9分)
阅读与思考
下面是小顾同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务.
三角形的旁心
【概念理解】与三角形两条边的延长线、第三条边都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心是三角形第三条边所对内角的平分线与另外两个外角的平分线的交点，叫做三角形的旁心.如图1，AO平分∠BAC，BO平分∠DBC，CO平分∠ECB，⊙O分别与AD，BC，AE相切，所以点O是△ABC的旁心，⊙O是△ABC的旁切圆.
【性质探索】1.每个三角形都有_____个旁心，且所有旁心均位于三角形_____（填“内部”“边上”或“外部”）.
2.三角形的旁心到三角形三边的距离相等，且到三边的距离与三角形的边长和面积存在数量关系.
如图2，点O是△ABC的旁心，设ABC，∠ABC，∠ACB所对的边长分别为a,b,c,过点O分别向BC，AB，AC作垂线，与边BC及AB，AC的延长线分别交于点E，D，F.
①求证：OD=OE=OF.
②若OD=OE=OF=h,求证：.
证明：①∵AO平分∠BAC，OD⊥AB，OF⊥AC，
∴OD=OF（依据）.
同理，OD=OE，OE=OF.
∴OD=OE=OF.
②∵
任务：
（1）填空：材料中【性质探索】的两个横线处分别填______和______，证明过程中的“依据”是指______.
（2）请补全材料中②的证明过程.
（3）如图3，在等边三角形ABC中，AB=2，O，且△ABC的旁切圆，与AB，AC的延长线分别相切于点D，E.请直接写出图中阴影部分的面积.
22.(本小题13分)
综合与实践
问题背景：节假日期间，旅游景区开园检票时游客排队是常见的现象.某校数学兴趣小组对某景区每天开园60分钟内“排队检票人数与开园时间、开放检票窗口之间的关系”开展了综合与实践活动.
调研数据：信息1：景区开园时，检票窗口同时开始检票.已知每个检票窗口每分钟可检票14人.
信息2：景区开园后，到达景区的总人数y（单位：人）与开园时间x（单位：min）满足二次函数y=-x2+120x+160（0＜x≤60）.
信息3：开园后不断有新的游客到达检票窗口，任意时刻满足：排队检票人数ω（单位：人）=到达景区的总人数-已检票人数.
建立模型：开园时景区同时开放6个检票窗口（该景区共有10个检票窗口）.
（1）①开园x min,6个检票窗口已检票的人数为______（用含x的代数式表示）.
②排队检票人数ω与开园时间x之间的函数关系式为______.
（2）求开园多少分钟不再有游客排队检票.
问题解决：（3）为了让游客尽快完成检票，开园时同时开放，和个检票窗口，可以使得排队检票人数最晚在15分钟达到最大值.求n的最小值.
23.(本小题13分)
综合与探究
问题情境：如图1，在 ABCD中，AB=4，∠B=60°，点E为AB的中点，点F是BC边上的一个动点，连接EF，将 ABCD沿EF折叠，点B的对应点为B′.
猜想验证：（1）如图2，当点F与点C重合时，点B′恰好与点A重合，猜想四边形ABCD的形状，并说明理由.
深入探究：（2）点F在边BC上移动（不与点B，C重合），当直线FB′与边AD交于点H时.
①请用图3证明AH=B′H.
②连接CH，当△CFH是等腰直角三角形时，请直接写出边BC的长.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】A
10.【答案】C
11.【答案】（x+3）（x-3）
12.【答案】（0.8a+16）
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】4
16.【答案】-3 -4＜x＜3
17.【答案】作图如下：
2
18.【答案】7.6 不认同，理由如下：
由图可知，甲同学创意设计得分的中位数为8分，乙同学得分的中位数为7分，故甲同学的中位数高于乙同学的中位数，所以甲同学的创意设计更能获得评委的认可（答案不唯一） 甲同学会获得一等奖
19.【答案】800元．
20.【答案】15m．
21.【答案】三个;外部;角平分线上的点到角的两边距离相等 证明：S△ABC=S△ABO+S△ACO-S△CBO，
∴，
∵OD=OE=OF=h，BC=a，AB=c，AC=b，
∴，
∴ 3-π
22.【答案】84x;ω=-x2+36x+160 40 min 7
23.【答案】四边形ABCD是菱形；理由如下：
∵将 ABCD沿EF折叠，点B的对应点为B′，
∴EF垂直平分AB，
∴BC=AC，
又∵∠B=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AB=BC，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD为菱形 ①如图3，四边形ABCD为平行四边形，延长FE交DA的延长线于点K，连接EH，
∴AD∥BC，
∴∠B=∠KAB，∠BFE=∠K，
∵点E为AB的中点，
∴AE=BE，
在△AEK和△BEF中，
，
∴△AEK≌△BEF（AAS），
∴BF=AK，EF=EK，
∵将 ABCD沿EF折叠，点B的对应点为B′，
∴∠BFE=∠B′FE，B′F=BF，
∴∠K=∠B′FE，B′F=AK，
∴HK=HF，
∴HK-AK=HF-B′F，即AH=B′H；②或或
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