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2026年甘肃省庆阳三中中考数学模拟试卷（一）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列实数中，比2小的数是（　　）
A. 5 B. 4 C. 3 D. -1
2.南梁革命纪念馆位于甘肃省庆阳市华池县南梁镇，是为纪念老一辈无产阶级革命家创建的我国西北第一个红色政权——陕甘边区苏维埃政府而建立的.纪念馆总占地面积约160000平方米，数据160000用科学记数法表示为（　　）
A. 1.6×103 B. 1.6×104 C. 1.6×105 D. 1.6×106
3.下列计算正确的是（　　）
A. x+2x=3x2 B. x2 x3=x5 C. x6÷x2=x D. （xy）2=xy2
4.如图是一个正三棱柱，则它的俯视图是（　　）
A.
B.
C.
D.
5.若关于x的一元二次方程（a-1）x2+2x+1=0有实数根，则实数a的取值范围是（　　）
A. a≤2 B. a＜2 C. a≤2且a≠1 D. a＜2且a≠1
6.如图，直线l与正五边形ABCDE的边AB、DE分别交于点M、N，则∠1+∠2的度数为（　　）

A. 216°
B. 180°
C. 144°
D. 120°
7.如图，AB为⊙O的直径，点C，D是⊙O上位于AB异侧的两点，连接AD，CD.若，则∠D的度数为（　　）
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 75°
8.奥林匹克精神强调“更快、更高、更强——更团结”，中国体育代表团在夏季奥运会上不断突破，展现了中华民族自强不息的精神风貌.如图，这是1996年至2024年中国夏季奥运会金牌数统计图，下列结论错误的是（　　）
A. 2008年，中国获得金牌48枚
B. 2024年，中国获得金牌40枚
C. 2024年金牌数是1996年的2.5倍
D. 1996年至2024年，中国夏季奥运会金牌数逐年上升
9.便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周的利润y（单位：元）与每件销售价x（单位：元）之间的关系满足y=-2（x-20）2+1558，由于某种原因，价格需满足15≤x≤18，那么一周可获得的最大利润是（　　）
A. 1508元 B. 1550元 C. 1554元 D. 1558元
10.如图，在正方形ABCD中，AB=3cm，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度运动，同时动点N自D点出发沿折线DC-CB以每秒2cm的速度运动，到达B点时运动同时停止，设△AMN的面积为y（cm2），运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（　　）

A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.因式分解：2x2-x= ______.
12.方程的解是x= .
13.已知反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是 .
14.如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，AC⊥BC，且AB=5，AD=3，则OA的长是 .
15.如图1，“矩”在古代指两条边成直角的曲尺，它的两边长分别为a,b.中国古老的天文和数学著作《周髀算经》中简明扼要地阐述了“矩”的功能：“平距以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方.”其中“偃矩以望高”的意思就是把“矩”仰立放可测物体的高度.如图2，从“矩”AFE的一端A望向树顶端的点C，使视线通过“矩”的另一端E，测得BD=8m,AB=1.6m.若“矩”的边EF=a=30cm,边AF=b=60cm,则树CD的高为 m.
16.我们知道有机物是生命产生的物质基础，所有的生命体都含有有机物.有机物主要是由碳元素、氢元素组成.烷烃是一类最基本的有机物，从结构上可看作其他各类有机物的母体，而球棍模型能够直观地展示各个原子之间的化学键连接情况.如图，这是几种常见烷烃的球棍模型，依此规律，C12Hx中的x= .
三、解答题：本题共11小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题5分)
计算：.
18.(本小题5分)
解不等式组：.
19.(本小题5分)
化简：.
20.(本小题5分)
数学家笛卡尔于1596年出生于法国，他在数学研究工作中关注那些需要作特定长度的几何问题，在其著作《几何学》中指出“仅用尺规可以完成四种算术运算和开平方”笛卡尔用尺规求一个数的算术平方根的方法如下：
如图：已知，线段AB的长为a,延长BA至点C，使AC=1，点O为BC的中点.
①以BC的中点O为圆心，以OB的长为半径作圆；
②以点A为圆心，AC长为半径画弧，交线段AB于点E；
③分别以点C，E为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交线段BC上方于点M；
④连接AM交⊙O的上半部分于点D，即得垂线段AD.
所得AD的长是AB的长的算术平方根.
请你根据以上步骤在图中完成尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）.
21.(本小题5分)
“高天厚土看庆阳”是甘肃庆阳文旅的宣传标语.小明、小红准备采用抽签的方式，各自随机选取庆阳四个景点（A.周祖陵；B.北石窟寺；C.南梁红色旅游景区；D.马嵬驿庆州古城）中的一个景点游玩，四支签分别标有A，B，C，D.
（1）小明抽一次签，他恰好抽到D景区的概率是______；
（2）若规定其中一人抽完签后，放回，下一个人再抽，请用列表或画树状图的方法，求小明、小红抽到同一景点的概率.
22.(本小题7分)
为了响应国家“双减”政策，适当改变作业的方式，某校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动.如图，大楼的顶部竖有一块广告牌CD，同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1：，AB=12米，AE=27米，求广告牌CD的高度.（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）
23.(本小题8分)
2025年10月31日，神舟二十一号载人飞船发射取得圆满成功，航天员乘组顺利进驻中国空间站.为增加学生对航空航天知识的知晓率，某校组织八、九年级学生进行了航空航天知识竞赛，并从八、九年级各随机抽取了20名学生的竞赛成绩，进行了整理和分析（竞赛成绩用x表示，总分100分，80分及以上为优秀，共分为四个等级：A.90≤x≤100，B.80≤x＜90，C.70≤x＜80，D.0≤x＜70），部分信息如下：
八年级20名学生的竞赛成绩为：30，40，50，55，60，60，65，70，70，70，70，72，75，78，85，87，90，93，100，100
九年级20名学生的竞赛成绩中B等级包含的所有数据为：80，80，80，80，82
八、九年级抽取学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 众数 中位数 优秀率
八年级 71 a 70 30%
九年级 71 80 b c%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a=______，b=______，c=______.
（2）根据上述数据，你认为该校八、九年级的航空航天知识竞赛哪个年级的学生成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）.
（3）若该校八年级有600人，九年级有800人参加本次竞赛活动，请估计该校八、九年级参加竞赛的学生中共有多少人成绩为优秀.
24.(本小题8分)
如图，反比例函数与一次函数y=2x+m的图象交于点A（1，4），BC⊥y轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B、C.
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）连接AB，若OD=1，求△ABC的面积.
25.(本小题8分)
如图，AB为半⊙O的直径，点C为半⊙O上的一点，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D，AD交半⊙O于点E.
（1）如图1，连接AC，求证：AC平分∠DAB；
（2）如图2，若AB=13，CD=6，求DE的长.
26.(本小题8分)
如图1，在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG，CG，
（1）写出线段EG和CG的数量关系和位置关系，并说明理由.
（2）如图2，将△BEF绕点B逆时针旋转90°，则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想.
（3）如图3，将△BEF绕点B逆时针旋转180°，则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并说明理由.
27.(本小题8分)
已知抛物线y=a（x+1）（x-4）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，2）.P为第一象限抛物线上的点，连接CA，CB，PB，PC.
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1所示，当∠PCB=2∠OCA时，求点P的坐标；
（3）如图2所示，点D在y轴负半轴上，OD=OB，点Q为抛物线上一点，∠QBD=90°.点E，F分别为△BDQ的边DQ，DB上的动点，且QE=DF，记BE+QF的最小值为m.
①求m的值；
②设△PCB的面积为S，若，请直接写出k的取值范围.
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】B
10.【答案】A
11.【答案】x（2x-1）
12.【答案】
13.【答案】k＜3
14.【答案】2
15.【答案】5.6
16.【答案】26
17.【答案】
18.【答案】-2≤x＜3．
19.【答案】x+2．
20.【答案】
21.【答案】
22.【答案】解：如图，过点B作BM⊥AE，BN⊥CE，垂足分别为M，N，
根据题意可知，∠CBN=45°，∠DAE=53°，，AB=12米，AE=27米，
∵，
∴∠BAM=30°，
∴（米），（米），
∴ME=AM+AE=（6+27）米，
∵∠CBN=45°，
∴CN=BN=ME=（6+27）米，
∴CE=CN+NE=（6+33）米，
在Rt△ADE中，∠DAE=53°，AE=27米，
∴DE=AE tan53°≈27×=36（米），
∴CD=CE-DE=6+33-36=6-3≈10.38-3≈7.4（米），
答：广告牌CD的高约为7.4米．
23.【答案】70;80;55 九年级成绩更好，因为九年级的众数和中位数以及优秀率都比八年级的高 估计该校八、九年级知识竞赛成绩为优秀的总人数为620人
24.【答案】解：（1）∵点A（1，4）在反比例函数图象上，
∴k=1×4=4，
∴反比例函数解析式为：y=，
∵y=2x+m的图象过点A（1，4），
∴4=2×1+m.解得m=2，
∴一次函数解析式为：y=2x+2．
（2）将y=1代入y=得x=4，
∴B（4，1），
将y=1代入y=2x+2得x=-，
∴C（-，1），
∴BC=4-（-）=，
∴S△ABC=×（4-1）=．
25.【答案】连接OC，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC=90°，
∴∠OCD+∠ADC=180°，
∴AD∥OC，
∴∠1=∠3，
∵OA=OC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2，
则AC平分∠DAB 4
26.【答案】EG=CG，EG⊥CG；理由如下：
如图1，正方形ABCD中，延长EG和AD交于点H，连接CE、CH，
∴BC=DC，∠A=∠EBC=∠BCD=∠ADC=∠HDC=90°，∠ABD=45°，
∵EF⊥AB，
∴∠BEF=90°，
∴△BEF是等腰直角三角形，BE=EF，
∵∠BEF=∠A=90°，
∴EF∥AH，
∴∠EFG=∠HDG，
∵点G是FD的中点，
∴FG=DG，
在△EFG和△HDG中，
，
∴△EFG≌△HDG（ASA），
∴EG=HG，EF=HD，
∴BE=HD，
又∵∠EBC=∠HDC=90°，BC=DC，
∴△BCE≌△DCH（SAS），
∴CE=CH，∠BCE=∠DCH，
∴∠BCE+∠DCE=∠DCH+∠DCE，
即∠BCD=∠ECH=90°，
∴△CEH是等腰直角三角形，
∵EG=HG，
∴，CG⊥EH，
即EG=CG，EG⊥CG EG=CG，EG⊥CG EG=CG，EG⊥CG；理由如下：
如图3，延长EG交AD于点H，连接CE、CH，
由（1）得，△BEF是等腰直角三角形，
∴BE=EF，∠BEF=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠ABC=∠BCD=90°，BC=DC，
由旋转的性质得，A，B，E三点共线，
∴∠EBC=90°，
∵∠BEF=∠A=90°，
∴EF∥AD，
∴∠EFG=∠HDG，
∵点G是FD的中点，
∴FG=DG，
在△EFG和△HDG中，
，
∴△EFG≌△HDG（ASA），
∴EG=HG，EF=HD，
∴BE=HD，
又∵∠EBC=∠HDC=90°，BC=DC，
∴△BCE≌△DCH（SAS），
∴CE=CH，∠BCE=∠DCH，
∴∠BCE+∠BCH=∠DCH+∠BCH，
即∠ECH=∠BCD=90°，
∴△CEH是等腰直角三角形，
∵EG=HG，
∴，CG⊥EH，
即EG=CG，EG⊥CG
27.【答案】 点P的坐标为（2，3） ①m的值为；②13≤k＜17
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