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2025-2026学年江苏省南通市海门中学附属学校八年级（下）第一次月考数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，小明想利用“∠A=30°，AB=6cm,BC=4cm”这些条件作△ABC.他先作出了∠A和AB，再用圆规作BC时，发现点C出现C1和C2两个位置，那么C1C2的长是（　　）.
A. 3cm B. 4cm C. 2cm D. 2cm
2.若x1，x2是方程x2+bx-3b=0的两个根，且，则b的值是（　　）
A. 1 B. -7 C. 1或7 D. 7或-1
3.已知二次函数y=mx2-4mx+5（m≠0），将此函数图象向下平移4|m|个单位，若所得图象的顶点落在x轴上，则m的值为（　　）
A. B. C. D.
4.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE是⊙O的直径，若⊙O的半径为6，∠ADC-∠ABC=40°，则的长度为（　　）
A.
B.
C. 3π
D. 8π
5.已知实数x,y满足x+y=2，-1＜y-2x＜1，则下列结论不正确的是（　　）
A. B. 1＜y C. -1＜y-x＜0 D. 1＜2y
6.关于x的一元二次方程x2-2x-t=0在0＜x＜3的范围内有解，则实数t的取值范围是（　　）
A. 0＜t＜3 B. -1＜t＜3 C. -1≤t≤3 D. 0＜t≤3
7.我们知道y=f（x）是函数的一种表达方式.形如y=kx+b（k≠0，k,b为常数）的一次函数，我们可把它记为f（x）=kx+b.如：f（x）=2x+1，当x=1时，f（1）=2×1+1=3.已知函数y=f（x）满足f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）-2024，则下列说法正确的是（　　）
A. f（0）=1012 B. f（0）=-2024
C. y=f（x）-2024的图象经过原点 D. y=f（x）-2024的图象关于y轴对称
8.如图，E是正方形ABCD边BC上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，且EF=AE，连接AF交CD于点G，BE=2，EC=1，则DG的长为（　　）
A.
B.
C.
D.
9.如图，AB是⊙O的直径，AB=4，弦BC=2，P是⊙O上的动点，取AP的中点D，则CD的最大值为（　　）
A.
B.
C.
D.
10.若x2+y2=1，则的值为（　　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、填空题：本题共6小题，共22分。
11.已知（a2+b2）2-a2-b2-6=0，求a2+b2的值为 .
12.燃放烟花爆竹是中国春节的传统民俗.某品牌的烟花2013年除夕每箱进价100元，售价250元，销售40箱.而2014年除夕当天和去年相比，该店的销售量下降了4a%（a为正整数），每箱售价提高了a%，成本增加了50%，其销售利润仅为去年当天利润的50%，则a的值为 .
13.如图，在矩形ABCD中，AD=6，AB=4，点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、AD上，且AF=CG=2，BE=DH=1，点P是直线EF、GH之间任意一点，连接PE、PF、PG、PH，则△PEF和△PGH的面积和等于______．
14.若关于x的两个方程都有实数根，则代数式（2p-q+2）（2p-q-2）的最小值等于 .
15.已知二次函数的解析式为y=-x2+2mx-m2+4，当6≤x≤m+3时，函数最大值与最小值的差为8，则m的值等于 .
16.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（4，4），C（5，2），连接AB，BC，P（x,y）为折线段A-B-C上的动点（P不与点A，C重合），记t=|y+a|，其中a为实数.
（1）当a=-2时，t的最大值为 ；
（2）若t存在最大值，则a的取值范围为 .
三、解答题：本题共7小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
解下列方程：
（1）x（x-2）=4（x-2）；
（2）.
18.(本小题12分)
求证：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.要求根据上述文字命题，写出“已知”和“求证”，并画出符合题意的图形，写出证明过程.
19.(本小题12分)
如图，在矩形ABCD中，点F是CD中点，连接AF并延长交BC的延长线于点E，连接AC，DE.
（1）求证：四边形ACED为平行四边形.
（2）若AB=1，DE=，求点D到AC的距离.
20.(本小题12分)
某公司的化工产品成本为30元/千克.销售部门规定：一次性销售1000千克以内时，以50元/千克的价格销售；一次性销售不低于1000千克时，每增加1千克降价0.01元.考虑到降价对利润的影响，一次性销售高于1750千克时，均以固定价格42.5元销售.设一次性销售利润为y元，一次性销售量为x千克.
（1）当一次性销售量为800千克时，求利润为多少元？
（2）当一次性销售量为1000≤x≤1750时，求一次性销售利润y的最大值；
（3）当一次性销售利润y为多少元时，其对应的销售量的值有且只有两个？请你直接写出此时一次性销售利润y的值.
21.(本小题12分)
如图，已知正方形ABCD中，E为CB延长线上一点，且BE=AB，M、N分别为AE、BC的中点，连DE交AB于O，MN交ED于H点．
（1）求证：AO=BO；
（2）求证：∠HEB=∠HNB；
（3）过A作AP⊥ED于P点，连BP，则的值．
22.(本小题12分)
我们定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
（1）请说明方程x2-3x+2=0是倍根方程；
（2）若（x-2）（mx+n）=0是倍根方程，则m，n具有怎样的关系？
（3）若一元二次方程ax2+bx+c=0（b2-4ac≥0）是倍根方程，则a，b，c的等量关系是______．（直接写出结果）
23.(本小题13分)
在直角坐标系中，设函数y=（x-m）（x-n）（m、n是实数）.
（1）当m=1时，若该函数的图象经过点（2，6），求函数表达式.
（2）若n=m-1，且当x≤-2时，y随x的增大而减小，求m的取值范围.
（3）若该函数图象经过（0，a），（3，b）两点（a、b是实数）当2≤m＜n≤3时，求ab的取值范围.
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】A
10.【答案】D
11.【答案】3
12.【答案】10
13.【答案】7
14.【答案】-4
15.【答案】5
16.【答案】2
a≥-2.5．

17.【答案】x1=2，x2=4 x1=，x2=-
18.【答案】如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB于点H，求证：AH=BH，=，=．
证明：如图，连接OA，OB．
∵OA=OB，OC⊥AB于点H，
∴AH=BH，∠AOC=∠BOC，
∴=，
∵=，
∴=．
19.【答案】（1）证明：∵F是CD中点，
∴DF=CF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，即AD∥CE．
∴∠ADF=∠ECF，
在△ADF和△ECF中，，
∴△ADF≌△ECF（ASA），
∴AD=CE，
∴四边形ACED为平行四边形．
（2）解：作DG⊥AC于G，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，CD=AB=1，
由（1）得：四边形ACED为平行四边形，
∴AC=DE=，
由勾股定理得：AD===2，
∵DG⊥AC，
∴△ADC的面积=AC×DG=AD×CD，
∴DG===，
即点D到AC的距离为．
20.【答案】解：（1）根据题意，当x=800时，y=800×（50-30）=800×20=16000，
∴当一次性销售量为800千克时利润为16000元；
（2）一次性销售量1000≤x≤1750时，
销售价格为50-30-0.01（x-1000）=-0.01 x+30，
∴y=x（-0.01x+30）=-0.01x2+30x
=-0.01（x2-3000 x）=-0.01（x-1500）2+22500，
∵-0.01＜0，1000≤x≤1750，
∴当x=1500时，y有最大值，最大值为22500，
∴一次性销售量1000≤x≤1750时的最大利润为22500元；
（3）①当一次性销售量0≤x≤1000时，利润y=（50-30）x=20 x,故0≤y≤20000；
②当一次性销售量1000≤x≤1750时，由（2）知，当x=1500时，y有最大值22500，
当x=1750时，y=-0.01（1750-1500）2+22500=21875，
∴右端点B（1750，21875），
又当x=1000时，y=20000，即左端点A（1000，20000），
∴当一次性销售量1000≤x≤1500时，20000≤y≤22500，
当一次性销售量1500≤x≤1750时，21875≤y≤22500，
③当一次性销售量x≥1750时，均以某一固定价格销售，
又B（1750，21875），故由图象可知，y≥21875；
由上述分析可得，当0≤y＜21875或y＞22500时，其对应的销售量的值有且只有1个；
当y=21875或y=22500时，其对应的销售量的值有且只有两个；
当21875＜y＜22500时，其对应的销售量的值有且只有3个．
21.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，AD∥BC，
∴∠DAB=∠ABE，∠ADO=∠BEO，
∵AB=BE，
∴AD=BE，
∴△ADO≌△BEO（AAS），
∴AO=BO；
（2）证明：延长BC至F，且使CF=BE，连接AF、DF，如图1所示：
则BF=CE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=DC，AD∥BC，∠BAD=∠ABC=∠DCB=90°，
在△ABF和△DCE中，，
∴△ABF≌△DCE（SAS），
∴∠DEC=∠AFB，
∵EB=CF，BN=CN，
∴N为EF的中点，
∴MN为△AEF的中位线，
∴MN∥AF，
∴∠HNB=∠AFB=∠HEB；
（3）解：过点B作BQ⊥BP交DE于Q，如图2所示：
则∠PBQ=90°，
∵∠ABE=180°-∠ABC=90°，
∴∠EBQ=∠ABP，
∵AD∥BC，
∴∠ADP=∠BEQ，
∵AP⊥DE，∠BAD=90°，
由角的互余关系得：∠BAP=∠ADP，
∴∠BEQ=∠BAP，
在△BEQ和△BAP中，，
∴△BEQ≌△BAP（ASA），
∴PA=QE，QB=PB，
∴△PBQ是等腰直角三角形，
∴PQ=PB，
∴==．
22.【答案】（1）（x-2）（x-1）=0，
x-2=0或x-1=0，
∴x1=2，x2=1，
∴方程x2-3x+2=0是倍根方程；
（2）∵（x-2）（mx+n）=0，
∴x1=2，x2=-，
当-=2×2时，n=-4m，即4m+n=0；
当-=×2时，n=-m，即m+n=0；
综上所述，m、n的关系式为4m+n=0或m+n=0．
（3）2b2=9ac．
23.【答案】解：（1）当m=1时，则y=（x-1）（x-n），
把点（2，6）代入y=（x-1）（x-n）得，6=（2-1）（2-n），
∴n=-4，
∴y=（x-1）（x+4），即y=x2+3x-4；
（2）∵y=（x-m）（x-n），
∴抛物线与x轴的交点为（m,0），（n,0），
∴抛物线的对称轴为直线x=，
∴n=m-1，
∴对称轴为直线x=m-，
∵抛物线开口向上且当x≤-2时，y随x的增大而减小，
∴m-≥-2，
∴m≥-；
（3）证明：∵函数的图象经过（0，a），（3，b）两点（a,b是实数），
∴a=mn,b=（3-m） （3-n），
∴ab=mn （3-m） （3-n）
=m（3-m） n（3-n）
=[-（m-）2+][-（n-）2+]，
∵2≤m＜n≤3，
∴0＜-（m-）2+≤2，
0≤-（n-）2+＜2，
∴0≤ab＜4．
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