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2025-2026学年浙江省台州市临海市杜桥镇八年级（下）第一次月考数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.式子有意义，则x的取值范围是（　　）
A. x＞3 B. x＜3 C. x≥3 D. x≤3
2.下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A. B.
C. D.
3.不等式组的解集在数轴上表示为（　　）
A. B.
C. D.
4.在下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）
A. x2-2y+1=0 B. x2=2+3x C. D. x（x-1）-x2=2
5.下列计算正确的是（　　）
A. B. C. D.
6.如图，在△ABC中，AB=8，BC=6，以A，C为圆心、大于AC的长为半径画圆弧，两弧相交于点M，N，过M，N作直线与AB相交于点D，则△BCD的周长为（　　）
A. 7 B. 10 C. 11 D. 14
7.关于x的不等式组的解集为x＜-6，那么a的取值范围为（　　）
A. a=2 B. a≥-6 C. a＜2 D. a＞-6
8.将方程x2-6x+1=0配方后，原方程变形为（　　）
A. （x-3）2=8 B. （x-3）2=-8 C. （x-3）2=9 D. （x-3）2=-9
9.新能源汽车已逐渐成为人们的交通工具，据某品牌新能源汽车经销商1月至3月份统计，该品牌新能源汽车1月份销售1000辆，3月份销售1210辆.设月平均增长率为x,根据题意，下列方程正确的是（　　）
A. 1210（1-x）2=1000 B. 1000（1+x）2=1210
C. 1000（1+2x）=1210 D. 1210（1-2x）=1000
10.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB=2，BC=4，∠ABC=60°，直线EF过点O，连接DF，交AC于点G，连BG，△DCF的周长等于6，下列说法正确的个数为（　　）
①∠EOD=90°；
②S△DFC=2S△AEO；
③；
④.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.当x=1时，则二次根式= .
12.若m是方程3x2-x-2=0的一个解，则2m-6m2的值为 .
13.已知（x1，y1），（x2，y2）为直线y=x-1上的两个点，且y1＞y2，则x1 x2（填“＜”或“＞”）.
14.关于x的一元二次方程（a-1）x2-2x+1=0有实数根，则a的取值范围是______．
15.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D是BC的中点，点P、Q分别为AD、AC上的动点，则CP+PQ的最小值=______．
16.如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，，∠ABD=30°，∠AOD=135°，则 ABCD的面积为 .
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题9分)
计算：
（1）；
（2）.
18.(本小题9分)
解下列方程：
（1）x2=-5x；
（2）x2-4x+3=0.
19.(本小题9分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-3，2），B（-1，3），C（2，1）.
（1）作出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1（点A、B、C的对应点分别为点A1、B1、C1）；
（2）点A1的坐标是______，点C1的坐标是______；
（3）求△ABC的面积.
20.(本小题9分)
如图，在△ABD中，AC是BD边上的高，点E在AC上，AC=BC，CE=CD，连接BE并延长，交AD于点F.
（1）求证：BE=AD；
（2）若BF平分∠ABD，AF=2，求BE的长.
21.(本小题9分)
在四边形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=∠D，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F.
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AF=2AE，BC=6，求CD的长.
22.(本小题9分)
定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足b=a+c,那么我们称这个方程为“有爱方程”.
（1）判断一元二次方程（2x+1）2=1是否为“有爱方程”，并说明理由；
（2）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）为“有爱方程”，证明：x=-1为“有爱方程”的根；
（3）已知3x2-ax+b=0是关于x的“有爱方程”，若a是该“有爱方程”的一个根，求a的值.
23.(本小题9分)
根据所提供材料，解决以下问题任务.
材料一 内容
某商贸公司经销甲、乙两个品种的葡萄，其中甲品种葡萄收购进价为5元/斤，乙品种葡萄的进货所需总金额y（单位：元）与乙品种葡萄的进货量x（单位：斤）之间的函数关系如图所示.经过试销，在H城市销售甲、乙两个品种葡萄的售价分别为7元/斤和14元/斤.
材料二 在“葡萄节”开节当日，该商贸公司收购了甲、乙两个品种的葡萄共2000斤，其中乙品种的收购量不低于400斤，且不高于1000斤.
材料三 葡萄运到H城市，商场发现顾客对甲、乙两个品种葡萄都很喜欢，于是决定把两种葡萄进行混合销售，并适当让利给消费者.
任务一 求图中直线MN函数解析式.
任务二 若从收购点运到商场的其他各种费用还需要200元，且收购的葡萄能全部售完.设销售完甲、乙两个品种的葡萄所获的总利润为w元（利润=销售额-成本）.试求w（单位：元）与乙品种葡萄的进货量x（单位：斤）之间的函数关系式，并为该商贸公司设计获得最大利润的收购方案.
任务三 在任务二获得的最大利润的基础上，商场决定把最大利润的让利给购买者，那么混合销售葡萄的销售价应定为多少元？
24.(本小题9分)
如图1，在平行四边形ABCD中，∠ABC为钝角，BE，BF分别为边AD，CD上的高，交边AD，CD于点E，F，连结EF，BF=EF.
（1）求证：∠EBF=∠C；
（2）求证：CF=DF；
（3）如图2，若∠DBC=45°，以点B为原点建立平面直角坐标系，点C坐标为，点P为直线CE上一动点，当S△BCP=S△BDE时，求出此时点P的坐标.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】B
10.【答案】D
11.【答案】1
12.【答案】-4
13.【答案】＞
14.【答案】a≤2且a≠1
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】-1；
1-2．
18.【答案】解：（1）x2=-5x,
移项得x2+5x=0，
∴x（x+5）=0，
则x=0或x+5=0，
解得x1=0，x2=-5；
（2）x2-4x+3=0．
∴（x-3）（x-1）=0，
则x-3=0或x-1=0，
解得x1=1，x2=3．
19.【答案】△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，如图即为所求；
（-3，-2）；（2，-1）；

20.【答案】（1）证明：∵AC是BD边上的高，
∴∠BCE=∠ACD=90°，
在△BCE和△ACD中，
，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE=AD；
（2）解：由（1）知△BCE≌△ACD，
∴∠CBE=∠CAD，
∵∠ACD=90°，
∴∠CAD+∠D=90°，
∴∠CBE+∠D=90°，
∴∠BFD=∠BFA=90°，
∵BF平分∠ABD，
∴∠DBF=∠ABF，
在△DBF和△ABF中，
，
∴△DBF≌△ABF（ASA），
∴DF=AF，
∵AF=2，
∴DF=2，
∴AD=AF+DF=4，
由（1）知BE=AD，
∴BE=4．
21.【答案】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠B=180°，
∵∠B=∠D，
∴∠BAD+∠D=180°，
∴AB∥CD，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，
∴平行四边形的面积=BC×AE=CD×AF，
∵AF=2AE，
∴BC=2CD=6，
∴CD=3．
22.【答案】（1）解：一元二次方程（2x+1）2=1是“有爱方程”．理由如下：
∵（2x+1）2=1，
∴4x2+4x+1=1，
∴4x2+4x=0，
∵a=4，b=4，c=0，
∴b=a+c,
∴一元二次方程（2x+1）2=1是“有爱方程”．
（2）证明：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）为“有爱方程”，
∴b=a+c,
∴ax2+（a+c）x+c=0，
∴（x+1）（ax+c）=0，
∴x=-1为“有爱方程”的根．
（3）解：∵3x2-ax+b=0是关于x的“有爱方程”，
∴-a=3+b,
∴3x2-ax-（a+3）=0，
∵a是该“有爱方程”的一个根，
∴3a2-a2-（a+3）=0，
∴（a+1）（2a-3）=0，
∴a=-1或．
23.【答案】解：任务一：设直线MN函数解析式为y=kx+b,
将（50，600），（100，1100）代入，得
，
解得，
∴直线MN函数解析式为y=10x+100．
任务二：由题意可得：乙葡萄的进货量为x斤，甲葡萄的进货量为（2000-x）斤，
乙葡萄的利润=14x-（10x+100）=4x-100，
甲葡萄的利润=（7-5）×（2000-x）=4000-2x,
∴w=（4x-100）+（4000-2x）-200=2x+3700，
∵400≤x≤1000，
∴x=1000时，利润最大，
此时2000-x=1000，
即乙葡萄的进货量为1000斤，甲葡萄的进货量为1000斤．
任务三：当利润最大时，甲、乙葡萄的进货量都为1000斤，
总成本=1000×5+（10×1000+100）+200=15300（元），
总利润=2×1000+3700=5700（元），
让利给购买者后的利润=（元），
总销售额为：=15300+3800=19100（元），
销售价=（元/斤），
即销售价应定为：9.55元/斤．
24.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵BE，BF分别为边AD，CD上的高，
∴AD⊥BE，∠BFC=90°，
∴BE⊥BC，
∴∠EBC=90°=∠BFC，
∴∠EBF+∠CBF=90°=∠C+∠CBF，
∴∠EBF=∠C；
（2）证明：如图2，延长EF，BC交于点H，
∵BF=EF，
∴∠FEB=∠FBE，
∵∠EBC=90°，
∴∠FBH=∠FHB，
∴BF=FH，
∴EF=FH，
∵AD∥BC，
∴∠ADC=∠DCH，
在△EDF和△HCF中，
，
∴△EDF≌△HCF（AAS），
∴DF=CF；
（3）解：如图3，过点P作PG⊥x轴于G，
∵点C坐标为，
∴BC=，
∵BF⊥CD，DF=CF，
∴BD=BC=，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC=45°，
∴△BED是等腰直角三角形，
∴BE=DE=1，
∴S△BED=×1×1=，
∵S△BCP=S△BDE，
∴ PG=，
∴PG=，
∵E（0，1），C（，0），
设直线CE的解析式为：y=kx+b,
∴，
解得：，
∴直线CE的解析式为：y=-x+1，
当y=时，-x+1=，
∴x=-1，
∴点P的坐标为（-1，）．
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