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2025-2026学年吉林省长春市榆树市部分学校九年级（下）月考数学试卷（3月份）
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（　　）
A.
B.
C.
D.
2.中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在”正负术”的注文中指出，可将算等（小相形状的记数工具）：正放表示正数，斜放表示负数.如图①表示的是（+2）+（-2）.根据刘幑的这种表示法，可推算图②中所表示的算式为（　　）
A. （+4）+（+6） B. （-4）+（-6） C. （-4）+（+6） D. （+4）+（-6）
3.下列说法中，正确的是（　　）
A. -2不是单项式 B. -a表示负数
C. -2a2b的次数是2 D. 不是多项式
4.如图，∠A是⊙O的圆周角.∠A=40°，则∠OBC大小是（　　）
A. 50°
B. 60°
C. 40°
D. 80°
5.“等分”是生活中经常会遇到的事情.例如将一根绳子平均分成五段，从数学上看就是将一条线段五等分.如图，过线段AB的一个端点A任意画一条射线AP，在AP上依次取五段相等的线段AA1、A1A2、A2A3、A3A4、A4A5，连结BA5，再分别过点A1、A2、A3、A4画BA5的平行线，则这些平行线就恰好将线段AB平均分成五等份.其中蕴含的数学道理是（　　）
A. 平行于同一条直线的两条直线互相平行
B. 两点确定一条直线
C. 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
6.如图，电线杆AB的中点C处有一标志物，在地面D点处测得标志物的仰角为32°，若点D到电线杆底部点B的距离为a米，则电线杆AB的长可表示为（　　）
A. 2a cos32°米
B. 2a tan32°米
C. 米
D. 米
7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC＞AC.观察下列尺规作图痕迹，能正确作出AB边上的高的是（　　）
A. ①③ B. ①②③ C. ①③④ D. ②③
8.如图，在平面直角坐标系中，点A、C在反比例函数的图象上且关于原点对称，点B、D在反比例函数的图象上.已知点A的坐标为（3，2），点B的横坐标为，若四边形ABCD为矩形，则k2的值为（　　）
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.计算：a2 a3= .
10.某厂第一个月生产零件a个，第二个月生产的零件数比第一个月的1.5倍多200个，则这两个月共生产零件个 .
11.直线y=kx+b（k,b为常数）经过二、三、四象限，且y随x的增大而减小，则该直线的解析式可以是 .（写出一个即可）
12.如图，五边形ABCDE是正五边形，以AB为边，在五边形ABCDE的内部作菱形ABCF，则∠FAE的度数为______.
13.两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆O′的一个直径端点与半圆O的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是 .
14.如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，点D是上一动点（不与A，C重合），给出下列结论：
①∠ADB=∠BDC；
②当DB最长时，DB=2DC；
③当AD=2，CD=3时，；
④当时，四边形ABCD的最大面积是.
上述结论中，所有正确结论的序号是 .
三、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题7分)
先化简，再求值：，其中.
16.(本小题7分)
一个不透明的袋子中共装有三个小球，其中2个红球、1个黄球.这些小球除颜色外都相同.将袋中小球摇匀，小明从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，小亮又在袋中随机摸出一个小球，记下颜色.用画树状图或列表的方法求小明和小亮摸出的球的颜色相同的概率.
17.(本小题7分)
我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两.问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子.问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”
18.(本小题7分)
图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的三个顶点均在格点上，且都在⊙O上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹.
（1）在图①的⊙O上，作点M使∠AMC=∠ABC，点M在格点上且不与点B重合；
（2）在图②的⊙O上，作点N使∠ANC+∠ABC=180°，点N在格点上；
（3）在图③的⊙O上，作点D使∠BDO=∠CDO.
19.(本小题7分)
如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于点D，O为AB的中点，作点D关于点O的对称点E，连接DE，AE，BE.
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）若tan∠DEB=，CD=2，求BC的长.
20.(本小题7分)
某校开展“争做文化代言人，我是北京小使者”系列活动，号召同学们走出校园了解北京文化，积极参与志愿服务.该校从七、八两个年级中各随机抽取10名学生进行知识测评，并统计了这些学生每周志愿服务时长.下面给出了该活动的部分信息.
a.七、八两个年级各10名学生每周志愿服务时长与知识测评得分情况统计图：
b.学生每周志愿服务时长与志愿服务得分对应表：
每周志愿服务时长/小时 1 2 3 大于3
志愿服务得分/分 60 70 80 90
c.每名学生的知识测评得分和志愿服务得分相加得到综合得分，综合得分不低于160分的学生可获得“北京小使者”奖章.
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在两个年级分别抽取的10名学生中，记七、八年级学生每周志愿服务时长的中位数分别为m1，m2，则m1______m2，记七、八年级学生知识测评得分的方差分别为，，则 ______（填“＞”“＜”或“=”）；
（2）某年级所抽取的10名学生的综合得分频数分布直方图如下（数据分6组：第1组120≤x＜130，第2组130≤x＜140，第3组140≤x＜150，第4组150≤x＜160，第5组160≤x＜170，第6组170≤x＜180）；
①该频数分布直方图反映的是 ______（填“七”或“八”）年级的学生得分情况；
②该年级知识测评得分最高的学生其综合得分位于第 ______组；
（3）该校七年级有120名学生，八年级有100名学生.若所有学生都参与了系列活动，则估计两个年级可获得“北京小使者”奖章的学生总人数为 ______.
21.(本小题7分)
【问题背景】
小明家最近购入一辆新能源汽车，为了解汽车电池需要多久能充满，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，小明和爸爸妈妈做了两组实验.
实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量y（%）与时间t（分钟）的关系，数据记录如表：
电池充电状态
时间t（分钟） 0 10 30 60
增加的电量y（%） 0 10 30 60
实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量e（%）与行驶里程s（千米）的关系，数据记录如图：
【建立模型】观察如表、如图发现都是一次函数模型，请结合如表、如图的数据，
（1）y关于t的函数表达式为______；
（2）当汽车充满电的情况下，行驶180千米，此时仪表盘显示的电量e是多少？
【解决问题】
（3）小明家自驾新能源汽车从长春出发去沈阳的辽宁体育馆观看CBA联赛，全程400千米，汽车在充满电量的状态下出发，若电动汽车行驶240千米后，在途中的铁岭服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后新能源汽车仪表盘显示电量e=30，则新能源汽车在服务区充电______分钟.
22.(本小题7分)
解答下列各题：
（1）【问题发现】在△ABC中，AB=2，∠C=60°，则△ABC面积的最大值为______.
（2）【问题探究】如图①，在四边形ABCD中，AB=AD=6，∠BCD=∠BAD=90°，AC=8，求BC+CD的值.
（3）【问题解决】有一个直径为60cm的圆形配件⊙O，如图②所示.现需在该配件上切割出一个四边形孔洞OABC，要求∠O=∠B=60°，OA=OC，并使切割出的四边形孔洞OABC的面积尽可能小.四边形OABC面积的最小值是______.
23.(本小题7分)
如图，，点A是∠MON的边OM上一点，OA=4.点B、C分别是射线OM、射线ON上的动点，BC⊥OM.点P是线段BC的中点，连结AP，过点P作AP的垂线，当该垂线与射线ON有交点时，记交点为Q，以AP、PQ为邻边作矩形APQD.
（1）的值是 ______.
（2）当AP⊥ON时，求OB的长；
（3）当四边形APQD是正方形时，求tan∠BAP的值（求出一个即可）；
（4）当点Q在线段OC上，且矩形APQD与△OBC重合部分的图形是轴对称图形时，直接写出OB的取值范围.
24.(本小题15分)
如图，已知抛物线y=ax2+bx+3（a,b为常数，a≠0）经过A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C.
（1）求抛物线所对应的函数表达式.
（2）在抛物线的对称轴上存在一点D，连接AD，CD.当AD+CD最小时，求点D的坐标.
（3）点E是抛物线上的动点，设点E的横坐标为m.
①当点E在抛物线对称轴右侧时，过点E作EF∥x轴，与抛物线交于点F，G为x轴上一点，当△EFG为以EF为斜边的等腰直角三角形时，求m的值；
②以点E为中心构造正方形PQMN，PQ=|m|，且PQ⊥x轴，当抛物线在正方形内部（包含边界）的图象的最大值与最小值的差为|m|时，直接写出m的取值范围.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】a5
10.【答案】（2.5a+200）个
11.【答案】y=-x-1（答案不唯一）
12.【答案】36°
13.【答案】
14.【答案】①②④
15.【答案】，．
16.【答案】．
17.【答案】解：设每头牛值x两银子，每只羊值y两银子，
依题意得：，
解得：，
答：每头牛值3两银子，每只羊值2两银子．
18.【答案】使∠AMC=∠ABC的点M，如图①即为所求； ∠ ANC+∠ABC=180°的点N，如图②即为所求； 使∠BDO=∠CDO的点D，如图③即为所求．

19.【答案】证明见解析；
2．
20.【答案】解：（1）＜ ，＞ ；
（2） ①八；② 4；
（3）78.
21.【答案】y与t的函数表达式为y=t；
此时仪表盘显示的电量是55%；
30．
22.【答案】
23.【答案】；
；
tan∠BAP=或3；
或4≤OB≤8．
24.【答案】y=-x2+2x+3 D（1，2） ①或；②m≥2或或m＜0
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