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2025-2026学年吉林省四平市九年级（下）第一次月考数学试卷
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.发展新能源汽车是我国汽车强国与绿色发展的核心战略，比亚迪是该战略下技术领先、全球领跑的龙头企业.如图1是其位于深圳坪山的全球总部的六角大楼，该建筑主体是一个正六棱柱（如图2），其示意图的主视图是（　　）
A. B. C. D.
2.投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏.如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜.若四位投壶者分别站在直线l上的点A，B，C，D处往点P处的壶内投箭矢，小明认为站在点C处的投壶者最近会更容易获胜，其中蕴含的数学道理是（　　）
A. 垂线段最短 B. 线段可以度量
C. 两点确定一条直线 D. 两点之间，线段最短
3.如图，A、B为数轴上的两个点，点A对应的数记为a,点B对应的数记为b,则点P（a,b）位于（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4.下列各式中正确的是（　　）
A. a2+a2=2a4 B. （-2a2）3=-6a6 C. a6÷a3=a2 D. a2 a3=a5
5.不等式-3（x-1）≥6的解集是（　　）
A. x≤3 B. x≥-3 C. x≤-1 D. x≥-1
6.如图，OA是⊙O的半径，分别以点O和点A为圆心，大于OA的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN交⊙O于B，C两点，点D是⊙O上一点，点A与点D分别在BC的两侧，连接BD，CD，则∠BDC的度数是（　　）
A. 45°
B. 60°
C. 80°
D. 无法确定
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
7.中国科学院力学研究所研发的一款高超音速无人飞行器速度最高可达7马赫，即每小时飞行距离可达8570000米，数据8570000用科学记数法表示为 .
8.因式分解：x2y-xy2= .
9.石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景.它的分子结构如图所示，所有多边形都是正多边形，则∠ABC的度数为 .
10.以非遗为钥，启乡村共富之门，某村将非遗“绛州鼓乐”纹样印在纯手工制作的背包上进行网上销售，现有甲、乙两个工作组来制作这样的背包.甲工作组每天比乙工作组多做5个，甲工作组做80个所用的时间与乙工作组做60个所用的时间相等，若设甲工作组每天做x个，则根据题意，可列方程为 .
11.综合实践小组的同学们利用自制密度计测量溶液的密度，当密度计悬浮在不同的液体中时，浸在溶液中的高度h（cm）是液体的密度ρ（g/cm3）的反比例函数，其图象如图所示（ρ＞0）.当溶液密度ρ=2.5g/cm3时，密度计浸在溶液中的高度h为 cm.
三、解答题：本题共11小题，共87分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
12.(本小题6分)
先化简，再求值：[（x+y）（x-y）-（x-2y）2-3y2]÷4y,其中x=-2，y=1.
13.(本小题6分)
2025年，中国航天事业迈向全新高度，一系列深空探测任务紧锣密鼓筹备中.在酒泉卫星发射中心的航天器调配区，一场关乎任务成败的资源协调正在进行.这里集结了用于执行不同任务的“天问”系列行星探测器和“神舟”系列载人飞船共15艘.每艘“天问”需1名航天工程师保障，每艘“神舟”需2名工程师协同.现调配20名工程师就绪，求“天问”与“神舟”各有多少艘？
14.(本小题6分)
2026年央视春晚的主题为“骐骥驰骋，势不可挡”.现将分别印有“骐”“骥”“驰”“骋”的四张卡片装在一个不透明的盒子中，这些卡片的形状、大小、质地等完全相同，即除印有的字外无其他差别.
（1）若从盒子中一次随机摸出一张卡片，则摸出的这张卡片上印有“骥”的概率为______；
（2）若从盒子中一次随机摸出2张卡片，请你用列表或画树状图的方法，求摸出的这两张卡片上的字可以组成“驰骋”的概率.
15.(本小题7分)
图①，图②均是5×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B，E，O均在格点上.图①中已画出线段AB，图②中已画出以OE为半径的⊙O，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图.
（1）在图①中，以线段AB为边，画一个四边形ABCD，使其是中心对称图形但不是轴对称图形；
（2）在图②中，画出经过点E的⊙O的切线l.
16.(本小题7分)
如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AB，CD于点E，F，连接AF，CE.
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）如果∠BCE=26°，求∠CAF的度数.
17.(本小题7分)
2026年总台春晚分会场花落合肥，央视春晚的聚光灯将照亮江淮大地.合肥骆岗公园是由323公顷废弃机场蜕变而来的城市绿肺，首个以城市更新为核心，全园免费开放的大型公园.如图是骆岗公园的标志性建筑——全向信标台.小明利用周末时间，前往骆岗公园，借助三角函数知识，对全向信标台的高度进行测量，得到以下数据：如图，在A点用垂直于地面放置的测角仪AE测得顶端D的仰角为53°，在B处测得D的仰角为45°，A、B两点水平距离为14.6m,测角仪AE高为1.6m.求全向信标台DH的高度（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，.
18.(本小题8分)
2025年，国务院印发《国务院关于深入实施“人工智能+”行动的意见》，为人工智能的发展描绘了未来10年的战略蓝图.为了更好地拥抱人工智能，某校八年级信息技术社团在第一次能力测试之后，将人工智能技术应用于社团教学中，两个月后进行了第二次能力测试.从两次能力测试中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，绘制成如图统计图.
根据以上信息，整理、分析数据，得到下表：
平均成绩/分 中位数/分 众数/分
第一次测试 7.2 7.5 b
第二次测试 8 a 8
（1）a=______，b=______；
（2）若规定9分及9分以上为优秀，该社团共200名学生参加了第二次测试，估计在第二次测试中成绩优秀的学生人数；
（3）结合两次测试成绩，通过分析统计量，你能得到什么结论？写出一条即可.
19.(本小题8分)
夏日来临前，某水库的蓄水量一直保持平稳不变，由于持续高温和连日无雨，水库出现干旱情况，水库的蓄水量随着时间的增加而减少，为了研究干旱持续时间x（天）与蓄水量y（万立方米）之间的关系，水库管理人员每隔一段时间进行勘测记录，并从函数角度进行了加下实验探究：
【实验观察】管理人员勘测的数据如下表：
干旱持续时间x（天） 10 20 25 30
蓄水量y（万立方米） 1000 800 700 600
【探索发现】①如图，建立平面直角坐标系，横轴表示干旱持续时间x，纵轴表示蓄水量y，描出以表格中数据为坐标的各点．
②观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直观上，说明理由．
【结论应用】应用上述发现的规律计算：
①水库干旱前的蓄水量是多少？
②如果蓄水量小于400万立方米时，将发出严重干旱警报，干旱持续多少天后将发出严重干旱警报？
20.(本小题10分)
综合与实践：
【实践操作】如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α.点E是△ABC外一点，连接BE，将线段EB绕点E按逆时针方向旋转，旋转角为α，得到线段ED，连接AE，BD，CD.
【探究发现】试证明：△ABE∽△CBD；
【性质应用】如图2，点E为正方形ABCD内一点，连接BE，将线段EB绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，连接BF，AE，DF，求出AE与DF之间的数量关系；
【拓展延伸】如图3，当α=120°时，点E在CA的延长线上，连接BE，将线段EB绕点E按逆时针向旋转120°，得到线段ED，连接DB，DC.求tan∠ECD的值.
21.(本小题10分)
如图，在矩形ABCD中，，AD=3，点E从点A出发，以每秒个单位长度的速度向终点B运动，作∠AEF=30°，EF交AD边或DC边于点F，且∠AEF和矩形ABCD在直线AB同侧，以EF为边向右侧作等边△EFG，设点E运动的时间为x秒，等边△EFG与矩形ABCD重叠部分的面积为y.
（1）当点F在边AD上时，用含x的代数式表示EF的长；
（2）当点G落在DC边上时，求x的值；
（3）求y与x的函数解析式，并写出x的取值范围.
22.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，作直线BC.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是线段BC上方的抛物线上一动点，过点P作PQ∥AB，交BC于点Q，请问线段PQ是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设点D（1，n），点E（1，1-n），将线段DE绕点D顺时针旋转90°后得到线段DF，以DE、DF为边构造正方形DEGF.
①用含n的代数式表示点G的坐标；
②当正方形DEGF的边与二次函数在x≤3范围内的图象有且仅有一个公共点时，请直接写出n的值或取值范围.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】8.57×106
8.【答案】xy（x-y）
9.【答案】120°
10.【答案】
11.【答案】8
12.【答案】x-2y，-4．
13.【答案】“天问”有10艘，“神舟”有5艘．
14.【答案】
15.【答案】四边形ABCD的对称中心M，如图①即为所求； 连接OE，取格点F，连接OF，EF，如图②直线l即为所求．

16.【答案】∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，
∴∠OCF=∠OAE，∠CFO=∠AEO，
∵EF垂直平分AC，
∴OC=OA，
∴△COF≌△AOE（AAS），
∴FC=EA，
∵FC∥EA，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形 32°
17.【答案】全向信标台DH的高度约为60m．
18.【答案】8;8 估计在第二次测试中成绩优秀的学生人数为60人 将人工智能技术应用于社团教学中后，信息技术能力稳步提高．（答案不唯一）
19.【答案】解：【探索发现】
①描出以表格中数据为坐标的各点如下：
②这些点在同一条直线上，设这条直线所对应的函数表达式为y=kx+b，
则，
解得，
∴这条直线所对应的函数表达式为y=-20x+1200；
【结论应用】
①在y=-20x+1200中，令x=0得y=1200，
∴水库干旱前的蓄水量是1200万立方米；
②若y＜400，则-20x+1200＜400，
解得x＞40，
答：干旱持续40天后将发出严重干旱警报．
20.【答案】探究发现：∵AB=AC，BE=DE，∠BAC=∠BED=α，
∴，
∴△BAC∽△BED，
∴，
∴，
又∠ABC=∠EBD，
∴∠ABE=∠CBD，
∴△ABE∽△CBD；
性质应用：；
拓展延伸：．
21.【答案】EF=2x（0＜x≤3） 当时，点G落在DC边上
22.【答案】y=-x2+2x+3 存在；最大值为，此时 ①G（2-2n，1-n）；②或或
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