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2025-2026学年北京市顺义区牛栏山一中实验学校九年级（下）段测数学试卷（3月份）
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列几何体中，主视图是三角形的是（　　）
A. B. C. D.
2.如图，直线GH分别与直线AB、CD相交于点F、E，AB∥CD，若∠AFH=135°，则∠CEG的大小为（　　）
A. 135°
B. 45°
C. 35°
D. 55°
3.实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　）
A. a＞-1 B. a+b=0 C. a-b＜0 D. |a|＜|b|
4.2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，开启对近地小行星2016HO3的探测与采样返回之旅，已知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离约为4×108米，则该小行星与地球的最近距离约为（　　）米
A. 1.8×1010 B. 1.8×109 C. 1.8×108 D. 1.8×107
5.将抛物线y=-（x-1）2+4向左平移3个单位长度，得到抛物线的解析式为（　　）
A. y=-（x+2）2+4 B. y=-（x-4）2+4 C. y=-（x-1）2+7 D. y=-（x-1）2+1
6.在一个不透明的袋子里装有两个红色小球和一个绿色小球，它们除颜色外无其他差别.从中随机摸出两个小球，那么摸到一个红球和一个绿球的概率是（　　）
A. B. C. D.
7.如图，⊙O的直径AB平分弦CD（不是直径）.若∠BAC=35°，则∠BOD的大小为（　　）
A. 55°
B. 60°
C. 65°
D. 70°
8.如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且，给出下面四个结论：①AE平分∠BAF；②AE2+EF2=AF2；③EF+FC=DF；④AB+CF=AF.
上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）
A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.因式分解：ax2-a= ．
10.如果x2+x-5=0，那么代数式（x-1）2+3（x+1）的值是 .
11.如图，⊙O的半径是4，∠AOB=120°，弦AB的长是 .
12.某校九年级共有1300名学生.为了解学生的睡眠时间分布情况，从中随机抽取了100名学生，调查他们每天的睡眠时间，并根据教育部门相关标准整理如下：
等级 睡眠不足 睡眠基本达标 睡眠充足
睡眠时间 ＜7小时 7≤睡眠时间≤9小时 ＞9小时
人数 20 70 10
根据以上信息，估计该校九年级学生中睡眠基本达标的人数是 .
13.如图，已知AC∥EF∥DB，AF：BF=2：3，CD=15，CE= .
14.圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图，已知图中AC=6cm,底面的半径BC=2cm,则圆锥的侧面展开图的面积是 cm2.（结果保留π）
15.如图，将△ABC以点A为中心，逆时针旋转到△ADE的位置，其中点B、C、E三点在同一直线上，若∠1+∠2+∠3=92°，则∠3的大小为 °.
16.某陶艺工坊有A和B两款电热窑，可以烧制不同尺寸的陶艺品.两款电热窑每次可同时放置陶艺品的尺寸和数量如下表所示.
烧制一个大尺寸陶艺品的位置可替换为烧制两个中尺寸或六个小尺寸陶艺品，但烧制较小陶艺品的位置不能替换为烧制较大陶艺品.
某批次共生产了18个大尺寸陶艺品，69个中尺寸陶艺品，138个小尺寸陶艺品.
（1）烧制这批陶艺品，A款电热窑至少使用 次；
（2）若A款电热窑每次烧制成本为55元，B款电热窑每次烧制成本为25元，则烧制这批陶艺品成本最低为 元.
三、计算题：本大题共1小题，共5分。
17.解不等式组：.
四、解答题：本题共11小题，共63分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题5分)
计算：.
19.(本小题5分)
已知AB=DE，BC=EF，D，C在AF上，且AD=CF，求证：∠B=∠E.
20.(本小题5分)
如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA=OB，过点B作BE⊥AC于点E.
（1）求证： ABCD是矩形；
（2）若，，求CD的长.
21.(本小题5分)
奥林匹克森林公园南园（奥森南园）是深受北京长跑爱好者追捧的跑步地点.小华和小萱相约去奥森南园跑步踏青，奥森南园有5千米和3千米的两条跑道（如图所示）.小华选择了5千米的路线，小萱选择了3千米的路线，已知小华平均每分钟比小萱平均每分钟多跑100米，两人同时出发，结果同时到达终点.求小萱的速度.
22.(本小题5分)
在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象由y1=x的图象向上平移2个单位长度得到，反比例函数（m≠0）的图象过点A（1，4）.
（1）求一次函数表达式及m的值；
（2）过点P（0，n）（n＞0）作平行于x轴的直线，与反比例函数的图象交于点M，且与一次函数y=kx+b的图象相交于点N.
①当n=4时，PM______MN（填“＜”“=”或“＞”）；
②当PM＜MN时，直接写出n的取值范围.
23.(本小题5分)
如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠EAC=∠CAB，直线CD⊥AE于点D，交AB的延长线于点F.
（1）求证：直线CD为⊙O的切线；
（2）当，CD=2时，求BF的长.
24.(本小题5分)
某社区举办“家园好声音”歌唱比赛，分为初赛和复赛两个阶段.
（1）初赛由12名专业评委和50名群众评委给每位选手打分（百分制）.对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.
a.专业评委打分：
84 86 88 90 90 90 91 91 92 95 97 98
b.群众评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组82≤x＜85，第2组85≤x＜88，第3组88≤x＜91，第4组91≤x＜94，第5组94≤x＜97，第6组97≤x≤100）：
c.评委打分的平均数、中位数、众数如下：
平均数 中位数 众数
专业评委 91 m n
群众评委 90.2 p 91
根据以上信息，回答下列问题：
①写出表中m,n的值；
②比赛规定初赛专业评委打分的平均分达到90分及以上的选手可直接获得复赛资格，则该选手______（能/不能）直接进入复赛；
③比赛同时依据群众评委打分来评估选手的受欢迎等级.当有一半及以上的评委打分超过95评为一级；当没有达到一级，且有一半及以上的评委打分超过90评为二级；当没有达到二级，且有一半及以上的评委打分超过85评为三级.那么该选手的受欢迎等级为______（一级/二级/三级）；
（2）复赛由5名专家评委打分（百分制）.如果某选手得分的5个数据的方差越小，则认为评委对该选手的评价越一致.5名评委给甲选手打分为92，91，93，92，91.前4名评委给乙选手打分为92，91，92，92，乙选手的平均得分高于甲选手的平均得分，且5名评委对乙选手的评价更一致，则第五名评委给乙选手的打分是______（打分为整数）.
25.(本小题5分)
某二级火箭的第一级运行路径形如抛物线的一部分，当火箭运行一定水平距离时，自动引爆火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．学校科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线y=ax2+x和直线y=-x+b.其中，当火箭运行的水平距离为9km时，自动引爆火箭的第二级．
（1）若火箭第二级的引爆点的高度为3.6km.
①求a,b的值；
②火箭在运行过程中，当某个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km时，直接写出这个位置与火箭第二级引爆点之间的距离．
（2）当a的值满足什么条件时，火箭落地点与发射点之间的水平距离超过18km.
26.(本小题5分)
在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）经过原点O和点A（-3，-3a）.
（1）求c的值，并用含a的式子表示b；
（2）过点T（t,0）作x轴的垂线，交该抛物线于点B，交直线y=ax于点C，
①若a=1，t=-2，直接写出BC的长；
②若线段BC的长度随t的增大而减小，求出t的取值范围.
27.(本小题5分)
如图，在正方形ABCD中，P是边DC上的一动点（不与点D，C重合），∠DAP=α，点D关于直线AP的对称点为E，连接AE，连接BE并延长交射线AP于点F，连接DF.
（1）根据题意补全图形，并直接写出∠ABF的大小（用含α的代数式表示）；
（2）求证：BF⊥DF；
（3）连接CF，用等式表示线段AF，DF，CF之间的数量关系，并证明.
28.(本小题13分)
在平面直角坐标系xOy中，对于点P和图形W，如果以P为端点的任意一条射线与图形W最多只有一个公共点，那么称点P独立于图形W．
（1）如图1，已知点A（-2，0），以原点O为圆心，OA长为半径画弧交x轴正半轴于点 B．在P1（0，4），P2（0，1），P3（0，-3），P4（4，0）这四个点中，独立于的点是______；
（2）如图2，已知点C（-3，0），D（0，3），E（3，0），点P是直线：y=2x+8上的一个动点．若点P独立于折线CD-DE，求点P的横坐标xp的取值范围；
（3）如图3，⊙H是以点H（0，4）为圆心，半径为1的圆．点T（0，t）在y轴上且t＞-3，以点T为中心的正方形KLMN的顶点K的坐标为（0，t+3），将正方形KLMN在x轴及x轴上方的部分记为图形W．若⊙H上的所有点都独立于图形W，直接写出t的取值范围．
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】A
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】a（x+1）（x-1）
10.【答案】9
11.【答案】
12.【答案】910
13.【答案】6
14.【答案】12π
15.【答案】46
16.【答案】3
215

17.【答案】解：解不等式4x-5＞x+1，得：x＞2，
解不等式＜x，得：x＜4，
则不等式组的解集为2＜x＜4．
18.【答案】5．
19.【答案】∵AD=CF，D，C在AF上，
∴AD+DC=AC，CF+DC=DF，
∴AC=DF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠B=∠E．
20.【答案】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC、OB=OD，
∵OA=OB，
∴OA=OB=OC=OD，
∴OA+OC=OB+OD，
即AC=BD，
∴ ABCD是矩形
21.【答案】解：设小萱的速度为x米/分，则小华的速度为（x+100）米/分，
5千米=5000米，3千米=3000米，
由题意得：
，
解得x=150，
经检验，x=150是原方程的解，且符合题意．
∴小萱的速度为100米/分．
22.【答案】y=x+2；m=4 ①=；②n的取值范围是0＜n＜2或n＞4
23.【答案】如图所示，连接OC，
∵OA=OC，
∴∠CAO=∠ACO，
∵∠EAC=∠CAB，
∴∠DAC=∠ACO，
∵OC∥AD，
∵CD⊥AD，
∴OC⊥DF，
∵OC是⊙O的半径，
∴直线CD为⊙O的切线
24.【答案】①m=90.5，n=90；
②能；
③等级为二级；
93．
25.【答案】解：（1）①∵y=ax2+x经过点（9，3.6），
∴81a+9=3.6，解得，
∵经过点（9，3.6），
∴3，解得b=8.1，
②由①，得≤x≤9），
∴火箭运行的最高点是，
∴．
令，整理，得x2-15x+36=0，
解得x1=12＞9（不合题意，舍去），x2=3．
故：9-3=6（km）；
由①得，
令，解得x=11.4，
∴11.4-9=2.4（km）．
故这个位置与火箭第二级引发点之间的距离为6km或2.4km；
（2）当 x=9时，y=81a+9．
∴火箭第二级的引发点的坐标为 （9，81a+9）．
当火箭落地点与发射点的水平距离为18km时，
经过（9，81a+9），（18，0）两点，
∴解得
∴当时，火箭落地点与发射点的水平距离超过18km.
26.【答案】c=0，b=4a；
①BC=2；②t的取值范围为t≤-3或
27.【答案】补全图形，如图1即为所求；
∠ABF=45°+α 由（1）知：AD=AE，∠ABF=∠BEA，
在△AEF和△ADF中，
，
∴△AEF≌△ADF（SAS），
∴∠AEF=∠ADF，
∵∠BEA+∠AEF=180°，
∴∠ABE+∠ADF=180°，
在四边形ABFD中，∠BFD=360°-（∠ABE+∠ADF+∠BAD）=360°-（180°+90°）=90°，
∴BF⊥DF ；证明：如图2，四边形ABCD是正方形，连接CF，过点D作DM⊥DF交AF于点M，
∴∠ADC=90°，AD=CD，
∵∠FDP+∠PDM=90°，∠ADM+∠PDM=90°，
∴∠ADM=∠CDF，
由（2）知：△AEF≌△ADF，
∴，
∴∠DMF=90°-∠DFM=45°，
∴∠DMF=∠DFM，
∴DM=DF，
在直角三角形DFM中，由勾股定理得：，
在△ADM和△CDF中，
，
∴△ADM≌△CDF（SAS），
∴AM=CF，
∴
28.【答案】解：（1）P2，P3；
（2）∵C（-3，0），D（0，3），E（3，0），
设直线CD的解析式为：y=kx+b (k≠0），
则,
解得：
∴直线CD的解析式为：y=x+3，
同理可得，直线DE的解析式为：y=-x+3，
由，解得，可得直线与直线CD的交点的横坐标为-5，
由，解得，可得直线与直线DE的交点的横坐标为-，
∴满足条件的点P的横坐标xp的取值范围为：xP＜-5或xP＞-．
( 3 ) t 的取值范围是：-3＜t＜1-或1+＜t＜7-．
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