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2025-2026学年广东省茂名市高州市祥山中学等校八年级（下）质检数学试卷（一）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A. B.
C. D.
2.在△ABC中，点D在边AB的垂直平分线上，连接AD，若∠1=35°，则∠2的度数是（　　）
A. 50°
B. 60°
C. 65°
D. 70°
3.若一个八边形的每个外角都是x°，则x的值为（　　）
A. 30 B. 45 C. 135 D. 150
4.下列命题中是假命题的是（　　）
A. 算术平方根等于本身的数是0和1
B. 同旁内角相等，两直线平行
C. 位于第三象限内的点，横纵坐标都是负数
D. 若三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2，则这个三角形是直角三角形
5.关于x的不等式x-b＞0恰有两个负整数解，则b的取值可以是（　　）
A. 3 B. 2 C. -2 D. -3
6.某社区招募了成年志愿者和青少年志愿者共80人参与垃圾分类宣传活动.成年志愿者平均每人向25位居民宣传垃圾分类知识，青少年志愿者平均每人向10位居民宣传垃圾分类知识.为了保证向1200位居民宣传垃圾分类知识，至少需要成年志愿者多少人？设需要成年志愿者x人，则根据题意所列不等式正确的是（　　）
A. 25x+10（80-x）＞1200 B. 25x+10（80-x）≥1200
C. 10x+25（80-x）＞1200 D. 10x+25（80-x）≥1200
7.某停车场采用先进的车辆识别系统，车辆进出时被系统自动识别后栏杆抬起（如图1）.已知停车场入口的栏杆AO的长度为4米（如图2所示），栏杆AO从水平位置绕点O顺时针旋转到A′O的位置，在旋转过程中，当栏杆的旋转角∠AOA′为30°时，栏杆端点A升高了（　　）米.
A. 2m B. 4m C. D. 8m
8.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=6，BC=10.按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB、AD于E、F两点；②分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P；③作射线AP交BC于点G.则CG的长为（　　）
A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
9.如图是测量一颗玻璃球体积的过程：
（1）将300ml的水倒进一个容量为500ml的杯子中；
（2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；
（3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出．
根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积在（　　）
A. 20ml以上，30ml以下 B. 30ml以上，40ml以下
C. 40ml以上，50ml以下 D. 50ml以上，60ml以下
10.如图，P为边长为2的等边三角形ABC内任意一点，连接PA、PB、PC，过P点分别作BC、AC、AB边的垂线，垂足分别为D、E、F，则PD+PE+PF等于（　　）
A.
B.
C. 2
D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.根据下列数量关系列不等式：x的5倍不大于4的不等式是 .
12.用反证法证明命题“在△ABC中，∠A＞∠B，则a＞b”时，第一步应先假设 .
13.若不等式（m-1）x＞（m-1）两边同除以（m-1），得x＜1，则m的取值范围为 .
14.用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE．图中，∠BAC= 度．
15.如图，河的两岸有A，B两个水文观测点，为方便联络，要在河上修一座木桥MN（河的两岸互相平行，MN垂直于河岸），现测得A，B两点到河岸的距离分别是5米，4米，河宽3米，且A，B两点之间的水平距离为12米，则AM+MN+NB的最小值是 米.
三、计算题：本大题共1小题，共7分。
16.解不等式：x-5＜4（x+1），并把它的解集表示在数轴上.
四、解答题：本题共7小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题7分)
已知公路l的两侧有两个村庄A，B，要在公路旁边建一个公交车停靠站，使上落站到两个村庄的距离相等，请确定上落站的位置．
18.(本小题7分)
如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是∠ACB的平分线，若∠B=42°，∠AEC=75°，求∠CAD的度数.
19.(本小题9分)
如图，已知F，E分别是射线AB，CD上的点.连接AC，AE，EF，其中AE平分∠BAC，EF平分∠AED，AC=CE.
（1）试说明AB∥CD；
（2）若∠AFE-∠CAE=30°，求∠AFE的度数.
20.(本小题9分)
如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BC于D，EC⊥BC于C，且AB=BE，CD=CE.
（1）求证：AB=AC；
（2）求证：Rt△ABD≌Rt△BEC.
21.(本小题9分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，BD平分∠ABC.
（1）求∠ABC的度数；
（2）连接CE，且，求证：△BCE是等边三角形.
22.(本小题13分)
我们定义：如图1，在四边形ABCD中，如果∠A=a,∠C=180°-α，对角线BD平分∠ABC，我们称这种四边形为“分角对补四边形”.
（1）特例感知：如图1，在“分角对补四边形”ABCD中，当α=90°时，根据教材中一个重要性质直接可得DA=DC，这个性质是______；
（2）猜想论证：如图2，当α为任意角时，猜想DA与DC的数量关系，并给予证明；
（3）探究应用：如图3，在等腰△ABC中，∠BAC=100°，BD平分∠ABC，利用（2）的结论，求证：BD+AD=BC.
23.(本小题14分)
请根据以下素材，完成探究任务.
探究等角三角形
定义 定义1 如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”.
定义2 从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”.
任务图
任务1 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，△BCD和△ACD ______ 等角三角形（填“是”或者“不是”）.
任务2 如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，求证：CD为△ABC的等角分割线.
任务3 在△ABC中，∠A=42°，CD是△ABC的等角分割线，若△ACD是等腰三角形，请求出∠ACB的度数.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】C
10.【答案】B
11.【答案】5x≤4
12.【答案】a≤b
13.【答案】m＜1．
14.【答案】36
15.【答案】18
16.【答案】x＞-3，
将解集表示在数轴上如下：
．
17.【答案】解：如图所示，点C即为所求．
18.【答案】∠CAD=24°．
19.【答案】（1）证明：如图，
∵AC=CE，
∴∠2=∠3
∵AE平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴AB∥CD；
（2）解：∵∠AFE-∠CAE=30°，
∴∠AFE=∠2+30°，
∵AB∥CD，
∴∠AFE=∠FED=∠2+30°，
∵EF平分∠AED，
∴∠AED=2∠FED=2∠2+60°，
∵∠3+∠AED=180°，
∴∠3+2∠2+60°=180°，
∵∠3=∠2，
∴∠2=40°，
∴∠AFE=∠2+30°=70°，
∴∠AFE的度数为70°．
20.【答案】证明：（1）∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在△ADB和△ADC中，
，
∴△ADB≌△ADC（ASA），
∴AB=AC；
（2）∵△ADB≌△ADC，
∴BD=CD，
∵CD=CE，
∴BD=CE，
∵EC⊥BC，
∴∠BCE=90°，
在Rt△ABD和Rt△BEC中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△BEC（HL）．
21.【答案】60° ∵ DE垂直平分AB，
∴E是AB的中点，
∴BE=AB，
∵CE=AB，
∴BE=CE，
由（1）知∠ABC=60°，
∴△BCE是等边三角形
22.【答案】角平分线上的点到该角的两边距离相等 DA=DC；证明：如图2中，过点D作DE⊥BA交BA延长线于点E，DF⊥BC于点F，
∵BD平分∠EBC，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE=DF，∠E=∠DFC=90°，
∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠EAD=180°，
∴∠EAD=∠C，
在△DEA和△DFC中，
，
∴△DEA≌△DFC（AAS），
∴DA=DC 如图3，在BC上截取BG=BD，连接DG，
∵AB=AC，∠A=100°，∠ABC+∠C+∠A=180°，
∴∠ABC=∠C=40°，
∵BD平分∠ABC，
∴，
∵BD=BG，
∴，
∴∠A+∠BGD=180°，
由（2）的结论得AD=DG，
∵∠BGD=∠C+∠GDC，
∴∠GDC=40°=∠C，
∴DG=CG，
∴AD=DG=CG，
∴BD+AD=BG+CG=BC
23.【答案】解：任务1：是
任务2：
证明：在△ABC中，∠A=40°，∠B=60°，
∴∠ACB=80°，
∵CD为角平分线，
∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=40°，
∴∠ACD=∠A，
∴CD=DA，
∴△ADC是等腰三角形；
∵∠DCB=∠A，∠B=60°，
∴∠BDC=80°，
∴∠BDC=∠ACB，
∴△BCD和△BAC是“等角三角形”，
∴CD为△ABC的等角分割线；
任务3：
解：分三种情况：
①当DA=DC时，如图3，∠ACD=∠A=42°，
∵CD是△ABC的等角分割线，
∴∠ACB=∠BDC=42°+42°=84°；
②当DA=AC时，如图4，∠ACD=∠ADC=（180°-42°）÷2=69°，
∵CD是△ABC的等角分割线，
∴∠BCD=∠A=42°，
则∠ACB=69°+42°=111°；
③当AC=DC时，∠ADC=∠A=42°，则∠BDC=180°-42°=138°=∠ACB，
那么∠B=180°-42°-138°=0°（舍去），
故∠ACB的度数为84°或111°．
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