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石家庄实验中学 2026届高三年级第二次调研考试
数学参考答案
一．选择题：
1.C 2.D 3.C 4.B 5.C 6.B 7.A 8.C
二．选择题：
9．ACD 10．AC 11．AD
三．填空题：
12．－8 13． 14．9
四．解答题：
15．（1）
是菱形， 是对角线，
，
又 平面 平面 ，
，
又 平面 平面 ，
平面 ，
又 平面 .
（2）取 中点 ，连接 ，则 ，
以 ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立如图空间直角坐标系，
令 ，则 ，
，
设平面 的法向量为 ，
由 得 令 y=1，得 ，
.
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16．（1）由题意知， ， ，
，
，
，
则 ，
因为相关系数 接近 1，所以 与 的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合．
（2）由（1）得 ，
．
所以 与 的回归方程为 ．
将 2026年对应的年份代码 代入回归方程得 ，
所以预测该小型养鸡场 2026年养鸡的数量为 17760只．
17．（1）∵ ，∴ ，即 ，
∴数列 是以 为首项， 为公比的等比数列
（2）由（1）可知 ，
∴
（3）
.
18．（1） 的定义域为 ， ，
设切点坐标 ，则切线方程为： ，
把点 带入切线得： ， ，得 ，
所以 的切线方程为： .
（2） 有两个不同零点 ，
则 ，
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构造函数 ， ，
所以 为 增函数，且 ，
即 有两个不等实根 ，则 ，
令 ， ，则 ， ，
所以 ，则 ， ，
故 ，
而 两边取对数，可转化为 ，即 ， ，
由 ， 可得， ，即 ，
设 ，
则 ，
因为 ，根据对勾函数 在 上单调递减，易知， ，所以，
①当 ，即 时， ，故当 时， ，符合题意；
②当 ，即 时，显然存在 ，使得 ，即
当 时， ，当 时， ，
故 ，不符合题意，
综上， 的取值范围为 .
注：本题第二问阅卷过程中，若学生使用洛必达法则等非课标内容作答的，不
给分。
19．（1）设 ，
则 ，即 ，
所以由双曲线定义可知动点 的轨迹是以 为焦点的双曲线的下支，且
，
所以动点 的轨迹方程为 ；
（2）①由（1）曲线 : , ，设 ，
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对函数 求导得 ，
所以两切线方程为 ，即 ，
又因为切线过点 P，所以 ，
即 满足 ，即满足方程 ，
所以 ，
设 ， 则由 ，
所以 ，即 三点在直线 上，即 三点共线；
②由上得 ，所以直线 的方程为 即 ，
联立 ，
因为直线 与 有两个交点，则由题意可知方程有两个不等负根，
所以 ，
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所以 ，
所以 的取值范围为 .
第 5 页，共 5 页石家庄实验中学 2026届高三年级第二次调研考试
数 学
命题：高三数学 考试时间：120分钟
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,
用橡皮擦干净后,再选涂其他案标号。回答非选择题时,将案写在答题卡上,写在本试卷上无
效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题:本题共 8小题,每小题 5分,共 40分。在每小题给出的四个选项中,只有项是
符合题目要求的。
1．已知全集 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知{an}是首项为 1，公差为 3的等差数列，如果 an＝2023，则序号 n等于（ ）
A．667 B．668
C．669 D．675
3． 是虚数单位，复数 等于（ ）
A． B． C． D．
4．已知单位向量 满足 ，则向量 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
5．物理学中的“波义耳定律”是指一定质量的气体，在温度不变的情况下，压强 p与体积 V
成反比．若容器的容积为 V，容器内某种气体的初始压强为 ，真空泵每次抽出该气体的
体积为 ，n次抽气后，设容器内剩余该气体的压强为 ，则 ．若
，设抽气时该气体温度不变，欲使容器内剩余该气体的压强低于初始压强的 ，
则最少需要抽气的次数为（参考数据： ）（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．对 A，B两地国企员工上班迟到情况进行统计，可知两地国企员工的上班迟到时间均符
合正态分布，其中 A地员工的上班迟到时间为 X（单位：min）， ，对应的曲
线为 ，B地员工的上班迟到时间为 Y（单位：min）， ，对应的曲线为 ，
则下列图象正确的是（ ）
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A． B．
C． D．
7．已知直线 与 相交于 两点，若
是直角三角形，则实数 的值为（ ）
A．1 或 B． 或 C． 或 D． 或
8．若双曲线 不存在以点 为中点的弦，则该双曲线离心率的
取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全
部选对的得 6分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分。
9．已知圆台的上、下底面半径分别为 2，4，母线与底面所成的角为 ，则（ ）
A．该圆台的母线长为 B．该圆台的表面积为
C．该圆台的体积为 D．该圆台的外接球的表面积为
10．下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 的最大值为 ；
B．函数 的最小值为 2；
C．已知 ，则 的最小值为 3；
D．若正数 满足 ，则 的最小值是 3
11．已知 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
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12．在 的展开式中，常数项为 ．(给出数值)
13．△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ， ，
则△ 的面积为 ．
14．现有 n（ ， ）个相同的袋子，里面均装有 n个除颜色外其他无区别的小球，
第 k（ ，2，3，…，n）个袋中有 k个红球， 个白球.现将这些袋子混合后，任选
其中一个袋子，并且从中连续取出四个球（每个取后不放回），若第四次取出的球为白球
的概率是 ，则 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．如图，在四棱锥 中，底面 是菱形， ， 平面 .
（1）证明： ；
（2）若 为 的中点， ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
16．近年来，随着人们对健康饮食的重视和市场对禽肉需求的增长，养鸡业发展迅速，我
国养鸡企业发展也取得了显著成就．某小型养鸡场从 2017年到 2023年每年养鸡数量
（单位：千只）的统计结果如下表所示．
年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023
年份代码 1 2 3 4 5 6 7
养鸡数量 千只 2 3 7 5 8 11 13
(1)由统计表看出，可用线性回归模型拟合 与 的关系，请用相关系数加以说明（系数精
确到 0.01）；
(2)建立 关于 的回归方程（系数精确到 0.01），并预测该小型养鸡场 2026年养鸡的数量．
参考数据： ．
参考公式：相关系数 ，回归方程 中斜率和截距的最小
二乘估计公式分别为 ．
17．已知数列 满足 ，且 .
（1）证明：数列 是等比数列；
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（2）求 的通项公式；
（3）求 的前 项和 .
18．已知函数 .
(1)当 时，求过原点且与 相切的直线方程；
(2)若 有两个不同的零点 ，不等式 恒成
立，求实数 的取值范围.
19．已知动点 满足关系式 .
(1)求动点 的轨迹方程；
(2)设动点 的轨迹为曲线 ，抛物线 的焦点为 ，过 上一点 作 的两条
切线，切点分别为 ，弦 的中点为 ，平行于 的直线 与 相切于点 .
①证明： 三点共线；
②当直线 与 有两个交点时，求 的取值范围.
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