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紫荆中学 2025-2026 学年第二学期第一次月考试题（卷） 数为 ，在 上 恒成立，则称函数 在 上为“凹函数”.则下列函数在
高二数学 上是“凹函数”的是（ ）
说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟. A B. C. D.
答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.
第Ⅰ卷（选择题） 8．已知函数 ，若 ，则下列式子大小关系正确的是（ ）
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符 A. B.
合题目要求.
C. D.
1. 设 ，则 （ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是
2. 在空间直角坐标系中， 为坐标原点， ，则 等于（ ） 符合题目要求的，全部选对得 6 分，选对但不全的得 3 分，有选错的得 0 分)
A. B. C. D. 9.函数 的导函数 的图象如图所示，则（ ）
3. 已知向量 ， ，若 与 夹角为 ，则 的值为（ ） A. 为函数 的零点 B. 为函数 的极小值点
A. B. C. －1 D. 1 C. 函数 在 上单调递减 D. 是函数 的最小值
4.设 ，若 ，则 （ ）
10、已知函数 ，则下列结论错误的是（ ）．
A. B. C. D.
A. 有两个极值点 B. 有一个零点
5. 函数 的导数为（ ）
C. 点 是曲线 的对称中心 D. 直线 是曲线 的切线
A. B.
11.已知空间向量 ，则下列说法正确的是（ ）
C. D.
A. B.
6. 已知 ， ，则 在 上的投影向量为（ ）
C. 与 夹角的余弦值为 D. 若 ，则 共面
A B. C. D.
7． 丹麦数学家琴生（Jensen）是 世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不
等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数 在 上的导函数为 ， 在 上的导函 第Ⅱ卷（非选择题 共 92分）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
17．(本小题满分 15 分) 已知函数 在 与 处都取得极值．
12．曲线 在 处的切线方程为__________________.
（1）求 ， 的值；
13、已知 ，则 ______. （2）若对任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
14．若曲线 的一条切线为 （ 为自然对数的底数），其中 为正实数，则
的取值范围是_________
四、解答题(本大题共 5 小题，共 77 分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分 13分)如图，在边长为 4的正方体 中， ， ， 分别是
18.(本小题满分 17 分) 已知函数 （ ）.
， ， 的中点．以 为坐标原点， 的方向为 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
（1）若 在 处取得极值，求 的单调区间；
（1）写出 ， ， ， ， 五点的坐标；
（2）若 在区间 上单调递增，求 的取值范围.
（2）求 ．
16．(本小题满分 15 分)已知函数 的图象在点 处的切线方程为
19．(本小题满分 17 分) 已知 ， .
.
（1）求曲线 在点 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（1）求 ， 的值；
（2）讨论函数 在 上的单调性；
（2）求 的极值.
（3）对一切实数 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
紫荆中学 2025-2026 学年第二学期第一次月考
对于 B选项，由 A可知 极大值为 ，
高二数学答案
一、单项选择题： 极小值 ， ，
1.C 2.A 3.A 4.A 5.B
所以，根据 的单调性和零点存在定理可知， 在 ， ， 各
6.D 7. B 8.A
8解：A 由 ，得 ， 存在 1个零点，即函数 有 3个零点，故 B错误；
当 时， ，所以 在 上单调递增， 对于 C选项，
可设 ，得 ，则 为奇函数，所以 图象关于 对
因为 ，所以 ，所以 ，
称，
由函数 在 上单调递增，有 ，所以 ，
将 向上平移 1个单位可得 ，故函数 关于 对称，故 C选项正确；
综上，得 .故选 A.
对于 D选项，由 A知 ，令 ，解得 ，则
二、多项选择题
9. BC 10 .BD 11．BCD ， ，
10.对于 A选项，由 ，定义域为 ，可得 ，
由于切点 ， 均不满足 ，
令 ，可得 ，
故 D选项错误；
故选：BD
因为 ，得 或 ， ，得 ，
三、填空题
所以， 在 单调递减， 在 ， 单调递增，
12. 13. 14.
所以， 是 有极大值点， 是 有极小值点，故 A选项正确；
14解析：∵ ，∴ ，
17..解：（1） ， ；（2） ．
设切点为 ，则 ，
详解（1）由题设， ，又 ， ，解得
， ．
∴ ，∴ ．
（2）由 ，知 ，即 ，
∵ ，
当 时， ， 随 的变化情况如下表：
∴原式 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
1
即 ．
+ 0 - 0 +
故答案为：
递增 极大值 递减 极小值 递增
四、解答题
15 1 ∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，答案：（ ） ， ， ， ，
（2）
∴当 时， 为极大值，又 ，则 为 在 上的
16.解（1）由题意知 ，
最大值，
所以
要使 对任意 恒成立，则只需 ，解得 或 ，
解得 ， ；
∴实数 的取值范围为 ．
（2）由（1）知 ，令 ，所以 ，
18.解：（1）由题意知 ，
所以当 时， ，当 时， ，
因为 在 处取得极值，所以 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
解得 .
又 ，所以 的极小值为 ，无极大值. 当 时， ，
当 时， ，当 时， ，当 时， ， 令 ，
所以 的单调增区间为 ，单调减区间为 ， ； 当 ，则 ，故 在 上单调递减；
（2）若 在区间 上单调递增，
当 ，则 时， ，所以 在 单调递减；
即 在 上恒成立，
时， ，所以 在 单调递增；
则 在 上恒成立，即 .
综上：当 时， 在 上单调递减；
令 ， ，所以 ，
当 时， 在 单调递减， 单调递增.
令 ，解得 ，所以当 时， ，
当 时， ，所以 在 上单调递减， 【小问 3详解】
即 ，
在 上单调递增，所以 ，
即 对一切实数 恒成立，
所以 ，即 ，即 的取值范围是 .
令
19.【小问 1详解】
当 时， 单调增；
因为 ，故 ，所以 ，
当 时， 单调减；故 最大值为 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
则 ，
即 ，
故实数 的取值范围是 .
与两坐标轴的交点分别为 ，
故围成的三角形的面积为 .
【小问 2详解】
因为 ，故 ，

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