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人教中考数学一轮复习（新考向情景题） 讲解课件
人教版中考数学一轮大单元复习课件
大单元复习
第二单元 方程(组)与不等式(组)
第3节
第4节
第1节
一次方程(组)及其应用
第2节
不等式(组)及其应用
第3节
分式方程及其应用
一元二次方程及其应用
——制作、出售收纳盒
方程(组)与不等式(组)
单元复习规划
目
录
情境串考点
考向精练
课堂小结
根据市场需求，某公司的业务规模快速扩大，该公司近年来生产一种无盖长方体收纳盒. 随着公司的快速发展和市场变化，公司也在通过节约成本、节省原材料和减少库存，尽可能保证公司的利润.
情境串考点
解：设这种矩形原料成本的年平均下降率为x，
由题意得50(1－x)2＝32，
1. 随着技术逐年更新，该矩形原材料的成本不断下降，前年一张矩形原料的成本是50元，今年一张矩形原材料的成本是32元，求这种矩形原料成本的年平均下降率．
第二步：设未知数
第三步：转化题干信息列方程
情境一 更新技术，节约成本
第一步：审题-增长率问题
解一元二次方程的方法
1.公式法
2.直接开平方法
3.因式分解法
4.配方法
注意：具体使用什么方法根据方程的特点进行选择.
(1－x)2= ，
1－x=，
x=0.8，
解得 x1＝1.8，x2＝0.2，
第五步：检验
第四步：解方程
第六步：作答
答：这种矩形原料成本的年平均下降率为20%.
因为本题要求平均下降率，所以x1＝1.8需舍去，
50(1－x)2＝32
直接开平方法适用情况：
1. 当方程缺少一次项时，即方程ax2＋c＝0 (a≠0，ac<0)；
2. 形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程
2. 已知矩形原料的尺寸如图所示，将其四角剪去四个相同的小正方形，然后把剩余部分(阴影部分)沿虚线折起可做成一个无盖长方体容器．若该无盖长方体收纳盒的底面积为 140 cm2，求剪去的小正方形的边长．
点拨：
第一步：审题-面积问题
第二步：设未知数_____________________________
第三步：转化题干信息列方程___________________
设剪去的小正方形的边长为x cm
(20－2x)(16－2x)＝140
情境二 固定剪裁，节约原料
20cm
16cm
解：设剪去的小正方形的边长是x cm，则长方体容器底面的长为(20－2x)cm，宽为(16－2x)cm，由题意得
∵当x＝15时，16－2x<0，∴x＝15不符合题意，舍去.
答：剪去的小正方形的边长为 3 cm.
配方法解方程
配方法适用情况：
1. 二次项系数化为 1 后，一次项系数是偶数的一元二次方程；
2. 各项的系数比较小且便于配方的情况.
(20－2x)(16－2x)＝140，
4x2－72x＋180＝0，
x2－18x＋45＝0，
x2－18x＝－45，
(x－9)2＝36，
解得 x1＝3，x2＝15，
(1)如图1，设阴影部分的宽为x，则S空白＝_____________
(2)如图2，设阴影部分的宽为x，则S空白＝_____________
(3)如图3，设阴影部分的宽为x，则S空白＝_____________
面积问题及常见图形
(a－x)(b－x)
(a－2x)(b－2x)
(a－x)(b－x)
图1 图2 图3
解方程：(20－2x)(16－2x)＝140
解：4x2－72x＋180＝0.
x2－18x－45＝0.
(x－3)(x－15)＝0.
解得 x1＝15，x2＝3.
因式分解法解方程
因式分解法适用情况：
1. 常数项为0，即方程ax2＋bx＝0(a≠0)；
2. 一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积，即方程(ax＋b)(cx＋d)＝0；
注：方程求解过程中，等式两边不能同时约去含有相同未知数的因式.
你还有其他方法解这个方程吗？
公式法解方程
公式法解方程适用情况：
1. 适用于所有一元二次方程，求根公式为 x=().
2. 使用求根公式时要把原方程化为一般形式，方程的右边一定要化为0
注：将a，b，c代入公式时应注意其符号.
解方程：(20－2x)(16－2x)＝140
解：去括号化简：4x2－72x＋180＝0，
变形：x2－18x－45＝0，
解得
3. 若该无盖长方体收纳盒的成本是50元/个，如果以100元/个销售，每天可以售出200个，为尽可能大地让利购买者，同时减少产品库存积压，公司决定降低售价，市场调查发现销售单价每降低1元，销售数量就增加20个，则当该公司将销售单价定为多少元时，每天的销售利润为16 000元？
点拨：第一步：审题-销售利润中的每每问题
第一步：设未知数___________________________
第二步：转化题干信息列方程_______________________________
(x－50)[200＋20(100－x)]＝16 000
设该公司将销售单价定为x元
情境三 降价销售，减少库存
(3)设该公司将销售单价定为x元，
由题意得(x－50)[200＋20(100－x)]＝16 000，整理得
x2－160x＋6 300＝0.
移项：x2－160x＝－6300.
配方：(x－80)2＝100.
解得x1＝70，x2＝90.
∵要尽可能大地让利购买者，同时减少产品库存积压，∴x＝70.
答：当该公司将销售单价定为70元时，每天的销售利润为16 000元．
观察这个方程，用什么方法求解最便捷呢？
一元二次方程的实际应用
1. 一般步骤：审、设、列、解、验、答
2. 常见类型：
(1) 增长率＝ ×100%；设a为原来量，b为变化后的量：
当m为平均增长率，2为增长次数，b＝a(1＋m)2
当m为平均下降率，2为下降次数，b＝a(1－m)2
(2) 面积问题
(3) 每每问题：总利润＝(售价－成本)×数量
3. 注意事项：实际问题需验根，检验根是否符合实际意义
1. b2－4ac>0 一元二次方程有两个________的实数根
2. ___________ 一元二次方程有两个相等的实数根
3. ___________ 一元二次方程没有实数根
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的判别式为________
b2－4ac
不相等
b2－4ac＝0
b2－4ac＜0
思考
已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2x－3＝0.请完成下列各题．
(1) 若x＝2是方程的一个根，则m的值为________，方程的另一个根为________；
(2) 若方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为_______________，若方程无实数根，则m的取值范围为__________；
x＝6
m＞ 且m≠1
m＜
一元二次方程根与系数的关系：
若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根，
则 x1＋x2＝－ ，x1·x2＝
(3)若x1和x2是该方程的两个实数根，且满足 ＋ ＋x1x2＝1，则m的值为_______．
5
已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2x－3＝0.
1.(2025北京)若关于x的一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为(　　)
A. －4
B. －1
C. 1
D. 4
C
考向精练
2.(2025湖北)一元二次方程x2－4x＋3＝0的两个实数根为x1，x2，下列结论正确的是( )
A．x1＋x2＝－4 B．x1＋x2＝3
C．x1x2＝4 D．x1x2＝3
D
3.(2025黑龙江)随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为( )
A．8000(1＋2x)=1200
B．8000(1＋x)2=12000
C．8000＋8000(1＋x)＋8000(1＋x)2=12000
D．8000×2(1＋x)=12000
B
4.(2025黑龙江齐齐哈尔)解方程：x2－7x＝－12．
解：整理得：x2－7x＋12＝0，
因式分解得：(x－4)(x－3)＝0.
所以x－4＝0或x－3＝0.
解得x1＝4，x2＝3.
5.(2025山东威海)如图，某校有一块长20m、宽14m的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路(图中阴影部分).小路把种植园分成面积均为24m2的9个矩形地块，请你求出小路的宽度．
解：设小路的宽度为xm，则9块矩形地块可合成长为(20－4x)m，宽为(14－4x)m的矩形.
根据题意得：(20－4x)(14－4x)＝24×9.
整理得：2x2－17x＋8＝0.
解得：x1＝，x2＝8(不符合题意，舍去).
答：小路的宽度为m.
6.(2025四川泸州)某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元．
(1)求乙种商品每件进价的年平均下降率；
解：(1)设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，
根据题意得：125(1－x)2＝80.
解得：x1＝0.2=20%，x2＝1.8(不符合题意，舍去)．
答：乙种商品每件进价的年平均下降率为20%；
6.(2025四川泸州)某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元．
(2)2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品．
解：设购进y件甲种商品，则购进(100－y)件乙种商品，
根据题意得：(125－25×2)y＋80(100－y)≤7800.
解得：y≥40，∴y的最小值为40．
答：最少购进40件甲种商品．
实际问题
一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0
(a≠0)
设未知数，列方程
抽象为数学模型
实际问题的解
检验
方程的解
解方程
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解法
根的判别式及其应用
根与系数的关系
课堂小结
Thanks!
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