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上海市青浦区 2025-2026学年第二学期高三期中质量调研（二模）
数学试卷
（时间 120分钟，满分 150分）
2026.4
学生注意：
1. 本试卷包括试题纸和答题纸两部分.
2. 在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题。
3. 可使用符合规定的计算器答题
一.填空题（本大题共有 12题，满分 54分，第 1-6每题 4分，第 7-12每题 5分）考生应在答题纸的相应
位置直接填写结果.
1. 已知集合 ，集合 ，则 _______。
2. 2.抛物线 的准线方程是_______。
3. 在平面直角坐标系 中,角 的顶点与坐标原点 重合、始边与 轴的正半轴重合,其终边经
过点 ,则 _______。
4. 已知复数 ，则 _______。
5. 已知函数 ，则曲线 在点 处的切线方程为_______。
6. 某电子元件厂有甲、乙两条互不影响的生产线生产同型号元件，甲生产线的产量占全厂总产量的
，其产品次品率为 ；乙生产线的产量占全厂总产量的 ，其产品次品率为 。若从全
厂产品中随机抽取 1件，抽到次品的概率为_______。
7. 已知 ，若 ，则 _______。
8. 若函数 （常数 ）在区间 上没有最值，则 的取值范围是
_______。
9. 已知 为等腰三角形，且 ，则 _______。
10. 已知点 是双曲线 的左焦点，经过原点 的直线 与双曲线 交于
、 两点，若 且 ，则双曲线 的离心率为 ______.
11. 若数列 共 10项,其中 , ,且 , ,则这样的不
同数列共有 ______个. (用数字作答)
12. 已知平面内的三个非零向量 、 、 满足： ， ，
，则当 取得最大值时， _______。
二、选择题（本大题共有 4题，满分 18分，第 13-14每题 4分，第 15-16每题 5分）每题有且只有一个
正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑。
13. 下列说法中错误的是（ ）
A.平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的统计量
B.极差、方差、标准差都是描述一组数据的离散程度的统计量
C.一组数据中比中位数大的数和比中位数小的数一样多
D.总体的数据都分布在样本的极差范围内
14. 设 是定义在 上且周期为 2的奇函数，当 时， ，则
（ ）.
A. -1 B. 1 C. 2 D. 3
15. 已知垂直竖在水平地面上相距 20米的两根旗杆的高分别为 10米和 15米，地面上的动点 到两
旗杆顶点的仰角相等，则点 的轨迹是（ ）.
A.椭圆 B.圆 C.双曲线 D.抛物线
16. 对于数列 ，若存在 ，使得对任意 ，有
，则称 为“有界变差数列”
有以下两个结论：
①若各项均为正数的等比数列 为“有界变差数列”，则其公比 的取值范围是(0,1)；
②若数列 均为“有界变差数列”，且 ，则数列 是“有界变差数列”．
则以下选项正确的是（ ）.
A.①是假命题,②是真命题
B.①是假命题,②是假命题
C.①是真命题,②是假命题
D.①是真命题,②是真命题
三．解答题（本大题共有 5题，满分 78分)，解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的步骤.
17.（本题满分 14分，第 1小题 6分，第 2小题 8分）
在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾
病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期。一研究团队统计了某地区 1000名患者的相关信息，得到
如下表格：
潜伏期（单位：天） [0,2] (2,4] (4,6] (6,8] (8,10] (10,12] (12,14]
人数 50 150 200 300 200 60 40
（1）求这 1000名患者的潜伏期的样本平均数值 （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，结果
四舍五入为整数）；
（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过 8天为
标准进行分层抽样，从上述 1000名患者中抽取 200人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据
列联表判断，是否有 的把握认为潜伏期与患者年龄有关？
潜伏期≤8 潜伏期>8 总计
天 天
50岁以上（含 100
50）
50岁以下 65
总计 200
附：
18. (本题满分 14分,第 1小题 6分,第 2小题 8分)
已知函数 ，其中 .
(1) 若 ,求 的值;
(2) 若方程 在区间 上恰有两个不同的零点 ，求实数 的取值范围及
的值.
19. (本题满分 14分,第 1小题 6分,第 2小题 8分)
如图所示,在三棱锥 中, 是 外接圆的直径, 是边长为 2的等边三角形,
分别是 的中点, , .
(1) 求证:平面 平面 ;
(2) 求直线 与平面 所成角的正弦值.
20. (本题满分 18分，第 1小题 4分，第 2小题 6分，第 3小题 8分)
已知椭圆 与椭圆 ,椭圆 的左、右焦点分别为 ,点 为椭圆
上异于其左、右顶点的任一点,直线 均过点 .
(1) 求 面积的最大值.
(2) 若 过点 且与 交于 两点, 过点 且与 交于 两点,当直线 的斜率
满足 时,证明: 为定值;
(3) 是否存在点 ,满足 均与 相切,且 若存在,求出点 的坐标;若不存在,请说明理
由.
21. (本题满分 18分,第 1小题 4分,第 2小题 6分,第 3小题 8分)
函数 和 有相同的定义域，导函数分别为 ， ，若在定义域内均有
，则称 是 的“ 函数”。
(1) 判断 是否为 的“ 函数”，并说明理由；
（2）已知函数 和 都是定义域在 上的偶函数，且 是 的“ 函数”，
证明： （ 为常数）；
(3) 若 ,证明:函数 是函数
的“ 函数”.

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