资源简介

高三数学试题卷
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必
将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答
案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷
上无效.
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效.
4．本试卷共 19题，总分 150分，考试时间 120分钟.
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知{an}是首项为 1，公差为 3的等差数列，如果 an＝2023，则序号 n等于（ ）
A. 667 B. 668
C. 669 D. 675
3. 已知线性相关的两个变量 的取值如表所示，如果其线性回归方程为
，则
3 4 6 7
20 40 80
A. 50 B. 60 C. 70 D. 75
4. 已知 ，若 ，
，则 （ ）
A. 4 B. 5 C. 4或 5 D. 5或 6
5. 如图，平行四边形 中， ，作如下图所示网格，使得每个小平行四
边形都是菱形，若 ，则 ＝（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数 在点 处的切线为 ，若 与圆 相切，
则 的值为（ ）
A. B.
C. 或 D. 或
7. 已知 为随机事件，且 ， ，则“ ”是
“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 若双曲线 不存在以点 为中点的弦，则该双曲线离心率
的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0
分.
9. 已知 为等差数列 的前 项和， ， ， ，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知 ， ， ，设 的最小值为 N，且 （ 为自
然对数的底数），则下列说法正确的是（ ）
A. B. 的最大值是
C. D. 若 且 ，则
11. 已知 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 的最小值为 1
C. 若 ，则 的最小值为 8
D. 若 恒成立，则 的最小值为
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。
12. 已知数列 中， ，则 _____.
13. 在正三棱台 中， ，侧棱 与平面 所
成角为 ，则该棱台的体积为_____.
14. 已知点 ， 分别是直线 和圆 上的动点， ，则
的最小值为____________.
四、解答题：本大题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明，证明过程或演
算步骤.
15. 已 知 分 别 为 的 内 角 所 对 的 边 ， 且
．
（1）求 ；
（2）已知 是边 的中点，求 的最大值．
16. 泊松分布（Poisson Distribution）是一种重要的离散型分布，用于描述稀有事件的发生情
况．如果随机变量 X的所有可能取值为 0，1，2，…，且 ，
，其中 ，e为自然对数的底数，则称 X服从泊松分布，记作
．
（1）当 时，泊松分布近似于正态分布，且满足 ，若 ，
求 的近似值；
（2）已知当 ， 时，可以用泊松分布 近似二项分布 ，
即对于 ， ，当 k不太大时，有 ．已知某快
递公司共有 30000个包裹待配送，每个包裹有 0.0001的概率出现配送延迟．试估计某天出
现至少 3起配送延迟的概率；（保留两位有效数字）
（3）若 ，且 ，求 的取值范围．
参考数据：若 ， ，则有 ，
， ．
17. 已知数列 满足 ，且 .
（1）证明：数列 是等比数列；
（2）求 的通项公式；
（3）求 的前 项和 .
18.18. (本小题满分 17 分)
设双曲线 的左、右焦点分别为 ,离心率为 2 . 过点
作 轴的垂线与 交于 两点, .
(1)求 的方程；
(2)若直线 与 的右支交于不同的两点,求 的取值范围；
(3)过 作一条不垂直于 轴的射线与 的左支在第二象限交于点 ，过 作与
平行的一条射线与 在第一象限交于点 ，证明: 成等差数列.
19. 已知函数 为无理数且
（1）求 在区间 的最值；
（2）若 对 恒成立，求 的取值范围；
（3）对于 ，证明： ．
参考答案：
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】ACD
【解析】
【详解】A选项，因为 是等差数列，且 ， ，所以 ，
，所以 ，所以 A选项正确；
B选项，由 A选项解析得： ， ，则
，所以 B选项错误；
C选项， ，所以 ， ，则
，所以 C选项正确；
D选项，因为 ，所以 是以首项为 ，公比为 4的等比数列，所以
，所以 D选项正确.
10.【答案】BD
【解析】
【分析】根据基本不等式“1”的妙用求出 即可判断 A； ，
利用导数求出 的最值即可判断 B；令 ，根据单调性可得
，进而推导判断 C；作差证明即可判断 D．
【详解】解： ，
当且仅当 即 ， 时取等号，故 A错误；
因为且 ，所以 ，
设 ， ，
时， 的解为 ， 的解为 ，
则 在 单调递增， 单调递减，故 最大值为 ，则 的最大
值是 ，故 B正确；
令 ， ，则 ，
， ，所以 在区间 上单调递增，
又 ， ，即 ，
即 ， ，
即 ，故 C错误；
由 ，
， ， ， ，
，即 ，故 D正确．
11.【答案】ACD
【解析】
【分析】对 A，利用基本不等式得 ，再解不等式即可；对 B，根据基
本不等式，易知等号不成立；对 C，由 代入式子中，再运用基本不等式处理
即可；对 D，由 ，即可得解.
【详解】对于 A， ， ，当且仅当 时取等号，
，解得 ，即 ，故 A正确；
对于 B， ，
当且仅当 ，即 时取等号，显然 的值不存在，故 B错误；
对于 C，因为 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，故 C正确；
对于D， ，当且仅当 时
取等号，
所以 ，又 恒成立，
所以 ，即 的最小值为 ，故 D正确.
故选：ACD.
12.195 易知 是等差数列, .
13. 设上、下底面中心分别为 在平面 上的射影为 ,连接
. 则 棱 台 的 高
,
因为 ,所以 的面积 的面
积 ,所以棱台体积
14.【答案】
【解析】
【分析】设 中点为 ，根据向量加法的平行四边形法则得到 与 的
关系，分析 的最小值，根据 即可求解.
【详解】设 中点为 ，则 ，所以 .
得 的轨迹是 和 两条平行线所夹的区域，点 到该区域
的最小距离为点 到直线 的距离，
因为点 在圆 上，圆心 ，半径 ，
设点 到直线 的距离为 ，
则： ，
所以 .
又因为 ，所以 .
综上， 的最小值为 .
15.【答案】（1）
（2） ．
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理，结合两角和的正弦公式、三角形内角和定理、辅助角公式进行
求解即可；
（2）根据平面向量加法的几何意义、平面向量数量积的运算性质，结合余弦定理进行求解
即可.
【小问 1详解】
根据正弦定理有
．
因为 ，
所以
，
，
则有 ，
．
【小问 2详解】
由（1）及余弦定理可知
，当且仅当 时，“ ”成立．
是 的中点， ，
两边平方得 ，即 ，
由（1）知 ，代入得 ，
，
，
所以 的最大值为 ．
16.【答案】（1）0.6827
（2）0.58 （3）
【解析】
【分析】（1）由 时，泊松分布 近似于正态分布 求
解；
（2）设 为配送延迟包裹数，由 ，根据 ，
，得到 ，由
求解；
（3）由 ，得到 ，再根据泊松分布的概率公
式求解．
【小问 1详解】
当 时，泊松分布近似于正态分布，且满足 ，若 ，
当 时，泊松分布 近似于正态分布 ，
即 ， ，要计算 ，
根据正态分布的性质， ，
．
【小问 2详解】
当 ， 时，可以用泊松分布 近似二项分布 ，
即对于 ， ，
设 为配送延迟包裹数，则 ， ，
， ，
，
，
那么，某天至少 3起配送延迟的概率约为：
．
【小问 3详解】
由 ，得 ，
根据泊松分布的概率公式： ， ，得 ．
设 （ ），
由 ，知 在 上为减函数．
， ，
，即 ，
的取值范围为 ．
17.【答案】（1）证明见详解
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据等式构造数列 相邻两项，并求得其比值，即可证明；
（2）由（1）求得数列 的通项公式，即可求得 的通项公式；
（3）由（2）中 的通项公式，通过等比数列的前 项和公式求得结果.
【小问 1详解】
∵ ，∴ ，即 ，
∴数列 是以 为首项， 为公比的等比数列
【小问 2详解】
由（1）可知 ，
∴
【小问 3详解】
.
18.18. 解 :(1)由 题 可 得 . 由 双 曲 线 定 义 知
,则 . 1 分
因为 ,所以 , 2 分
又 ，所以 ， 3 分
所以双曲线 的方程为 . 4 分
(2)联 立 ， 所 以
， 6 分
由题知 ,
且 , 8 分
所以 ,
所以 或 ,
即 . 10 分
(3)设 ，点 关于原点的对称点记为 ，
此时 ,
因为 ,所以 ,
因为 ,所以 ,即 ,
所以 三点共线,且 , 11 分
设直线 的方程为 ,
联立 ,消去 并整理得 ,
此时 且 ,
因为 ,所以 ,
且 ,
则 ,所以 . 13 分
设直线 的倾斜角为 ,此时 ,
所以 , 14 分
同理可得 , 15 分
所以 , 16 分所以
成等差数列. 17 分
19.【答案】（1） ．
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）通过二次求导，确定 在区间 的单调性，即可求解；
（2）通过讨论 ，说明 使得 不符合题意，
得到 ，再通过放缩 ，构造函数
，通过二次求导确定单调性即可求解；
（3）由（2）得到 ，推出 ，再结合
，即可求证.
【小问 1详解】
，可知 ，
令 ，则 ，
易得当 时， ，当 时， ，
即 在 单调递减，在 上单调递增，
，则 在 单调递增，
所以 ．
【小问 2详解】
构造函数 ，
，
易知 ，若 ，
则 使得 在 上单调递减， ，与题意矛盾，
则 ，
此时 ，
令 ，只需证 在 恒成立即可．
，
令 ，则 ，
恒成立，即 在 单调递增，
在 单调递增，则 恒成立，
所以 的取值范围是 .
【小问 3详解】
由（2）可知 在 恒成立，
则有 在 恒成立，
令 ，则有 恒成立，
所以
，
又 ，
则 .

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