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2026学年八年级数学下学期期中测试卷（19-21章）
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。）
1.下列计算中，结果正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2.下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3.我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（　　）
A．2，3，4 B．4，5，6 C．1，，2 D．9，40，41
4.一个多边形的内角和比四边形的内角和多720°，并且这个多边形的各内角相等，则这个多边形的一个外角是（　　）
A．30° B．45° C．60° D．135°
5.如图，在△ABC中，AC边上的中线，点E在BD上，且∠AED＝2∠CBD，若AC＝6，AB＝4，则BE的长为（　　）
A． B．2 C． D．
6.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是BC边上一点，点E为AB边上的动点，点F，G分别为CD，DE的中点，则FG的最小值为（　　）
A．1 B．1.2 C．1.5 D．1.8
7.“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图①是一个直角边长分别为2和3的直角三角形，用四个这样的全等的直角三角形拼成如图②所示的正方形ABCD，四边形EFGH是正方形，对角线EG和FH交于点O，则OE的长为（　　）
A． B． C． D．
8.如图，菱形ABCD和菱形AEFG中，AB＝8，∠ABC＝60°，点E是AD的中点，点G在BA的延长线上，连接AC，AG，CF，则CF的长为（　　）
A． B． C． D．
9.如图，在边长为定值的平行四边形ABCD中，E，G分别为边AD，BC的中点，点F，H分别在边AB，CD上移动（都不与端点重合），且满足BF＝DH，连接EF，FG，GH，HE，下列说法中，错误的是（　　）
A．线段EG的长度为定值
B．当F为AB的中点时，四边形EFGH为矩形
C．四边形EFGH始终是平行四边形
D．
10.如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E，F，则PE+PF的值为（　　）
A．5 B． C． D．
11.如图，点O为菱形ABCD的对称中心，过点O分别作AB，BC的垂线，交各边于点M，N，P，Q．若∠B＝60°，AB＝6，则四边形MPNQ的周长为（　　）
A． B． C． D．
12.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由八个全等的直角三角形拼接而成的，记正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3。若正方形EFGH的边长为3，则S1+S2+S3的值为（　　）
A．9 B．18 C．27 D．36
二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13.若代数式有意义，则x的取值范围是 　 　 ．
14.已知1≤a≤2，化简　 　 ．
15.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝1。BC在数轴上，以点B为圆心，AB的长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数是　 　 ．
16.如图，正五边形ABCDE中，以CD为边作等边△CDF，连接BF，则∠CBF的度数为 　 　 ．
17.利用平方与开平方互为逆运算的关系，可以将某些无理数进行如下操作：
例如：时，移项得，两边平方得，所以a2﹣2a+1＝3，即得到整系数方程：a2﹣2a﹣2＝0.
仿照上述操作方法，若，计算：a3﹣15a﹣2025＝　 　 ．
18.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠DOC＝120°，AC＝8，点F在线段AO上从点A至点O运动，连接DF，以DF为边作等边△DFE，点E和点A分别位于DF两侧，连接CE．下列结论：①∠ADF＝∠EFC；②ED＝EC；③点F从点A运动到点O时，E的运动路程是4；④连接OE，△OEF面积的最大值为．其中正确结论的序号为　 　 ．
三、解答题（本题共8小题，共72分．）
19.（6分）计算：
（1）； （2）．
20.（6分）已知：直角三角形中两条直角边分别a，b，斜边为c，
（1）a＝6，c＝10，求b的值；
（2）b＝9，c＝10，求a的值．
21.（8分）（1）已知x、y为实数，且，求的值；
（2）已知x+y＝7，xy＝8，求代数式x2y2的值．
22.（8分）如图，在锐角三角形ABC中，CD、BE分别是边AB，AC上的高，M、N分别是线段BC，DE的中点．
（1）求证：MN⊥DE；
（2）连接DM，ME，若∠A＝50°，求∠DME．
23.（10分）如图，在矩形ABCD中，过矩形ABCD的对角线AC中点O作EF⊥AC，分别交AB，CD于E，F点．
（1）连接AF，CE，求证：四边形AFCE为菱形；
（2）若AB＝18，∠CAB＝30°，求菱形AFCE的周长．
24.（10分）某校教学楼在一条公路旁，经常受路上车辆的噪声污染，如图，有一辆货车沿东西方向AB由点A向点B移动，已知点C为教学楼，点C与直线AB上两点A、B的距离分别为30m和40m，且AB＝50m，以货车为圆心的周围25m以内为受影响区域．
（1）求证：∠ACB＝90°
（2）教学楼C会受噪声影响吗？为什么？
（3）若货车的速度为2m/s，则货车影响教学楼持续的时间有多长？
25.（12分）我们已经学过完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如2＝（）2，3＝（）2，7＝（）2，0＝02，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题：
例：求3﹣2的算术平方根．
解：3﹣2，∴3﹣21。
你看明白了吗？请根据上面的方法化简：
（1）
（2）
（3）．
26.（12分）如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题：
（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°，
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为 　 　 ，数量关系为 　 　 ．
②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？
（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？并说明理由．
参考答案
一、选择题
1．C
解：A．与不是同类二次根式，不能合并，故不正确，不符合题意；
B．与不是同类二次根式，不能合并，故不正确，不符合题意；
C．，正确，符合题意；
D．，故不正确，不符合题意；
故选：C．
2．D
解：A、2，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、是最简二次根式，故此选项符合题意；
故选：D．
3．D
解：22+32≠42，不是“勾股数”，所以此选项错误，不符合题意；
42+52≠62不是“勾股数”，所以此选项错误，不符合题意；
不是正整数，故不是“勾股数”，所以此选项错误，不符合题意；
92+402＝412是“勾股数”，所以此选项正确，符合题意；
故选：D．
4．B
解：设这个多边形边数为n，则（n﹣2） 180＝360+720，
解得：n＝8，
∵这个多边形的每个内角都相等，
∴它每一个内角的度数为1080°÷8＝135°，
∴外角为：180°﹣135°＝45°，
故选：B．
5．C
解：过A作AH⊥BD于H，过D作DM⊥AB于M，
∵AC边上的中线BDAC，
∴AD＝CD＝BD，
∴∠C＝∠CBD，
∴∠ADE＝∠C+∠CBD＝2∠CBD，
∵∠AED＝2∠CBD，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AE＝AD，
∵AH⊥DE，
∴DE＝2DH，
∵AD＝BD，DM⊥AB于M，
∴AMAB4＝2，
∵ADAC6＝3，
∴MD，
∵△ABD的面积BD AHAB MD，
∴3×AH＝4，
∴AH，
∴DH，
∴DE＝2DH，
∴BE＝BD﹣DE＝3．
故选：C．
6．B
解：如图，连接CE，
∵点F，G分别为CD，DE的中点，
∴，
当CE⊥AB时，CE的值最小，此时FG的值也最小，
∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴．
∵，
∴，
∴，
故选：B．
7．A
解：由题意可知，AF＝2，AE＝3，
∴，
∵四边形EFGH是正方形，对角线EG和FH交于点O，
∴OE，
故选：A．
8．A
解：如图，连接EG交AF于点O，
∵四边形ABCD和AEFG都是菱形，AB＝8，
∴AF＝2OA，，AD＝CD＝AB＝8，AD∥BC，AE＝AG，AF⊥EG，
∵∠ABC＝60°，
∴∠EAG＝∠ABC＝60°，△ACD为等边三角形，
∴△EAG为等边三角形，∠CAD＝60°，AC＝AD＝8，
∴∠EAF＝30°，EG＝AE，
∴∠CAF＝∠CAD+∠EAF＝90°，
∵点E是AD的中点，
∴EG＝AE＝4，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
9．B
解：连接EG，如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC且AD＝BC，AB＝CD，∠A＝∠C，∠B＝∠D，
∵E、G分别为AD、BC的中点，
∴AE＝DE＝BG＝CG，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABGE是平行四边形．
∴EG＝AB，故A正确，不符合题意；
∵BF＝DH且AB＝CD，
∴AB﹣BF＝CD﹣DH，
∴AF＝CH，
∴△AEF≌△CGH（SAS），
∴EF＝GH，
∴△DHE≌△BFG（SAS），
∴EH＝FG，
∴四边形EFGH始终是平行四边形，故C正确，不符合题意；
当F为AB的中点时，无法进一步证明四边形EFGH为矩形，故B错误，符合题意；
设平行四边形ABCD的底AB＝EG＝a，平行四边形ABCD的高（AB与CD之间的距离）为h，
∴SABCD＝a h，
由图得，S EFGH＝S△EGF+S△EGH，
过点H作HN⊥EG于N，过点F作FM⊥EG于M，如图，
∵AB∥EG∥CD，
∴FM+HN ＝ h，
∴，，
∴
∴，故D正确，不符合题意．
故选：B．
10．B
解：如图，连接OP，
∵在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，
∴S矩形ABCD＝AB BC＝60，AC＝BD，，，
∴，
∴AC＝BD＝13，
∴，
∴，
∴S△AOD＝S△AOP+S△DOP
＝15，
∴．
故选：B．
11．D
解：如图，连接AO，OD，OC，BO，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，∠ABO＝∠CBO＝30°，BD⊥AC，
∴∠BAO＝∠DAO＝60°，
∴，OB，
∵OM⊥AB，OQ⊥BC，
∴∠BMO＝∠BQO＝90°，
在△BMO和△BQO中，
，
∴△BMO≌△BQO（AAS），
∴OM＝OQ，BM＝BQ，
∵∠MBQ＝60°，
∴△MBQ是等边三角形，
∴MQ＝BM＝BQ，
同理可证，△DPN，△OPM，△OQN都是等边三角形，
∴，MO＝MP＝OP，，
∴，
∴四边形MPNQ的周长为2（MP+MQ）．
故选：D．
12．C
解：设八个全等的直角三角形每个面积为S，
由图形可得知，S2＝4S+S3，S1＝8S+S3，
则S1+S2+S3＝8S+S3+4S+S3+S3＝3（4S+S3）＝3S2，
∵正方形EFGH的边长为3，
∴S2＝9，
∴若正方形EFGH的边长为3，则S1+S2+S3＝3S2＝27，
故选：C．
二、填空题
13．x≤3且x≠2．
解：根据二次根式有意义，分式有意义得3﹣x≥0且x﹣2≠0，
解得x≤3且x≠2．
故答案为：x≤3且x≠2．
14．1．
解：由条件可知a﹣1≥0，a﹣2≤0，
∴原式＝|a﹣1|+|a﹣2|
＝a﹣1﹣（a﹣2）＝a﹣1﹣a+2＝1．
故答案为：1．
15．．
解：，
∴点D表示的数是，
故答案为：．
16．66°．
解：∵五边形ABCDE是正五边形，△CDF是等边三角形，
∴CB＝CF＝CD，∠CDF＝∠CFD＝60°，∠BCD108°，
设∠CBF＝x°，则∠CFB＝x°，
根据题意得：∠CBF+∠BCD+∠CDF+∠BFD＝180°×（4﹣2），
即x+108+60+x+60＝360，
解得：x＝66，
∴∠CBF＝66°．
故答案为：66°．
17．﹣2029．
解：∵，
∴，
∴（a﹣2）2＝3，
∴a2﹣4a+4＝3，
∴a2﹣4a+1＝0，
∴a2+1＝4a，a2﹣4a＝﹣1，
∴原式＝a（a2﹣4a）+4a2﹣15a﹣2025
＝﹣a+4a2﹣15a﹣2025
＝4（a2﹣4a）﹣2025
＝﹣4﹣2025
＝﹣2029，
故答案为：﹣2029．
18．①②③④．
解：①设DB与EF的交点为G，如图所示：
在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠DOC＝120°，
∴∠AOD＝60°，OD＝OA，
∴△OAD为等边三角形，
∴∠DOA＝∠DAO＝∠ADO＝60°，
∵△DFE为等边三角形，
∴∠DEF＝∠FED＝60°，
∴∠DOA＝∠DEF＝60°，
∴∠DGF＝∠EFC+∠DOA，∠DGF＝∠BDE+∠DEF，
∴∠ODE＝∠EFC
∵∠ADO＝∠FDE＝60°
∴∠ADF＝∠ODE
∴∠ADF＝∠EFC，故①正确，符合题意；
在△DAF和△DOE中，
，
∴△DAF≌△DOE（SAS），
∴∠DOE＝∠DAF＝60°，
∵∠COD＝180°﹣∠AOD＝120°，
∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝120°﹣60°＝60°，
∴∠COE＝∠DOE，
在△ODE和△OCE中，
，
∴△ODE≌△OCE（SAS），
∴ED＝EC，故结论②正确，符合题意；
③如图，延长OE至E′，使OE′＝OD，连接DE′，
∵ED＝EC，
∴点E在DC的垂直平分线上，则OE∥AD，
∴点F在线段AO上从点A至点O运动时，点E从点O沿线段OE′运动到E′，
∵∠BDA＝90°﹣∠ADB＝90°﹣60°＝30°，
∴DB＝2AD
设DA＝x，则DB＝2x＝AC＝8，
解得：x＝4，
∴OE′＝OD＝AD＝4，
∴点E运动的路程是4，
故结论③正确，符合题意；
如图，在AD上截取AH＝AF，过点F作FP⊥AD于点P，连接HF，
∵∠DAF＝60°
∴△AFH是等边三角形，
∴∠FHA＝60°
∴∠DHF＝120°，
又∵OE∥AD，
∴∠FOE＝180°﹣∠DAO＝120°，
∴∠DHF＝∠FOE，
又∵∠ADF＝∠EFC，DF＝EF，
∴△OEF≌△HFD（AAS），
∴S△OEF＝S△DFH，
设AF＝x，则DH＝AD﹣AH＝AD﹣AF＝4﹣x，，
∴，
∴当x＝2时，△OEF面积的最大值为．
故④正确，符合题意，
故答案为：①②③④．
三、解答题
19．解：（1）原式
；
（2）原式
＝0．
20．解：（1）∵直角三角形中两条直角边分别a，b，斜边为c，a＝6，c＝10，
由勾股定理得：a2+b2＝c2，
∴62+b2＝102，
解得：b＝8（负值舍去）；
（2）∵a2+b2＝c2，b＝9，c＝10，
∴a2+92＝102，
解得：（负值舍去）．
21．解：（1）已知x、y为实数，且，
∵x﹣4≥0，4﹣x≥0，
∴x＝4，
∴y＝0+0﹣8＝﹣8，
∴2；
（2）∵x+y＝7，xy＝8，
∴x，y都是正数，
∴x2y2
＝x2 y2
＝xy
＝（x+y）
＝7
＝14．
22．（1）证明：连接DM、ME，
∵在锐角三角形ABC中，CD、BE分别是边AB，AC上的高，
∴CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，
∴∠BDC＝∠BEC＝90°，
∵M是线段BC的中点，
∴DMBC，MEBC，
∴DM＝ME，
∵N是线段DE的中点，
∴MN⊥DE．
（2）解：∵∠BDC＝∠BEC＝90°，M是线段BC的中点，
∴DM＝BMBC，ME＝MCBC，
∴∠MDB＝∠ABC，∠MEC＝∠ACB，
∴∠BMD＝180°﹣∠MDB﹣∠ABC＝180°﹣2∠ABC，∠CME＝180°﹣∠MEC﹣∠ACB＝180°﹣2∠ACB，
∵∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝130°，
∴∠DME＝180°﹣∠BMD﹣∠CME＝180°﹣（180°﹣2∠ABC）﹣（180°﹣2∠ACB）＝2（∠ABC+∠ACB）﹣180°＝80°，
∴∠DME的度数是80°．
23．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠CFO＝∠AEO，
由条件可知AO＝CO，
在△COF与△AOE中，
，
∴△COF≌△AOE（AAS），
∴CF＝AE，
又CF∥AE，
∴四边形AECF为平行四边形，
∵EF⊥AC
∴平行四边形AECF为菱形．
（2）解：由（1）得平行四边形AECF为菱形．
∴AE＝EC，
∴∠CAB＝∠ACE＝30°，
∴∠CEB＝60°，∠ECB＝30°，
设EB＝x，则EC＝2EB＝2x，
∴AE＝2x，AB＝AE+EB＝3x，
∴3x＝18，
得x＝6，（8分）
∴AE＝2x＝12，
∴菱形AECF的周长为48．
24．（1）证明：依题得：CA＝30m，CB＝40m，
∵302+402＝502，
即CA2+AB2＝AB2，
∴∠ACB＝90°；
（2）解：作CD⊥AB交AB于点D，
∵S△ABCAC BCCD AB，
∴DC24＜25，
以货车为圆心的周围25m以内为受影响区域，故教学楼C会受噪声影响；
（3）解：如图，当EC＝FC＝25m时，正好影响教学楼C，
∵CD2+DE2＝CE2，
∴DE7（m），
同理可得DF＝7m，
∴EF＝DE+DF＝14m，
∵货车的速度为2m/s，
∴货车影响教学楼持续的时间为14÷2＝7s．
25．解：（1）1；
（2）
4；
（3）原式，
，
，
122，
1．
26．解：（1）①CF⊥BD，CF＝BD
故答案为：垂直、相等．
②成立，理由如下：
∵∠FAD＝∠BAC＝90°
∴∠BAD＝∠CAF
在△BAD与△CAF中，
∵
∴△BAD≌△CAF（SAS）
∴CF＝BD，∠ACF＝∠ACB＝45°，
∴∠BCF＝90°
∴CF⊥BD
（2）当∠ACB＝45°时可得CF⊥BC，理由如下：
过点A作AC的垂线与CB所在直线交于G
则∵∠ACB＝45°
∴AG＝AC，∠AGC＝∠ACG＝45°
∵AG＝AC，AD＝AF，
∵∠GAD＝∠GAC﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC，∠FAC＝∠FAD﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC，
∴∠GAD＝∠FAC，
∴△GAD≌△CAF（SAS）
∴∠ACF＝∠AGD＝45°
∴∠GCF＝∠GCA+∠ACF＝90°
∴CF⊥BC

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