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2026学年八年级数学下学期期中测试卷（第19-21章）
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。）
1.如果一个n边形的内角和比外角和多为900°，那么n的值是（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
2.在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c．下列所给数据中，不能判定△ABC是直角三角形的是（　　）
A．a＝2，b＝2，c＝1 B．a2+b2＝c2
C．∠A﹣∠B＝∠C D．a：b：c＝3：4：5
3.如图，数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的A，B两点间的距离，同学们在AB外选择一点C，测得AC＝10m，BC＝8m，AC，BC两边中点的距离DE＝6m，则A，B两点间的距离是（　　）
A．10m B．8m C．20m D．12m
4.如图，正方形ABCD的顶点C与正方形DNGH的边NG均在直线l上，BM⊥l于点M，若CM＝2，则正方形DNGH的周长为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
5.估计的值应在（　　）
A．8和9之间 B．7和8之间 C．6和7之间 D．5和6之间
6.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AB，垂足为E，连接OE．若OE＝2，∠DAB＝60°，则DE的长为（　　）
A．4 B． C．3 D．
7.代数式中x的取值范围在数轴上表示如图所示，则a+b的值为（　　）
A．4 B．3 C．1 D．﹣5
8.如图，Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，∠ACB＝90°，分别以AC、BC、AB为直径作三个半圆，那么阴影部分的面积为（　　）
A．24 B．10π C． D．48
9.如图，四边形ABCD为一张长方形纸片，点E，F分别为AD，BC边上一点，将这张纸片沿EF折叠，使点A，B分别落在点M，N的位置，AB的对应边MN与BC交于点G，若∠NFG＝α，则∠FEA的度数为（　　）
A． B． C． D．2α﹣90°
10.如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则2026次操作后图形中所有正方形的面积和为（　　）
A．8116 B．8114 C．8112 D．8110
11.《数书九章》是我国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式．在△ABC中，AB＝c＝5，BC＝a＝6，AC＝b＝7．点O为△ABC三个内角的角平分线交点，若OD⊥AC，则OD的长为（　　）
A． B． C． D．
12.如图，在四边形ABCD中，已知AC⊥BD，AC＝4，BD＝6，则AD+BC的最小值是（　　）
A．7 B．5 C． D．
二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13.使式子有意义的x的取值范围是　 　 ．
14.Rt△ABC中，三边分别是a、b、c，∠C＝90°，若a＝6，b＝8，则c＝　 　 ．
15.若，，mn＜0，则m﹣n＝　 　 ．
16.如图，在矩形ABCD中，E，F分别是CD，BC的中点，若AC＝18，则EF的长度为　 　 ．
17.如图，Rt△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，分别以AB，AC，BC为边作等边三角形△ABD，△ACF，△BCE，BE交AD于点H，AF交BC于点G．△BHD，△CGF，四边形AHEC，分别表示为S1，S2，S3，若CG＝3.5，则S1+S2﹣S3＝　 　 ．
18.如图，正方形ABCD中，∠EAF＝45°，连接EF，BD，则BM，MN，ND之间的数量关系为　 　 ．
三、解答题（本题共8小题，共72分．）
19.（8分）求值：
（1）先化简后求值：，其中；
（2）已知，，求下列各式的值：①x2+2xy+y2；②．
20.（6分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，，，DA＝1。连接AC．
（1）求AC的长度；
（2）求∠DAB的度数．
21.（8分）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，延长CB至点G，使BC＝BG，连接AG，BD．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）从下列条件中任选一个作为已知条件后，试判断四边形AGBD的形状，并证明你的结论．
①∠C+∠ABD＝90°；②∠C＝∠ABD．
选择的条件：　 　 （填写序号）．（注：如果选择①，②分别进行解答，按第一个解答计分）
22.（8分）为了更好地提升居民的生活水平和居住满意度，某小区进行小范围绿化，要在一块如图所示的四边形空地ABCD内进行绿化改造，∠A＝90°，AB＝12m，AD＝9m，BC＝17m，CD＝8m．
（1）若要在B，D两点间铺一条鹅卵石路，铺设成本为120元/m；最低花费为多少元？
（2）如果种植草皮的费用是200元/m2，那么在整块空地上种植草皮共需投入多少元？
23.（8分）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，点D在AC的下方，且．
（1）猜想BC与AD的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，连接BD，交AC于点O，若，求OA的长．
24.（10分）如图，在正方形ABCD中，点E为BC边上一点，连接AE，过点D作DF⊥AE于点F，连接CF，过点C作CG⊥DF于点G．
（1）求证：△ADF≌△DCG；
（2）若正方形ABCD的边长为6，BE＝2，求CG的长．
25.（12分）先阅读下列一段文字，再回答问题．
我们已经知道在数轴上，如果点A表示的数为a，点B表示的数为b，那么AB的长度等于|a﹣b|，借助平面直角坐标系与勾股定理可以研究平面内两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）之间的距离，小明已经构建了如图所示平面直角坐标系及直角三角形，则P1P2两点间距离；
（1）根据上面结论，已知点A（2，4），B（﹣4，﹣4），AB＝ 　 　 ；
（2）已知点A，B所在的直线平行于y轴，点A的纵坐标为﹣5，点B的纵坐标为1，则A，B两点间的距离为 　 　 ；当两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间的距离＝ 　 　 ．
（3）已知M（﹣3，2），N（2，2），在y轴上找点Q，使△MNQ是以MN为腰的等腰三角形．
26.（12分）阅读材料：用配方法求最值．
已知x，y为非负实数，
∵
∴，当且仅当“x＝y”时，等号成立．
例：已知x＞0，求函数的最小值．
解：令a＝x，则有，
得
当且仅当，即x＝2时，函数取到最小值，最小值为4．
根据以上信息回答下列问题．
（1）已知x＞0，则函数取到最小值，最小值为　 　 ，已知x＞2，则的最小值是　 　 ；
（2）已知x＞0，则自变量x取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？
（3）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，S△BOC＝16，S△AOD＝36，求四边形ABCD的面积的最小值．
参考答案
一、选择题
1．C
解：根据n边形的内角和公式可得：
（n﹣2）×180°＝1260°，
解得n＝9，
故选：C．
2．A
解：A、∵12+22≠22，
∴△ABC不是直角三角形，符合题意；
B、∵a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意；
C、∵∠A﹣∠B＝∠C，且∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠A＝180°，
∴∠A＝90°，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意；
D、∵a：b：c＝3：4：5，
∴设a＝3x，b＝4x，c＝5x，且（3x）2+（4x）2＝（5x）2，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意．
故选：A．
3．D
解：∵点D，E是AC，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB＝2DE，
∵DE＝6m，
∴AB＝12m，
故选：D．
4．B
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝BC，∠BCD＝90°，
∵四边形DNGH是正方形，
∴正方形DNGH的周长为：4×DN，∠DNG＝90°，
∵点C与NG均在直线l上，
∴∠CND＝180°﹣∠DNG＝90°，
∴△NCG是直角三角形，
∵BM⊥l于点M，
∴∠BMC＝90°，
∴∠CND＝∠BMC＝90°，
在Rt△NCG中，∠NCD+∠NDC＝90°，
又∵∠NCD+∠MCB＝180°﹣∠BCD＝90°，
∴∠NDC＝∠MCB，
在△NDC和△MCB中，
∠CND＝∠BMC＝90°，∠NDC＝∠MCB，CD＝BC，
∴△NDC≌△MCB（AAS），
∴DN＝CM，
∵CM＝2，
∴DN＝CM＝2，
∴正方形DNGH的周长为：4×DN＝8．
故选：B．
5．A
解：
，
∵4.52＝20.25，52＝25，
∴，
∴，
∴，
∴原式的值在8和9之间．
故选：A．
6．B
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，AC⊥BD，
∵∠DAB＝60°，
∴△DAB是等边三角形，
∵DE⊥AB，
∴AE＝BEAB，即点E是AB的中点，∠ADE＝30°，
∵AC⊥BD，点E是AB的中点，
∴OE，
∵OE＝2，
∴AB＝4，
∴AD＝4，
在Rt△DAE中，由勾股定理得DE，
故选：B．
7．A
解：由题意得，x+2a＞0且b﹣x≥0，
解得x＞﹣2a且x≤b，
由数轴上x的取值范围可得，﹣2＜x≤3，
∴﹣2a＝﹣2，b＝3，
解得a＝1，b＝3，
∴a+b＝1+3＝4，
故选：A．
8．A
解：∵∠ACB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，
∴S阴影＝以直径为AC的半圆的面积+以直径为BC的半圆的面积+S△ABC﹣以直径为AB的半圆的面积
π（）2π（）2AC BCπ（）2
π（AC）2π（BC）2π（AB）2AC BC
π（AC2+BC2﹣AB2）AC BC
AC BC
8×6
＝24．
故选：A．
9．B
解：∵∠NFG+∠NFB＝180°，且∠NFG＝α，
∴∠NFB＝180°﹣∠NFG＝180°﹣α，
由折叠得∠NFE＝∠BFE，
∵∠NFE+∠BFE+∠NFB＝360°，
∴2∠BFE+180°﹣α＝360°，
∴∠BFE＝90°α，
∵AD∥BC，
∴∠FEA＝180°﹣∠BFE＝180°﹣（90°α）＝90°α，
故选：B．
10．C
解：∵图①中，直角三角形斜边长为2，
由勾股定理得：三个正方形的面积和为：22+22＝8；
第一次操作后所有正方形的面积和为：8+22＝12；
第二次操作后所有正方形的面积和为：8+4×2＝16；
……，
第n次操作后所有正方形的面积和为：8+4n；
∴当n＝2026时，即2026次操作后图形中所有正方形的面积和为：8+4×2026＝8112，
故选：C．
11．C
解：∵点O是三个角平分线的交点，
∴点O到三边的距离都等于OD，
∴AB ODBC ODAC OD＝6，
∴（AB+BC+AC） OD＝6，
∴9OD＝6，
∴OD．
故选：C．
12．C
解：如图，将线段BD沿DA方向平移，使点D与点A重合，得到线段AE．
∴BD＝AE，BD∥AE，AD∥BE，AD＝BE；
∵AC⊥BD，且BD∥AE，
∴AC⊥AE，即∠CAE＝90°．
∵AC＝4，BD＝6，
∴AE＝BD＝6．
在Rt△CAE中，
由AD＝BE，可得AD+BC＝BE+BC．
∵BE+BC≥CE．
∴AD+BC的最小值为CE的长度，即．
故选：C．
二、填空题
13．x≥2026．
解：根据题意可知，x﹣2026≥0，
解得：x≥2026．
故答案为：x≥2026．
14．10．
解：∵∠C＝90°，a＝6，b＝8，
∴c10，
故答案为：10．
15．8．
解：∵，m≥0，
∴|m|＝5，
∴m＝5，
∵，
∴|n|＝3，
∴n＝±3，
∵mn＜0，m＝5＞0，
∴n＜0，
∴n＝﹣3，
∴m﹣n＝5﹣（﹣3）＝5+3＝8．
故答案为：8．
16．9．
解：如图，连接BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BD＝AC＝18．
∵在矩形ABCD中，E，F分别是CD，BC的中点，
∴若AC＝18，则．
17．1.8．
解：Rt△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，分别以AB，AC，BC为边作等边三角形△ABD，△ACF，△BCE，如图所示，
∴S1＝S△ABD﹣S4，S2＝S△ACF﹣S6，S3＝S△BCE﹣S4﹣S5﹣S6，
∴S1+S2﹣S3
＝S△ABD﹣S4+S△ACF﹣S6﹣（S△BCE﹣S4﹣S5﹣S6）
＝S△ABD+S△ACF﹣S△BCE+S5，
如图所示，作AM⊥BC，AN⊥CF，DP⊥AB，EQ⊥BC，
在Rt△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，
∴，则，
∴，
∵AB＝AD＝BD＝3，AC＝AF＝CF＝4，BC＝BE＝CE＝5，∠ADB＝∠CAF＝∠BEC＝60°，
∴∠BDP＝∠CEQ＝∠CAN＝30°，
∴，，，
∴，
∴，，，
∴，
故答案为：1.8．
18．MN2＝BM2+ND2．
解：如图：将△ABM逆时针旋转90°得△ADM′，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD＝90°，∠ABD＝∠ADB＝45°，
∴∠NDM′＝90°，
∴NM′2＝ND2+DM′2，
∵∠BAD＝∠MAD+∠BAM＝90°，
∴∠EAM′＝∠BAM+∠MAD＝∠DAM′+∠MAD＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠FAM′＝∠EAF＝45°，
在△ANM′和△AMN中，
，
∴△ANM′≌△AMN（SAS），
∴MN＝NM′．
∵BM＝DM′，
∴MN2＝ND2+BM2．
故答案为：MN2＝ND2+BM2．
三、解答题
19．解：（1）原式＝2（a2﹣3）﹣a2+6a+6
＝2a2﹣6﹣a2+6a+6
＝a2+6a，
当时，原式；
（2）∵，，
∴，，
∴①x2+2xy+y2
＝（x+y）2
＝12；
②
＝4．
20．解：（1）∵∠B＝90°，，
∴，
则AC的长度为2；
（2）∵，DA＝1，
∵AC＝2，
∴根据勾股定理，DA2+AC2＝DC2，
∴△DAC为直角三角形，即∠DAC＝90°，
∵∠B＝90°，，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°，
∴∠DAB＝90°+45°＝135°．
21．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD，AB＝CD，∠BCD＝∠BAD，
∵E，F分别为边AB，CD的中点，
∴，
∴AE＝CF，
∵AE＝CF，∠EAD＝∠C，AD＝BC，
∴△ADE≌△CBF；
（2）条件①，四边形AGBD是矩形，
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，
∵AG∥DB，
∴四边形AGBD是平行四边形，
∵∠C+∠ABD＝90°，
∴∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠BDA＝90°，
∴ AGBD是矩形．
条件②，四边形AGBD是菱形，
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，
∵AG∥DB，
∴四边形AGBD是平行四边形，
∵∠C＝∠ABD，
∴∠BAD＝∠ABD，
∴BD＝AD，
∴ AGBD是菱形．
22．解：（1）如图，连接BD，
∵∠A＝90°，AB＝12m，AD＝9m，
∴BD15（m），
∵铺设成本为120元/m，
∴铺设这条鹅卵石路的最低花费为120×15＝1800（元）；
（2）∵CD＝8m，BC＝17m，BD＝15m，
∴CD2+BD2＝82+152＝289＝172＝BC2，
∴∠BDC＝90°，
∴整块空地的面积为：，
∵种植草皮的费用是200元/m2，
∴整块空地上种植草皮共需投入114×200＝22800（元）．
23．解：（1）AD∥BC；理由如下：
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，
由勾股定理得：，
∴AD＝AB＝5，
∴AD2＝25，CD2＝41，AC2＝16，
∴AC2+AD2＝CD2，
∴△CAD是直角三角形，且∠CAD＝90°，
∴∠CAD＝∠ACB，
∴AD∥BC；
（2）∵，
∴设OC＝x，则．
在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC2+OC2＝OB2，
∴，
解得：，
∴．
24．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADC＝90°，
∵DF⊥AE于点F，CG⊥DF于点G，
∴∠DFA＝∠CGD＝90°，
∴△CDG是直角三角形，
在Rt△CDG中，∠DCG+∠CDG＝90°，
∵∠ADC＝∠ADF+∠CDG＝90°，
∴∠ADF＝∠DCG，
在△ADF和△DCG中，
，
∴△ADF≌△DCG（AAS）；
（2）解：连接DE，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，且边长为6，
∴AD＝AB＝6，∠B＝90°，AD∥BC，
∴△ABE是直角三角形，
在Rt△ABE中，BE＝2，
由勾股定理得：AE，
由三角形面积公式得：S△ADEAE DFAD AB，
∴DF，
由（1）可知：△ADF≌△DCG，
∴DF＝CG，
即CG的长为．
25．解：（1）∵A（2，4），B（﹣4，﹣4），
∴AB10，
故答案为：10；
（2）设点A横坐标为t，
∵点A，B所在的直线平行于y轴，点A的纵坐标为﹣5，点B的纵坐标为1，
∴点A的坐标为（t，5），B（t，﹣1），
∴AB6；
①当点P1（x1，y1），P2（x2，y2）在x轴上时，则y1＝y2＝0，
∴P1P2＝√（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2＝|x1﹣x2|；
②当点P1（x1，y1），P2（x2，y2）在y轴上时，则x1＝x2＝0，
∴P1P2|y1﹣y2|；
③当P1P2平行y轴（或垂直x轴）时，则x1＝x2，
∴P1P2|y1﹣y2|；
④当P1P2平行x轴（或垂直y轴）时，则y1＝y2，
∴P1P2|x1﹣x2|；
综上所述：当点P1，P2所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，P1P2＝|x1﹣x2|或P1P2＝|y1﹣y2|；
故答案为：6；|x1﹣x2|或|y1﹣y2|．
（3）设点Q的坐标为（0，k），
∵点M（﹣3，2），N（2，2），
∴MN5，MQ，NQ，
∵△MNQ是以MN为腰的等腰三角形，
∴有以下两种情况：
①当点M为顶点，NQ为底边时，则MQ＝MN，
∴5，
整理得：（2﹣k）2＝16，
解得：k＝6，或k＝﹣2，
∴点Q的坐标为（0，6）或（0，﹣2）；
②当点N为顶点，MQ为底边时，则NQ＝MN，
∴5，
整理得：（2﹣k）2＝21，
解得：k＝2，或k＝2，
∴点Q的坐标为（0，2）或（0，2）．
综上所述：点Q的坐标为（0，6）或（0，﹣2）或（0，2）或（0，2）．
26．解：（1）函数，
令，
∴，
∴当且仅当，即x＝1时，取得最小值，最小值为6，
设，
当且仅当，即x＝3时，的最小值是4，
故答案为：6，4．
（2）∵，
又∵，
当且仅当时，有最小值，
∵x＞0，
∴当时，有最小值，最小值为，
∴此时y有最大值为：；
∴当时，函数取到最大值，最大值为．
（3）设S△COD＝y，S△AOB＝x，则S四边形ABCD＝16+36+x+y，
∵，
∴；
当且仅当x＝y时，；
此时BC∥AD，，
故S最小＝100．

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