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10.1 二元一次方程组的概念
一、单选题
1．下面方程是二元一次方程的是（　　）
A．3x﹣2＝0 B．x2﹣3x+2＝0 C．x+3y＝2 D．x2﹣y＝1
2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列各组数中，是方程3x﹣y＝﹣1的解的为（　　）
A． B． C． D．
4．下列方程组中，解为的是（　　）
A． B．
C． D．
5．若2xm﹣2+3y2n+5＝﹣5是二元一次方程，则m，n的值为（　　）
A．m＝3，n＝﹣2 B．m＝3，n＝2 C．m＝﹣3，n＝﹣2 D．m＝﹣3，n＝2
6．已知是5x+my＝﹣2的一个解，则m的值为（　　）
A．4 B．﹣4 C． D．
7．已知是关于x，y的二元一次方程mx+ny＝7的解，则代数式4m+6n﹣3的值是（　　）
A．14 B．11 C．7 D．4
8．关于x、y的方程组的解为，则☆，△的值分别为（　　）
A．9，﹣1 B．9，1 C．5，1 D．7，﹣1
9．已知是关于x，y的二元一次方程组的解，那么a，b的值分别为（　　）
A．a＝2，b＝0 B．a＝﹣2，b＝0 C．a＝2，b＝1 D．a＝﹣2，b＝1
10．已知是方程的解，则（a+b）（a﹣b）的值为（　　）
A．15 B．﹣15 C．20 D．﹣20
二、填空题
11．（m﹣3）x+2y|m﹣2|+6＝0是关于x，y的二元一次方程，则m＝　 　 ．
12．若方程组是关于x，y的二元一次方程组，则ab的值等于　 　 ．
13．若是二元一次方程ax+by＝3的一个解，则2a﹣2b的值等于　 　 ．
14．已知是关于x，y二元一次方程mx+ny＝4的解，则代数式4m+6n﹣5的值是　 　 ．
15．已知方程组的解是，则方程组的解为　 ．
三、解答题
16．已知关于x，y的方程（2m﹣6）xn+1+（n+2）y|m|﹣2＝0是二元一次方程．
（1）求m，n的值；
（2）若y＝﹣2，求x的值．
17．已知二元一次方程5x+3y＝18．
（1）填表，使每对x、y的值都是方程5x+3y＝18的解；
（2）根据表格，请直接写出方程的非负整数解．
x 0 1 2 3 4
y 6 　　 　 　 　 　
18．若是二元一次方程组的解，求（a+3b）（5a﹣b）的值．
19．关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（a，b，c为常数），且b＝a+1，c＝a+2．
（1）当时，求c的值；
（2）若a为正整数，且该方程有正整数解时，求a的值．
20．若关于x、y的二元一次方程变形为y＝ax+b的形式（a、b是常数，a≠0），则其中一对常数a、b称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为（a，b）．例如二元一次方程3x﹣2y＝1变形为，则二元一次方程3x﹣2y＝1 的“相伴系数对”为．
（1）二元一次方程x+3y＝0的“相伴系数对”为 　 ；
（2）已知是关于x、y的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为（2k，k+3），求出这个二元一次方程；
（3）关于x、y的二元一次方程mx﹣5m＝4y+5n﹣nx，已知该方程的“相伴系数对”之和为2，求m+n的值．
参考答案
一、单选题
1．C
解：A、3x﹣2＝0，只含一个未知数，不符合二元一次方程的定义；
B、x2﹣3x+2＝0，只含一个未知数，且未知数的最高次数为2，不符合二元一次方程的定义；
C、x+3y＝2，含有两个未知数x和y，且未知数的最高次数为1，符合二元一次方程的定义；
D、x2﹣y＝1，含有两个未知数，但未知数x的最高次数为2，不符合二元一次方程的定义．
故选：C．
2．C
解：A．该方程组属于二元二次方程组，不符合题意；
B．该方程组的第二个方程不是整式方程，不符合题意；
C．该方程组属于二元一次方程组，符合题意；
D．该方程组含有三个未知数，不是二元一次方程组，不符合题意．
故选：C．
3．C
解：A．当x＝0，y＝﹣1时，方程左边＝3×0﹣（﹣1）＝1，方程右边＝﹣1，1≠﹣1，
∴方程左边≠方程右边，
∴不是方程3x﹣y＝﹣1的解，选项A不符合题意；
B．当x＝1，y＝﹣2时，方程左边＝3×1﹣（﹣2）＝5，方程右边＝﹣1，5≠﹣1，
∴方程左边≠方程右边，
∴不是方程3x﹣y＝﹣1的解，选项B不符合题意；
C．当x＝﹣1，y＝﹣2时，方程左边＝3×（﹣1）﹣（﹣2）＝﹣1，方程右边＝﹣1，﹣1＝﹣1，
∴方程左边＝方程右边，
∴是方程3x﹣y＝﹣1的解，选项C符合题意；
D．当x，y＝1时，方程左边＝3×（）﹣1＝0，方程右边＝﹣1，0≠﹣1，
∴方程左边≠方程右边，
∴不是方程3x﹣y＝﹣1的解，选项D不符合题意．
故选：C．
4．C
解：A、不满足2x+3＝0，因此不是此方程组的解；
B、不满足x﹣3y＝﹣7，因此不是此方程组的解；
C、同时满足两个方程，因此是此方程组的解；
D、不满足5x+y＝13，因此不是此方程组的解；
故选：C．
5．A
解：由题意得：
m﹣2＝1，2n+5＝1，
∴m＝3，n＝﹣2，
故选：A．
6．A
解：把解代入方程5x+my＝﹣2得：
5x+my＝﹣2，
解得：m＝4，
故选：A．
7．B
解：把代入mx+ny＝7得：2m+3n＝7，
∴4m+6n﹣3
＝2（2m+3n）﹣3
＝2×7﹣3
＝14﹣3
＝11，
故选：B．
8．D
解：关于x、y的方程组的解为，
将x＝4代入x+y＝3，解得y＝﹣1，
则2x+y＝2×4+（﹣1）＝7，
则☆，△的值分别为7，﹣1，
故选：D．
9．B
解：由题意可得：
∴，
解得：；
即a＝﹣2，b＝0；
故选：B．
10．B
解：将代入得，
两式相加得a+b＝3，
两式相减得a﹣b＝﹣5，
∴（a+b）（a﹣b）＝3×（﹣5）＝﹣15．
故选：B．
二、填空题
11．1
解：∵（m﹣3）x+2y|m﹣2|+6＝0是关于x，y的二元一次方程，
∴|m﹣2|＝1且m﹣3≠0，
解得m＝1，
故答案为：1．
12．﹣1．
解：∵方程组是关于x，y的二元一次方程组，
∴，
解得，
∴ab＝（﹣1）3＝﹣1，
故答案为：﹣1．
13．6．
解：∵根据题意可知，把代入ax+by＝3，
得a﹣b＝3，
∴2a﹣2b＝2（a﹣b）＝2×3＝6．
故答案为：6．
14．3．
解：把方程组的解代入mx+ny＝4可得2m+3n＝4，
∴4m+6n﹣5＝2（2m+3n）﹣5＝2×4﹣5＝3．
故答案为：3．
15．．
解：令X＝x+2，Y＝y﹣1，则方程组变形为，
由题意可得：方程组的解是，
∴x+2＝2，y﹣1＝3，
∴x＝0，y＝4，
∴方程组的解为．
三、解答题
16．解：（1）∵关于x，y的方程（2m﹣6）xn+1+（n+2）y|m|﹣2＝0是二元一次方程，
∴n+1＝1，|m|﹣2＝1且2m﹣6≠0，n+2≠0
∴m＝﹣3，n＝0；
（2）由（1）知m＝﹣3，n＝0，则原方程可化为﹣12x+2y＝0．
当y＝﹣2时，﹣12x﹣4＝0，
解得．
17．解：（1）当x＝1时，5×1+3y＝18，
解得：y；
当x＝3时，5×3+3y＝18，
解得：y＝1；
当x＝4时，5×4+3y＝18，
解得：y．
故答案为：，1，；
（2）观察表格中的数据，可知：非负整数解为或．
18．解：把x＝2，y＝1代入方程组，得：，
①﹣②，得：a+3b＝3，
①+②，得：5a﹣b＝7，
∴（a+3b）（5a﹣b）＝3×7＝21．
19．解：（1）将代入ax+by＝c得2a+3b＝c，
∵b＝a+1，c＝a+2，
∴2a+3（a+1）＝a+2，
∴4a＝﹣1，
∴，
∴；
（2）∵关于x，y的二元一次方程ax+by＝c，b＝a+1，c＝a+2，
∴ax+（a+1）y＝a+2，
∴a（x+y﹣1）＝2﹣y，
∵x，y均为正整数，
∴x+y﹣1是正整数，
∵a是正整数，
∴2﹣y是正整数，
∴y＝1，
将y＝1代入a（x+y﹣1）＝2﹣y得ax＝1，
∴a＝1，
∴b＝2，c＝3，
∴方程的正整数解是，
∴当a＝1时，方程有正整数解．
20．解：（1）x+3y＝0，
3y＝﹣x，
，
∴二元一次方程x+3y＝0的“相伴系数对”为，
故答案为：；
（2）∵该方程的“相伴系数对”为（2k，k+3），
∴设该方程为y＝2kx+k+3，
又∵是该方程的一个解，
∴6k+k+3＝﹣11，
解得k＝﹣2，
∴y＝﹣4x+1，
故所求得方程为4x+y＝1；
（3）将关于x、y的二元一次方程mx﹣5m＝4y+5n﹣nx变形为，
∵该方程的“相伴系数对”之和为2，
∴2，
∴m+n＝﹣2．

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