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10.2.2 加减消元法
一、单选题
1．解方程组时，若将①﹣②可得（　　）
A．﹣2y＝8 B．﹣8y＝8 C．2y＝6 D．8y＝﹣8
2．方程组，下列步骤可以消去未知数x的是（　　）
A．①×3+②×2 B．①×3﹣②×2 C．①﹣②×2 D．①+②×2
3．若与的和是单项式，则a+b＝（　　）
A．﹣3 B．0 C．3 D．6
4．在解关于x，y的二元一次方程组时，如果①+②可直接消去未知数y，那么m和n满足的条件是（　　）
A．m＝n B．m n＝1 C．m+n＝1 D．m+n＝0
5．若方程组的解中x+y＝16，则k等于（　　）
A．15 B．18 C．16 D．17
6．若（3x+2y﹣14）2+|2x+y﹣8|＝0，则x+y的值是（　　）
A．﹣6 B．﹣2 C．2 D．6
7．在y＝kx+b中，当x＝﹣1时，y＝5；当x＝1时，y＝1；则当x＝2时，y的值为（　　）
A．2 B．﹣1 C．﹣3 D．5
8．已知关于x，y的方程组，若x﹣3y＝1，则k的值为（　　）
A． B． C． D．
9．对于任意有理数a，b，c，d，规定．若x，y满足，，则xy＝（　　）
A．﹣6 B．6 C．3 D．﹣3
10．已知关于x、y的二元一次方程组和代数式2x﹣ny．若不论m取何有理数，2x﹣ny的值始终不变，则这个值为（　　）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
二、填空题
11．已知方程组，则代数式x﹣y的值为 　 ．
12．已知方程组，则代数式的值为 　 ．
13．某中学七年级数学兴趣小组在一次活动中，遇到这样一个问题：已知x，y满足x+2y＝5，且，则m的值为　 　 ．
14．在解关于x，y的方程组时，可以用①×2+②消去未知数x，也可以用①+②×5消去未知数y，则m﹣n＝ ．
15.已知关于x，y的方程组，给出下列说法：
①若方程组的解互为相反数，则；②若方程组的解也满足4x+3y＝﹣20，则k＝﹣2；③当k＝1时，方程组的解也是关于x，y的二元一次方程3y﹣x＝k+1的解；④无论k取何值，代数式10y﹣5x的值不变，始终为定值．其中正确的有　 　 ．（填序号）
三、解答题
16．用加减消元法解二元一次方程组：
（1）； （2）．
17．定义：对于任意实数x，y，规定新的一种运算规则：x*y＝ax+by，x※y＝ax﹣by．
（1）当x＝1，y＝2时，x*y＝0，x※y＝4．求a，b的值；
（2）若关于x，y的方程组（m为常数）的解也满足关于x，y的方程3x*y+2x※y＝3，求m的值．
18．在平面直角坐标系中，对于点P（x，y）和点Q（x'，y'），若满足：，则称点P的“美点”为点Q．（1）
①求点P（3，1）的“美点”坐标；
②若点P的“美点”Q的坐标为（﹣3，﹣3），求点P的坐标；
（2）若点P（3，m﹣1）的“美点”位于坐标轴上，直接写出m的值．
19．规定：形如关于x、y的方程mx+ky＝b与kx+my＝b的两个方程互为共轭二元一次方程，其中k≠m；由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组．
（1）方程6x+y＝2的共轭二元一次方程是 　 ；
（2）若关于x、y的方程组为共轭方程组，则a＝　 　 ，b＝　 　 ；
（3）拓展：阅读下列解共轭方程组的方法，然后解答问题：
解共轭方程组时，可以采用下面的解法：
②+①得：9x+9y＝18，所以x+y＝2③
③×4得：4x+4y＝8④
①﹣④得：y＝1，从而得x＝1
所以原方程组的解是
用上述方法求共轭方程组的解．
20．综合与实践
【问题提出】
解方程组：．
小明发现用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大．容易出错．
【阅读理解】
如果把方程组中的（2x+3y）看成一个整体，把（2x﹣3y）看成一个整体，通过换元法，可以使运算变得简单．
令m＝2x+3y，n＝2x﹣3y．
则原方程组可化为，解得．
把代入m＝2x+3y，n＝2x﹣3y，得．
解得，
∴原方程组的解是．
【学以致用】
（1）用换元法解方程组：；
【拓展提升】
（2）用换元法解方程组；．
参考答案
一、单选题
1．B
解：，
①﹣②，得﹣8y＝8，
故选：B．
2．C
解：根据加减消元法逐项分析判断如下：
A、①×3+②×2，得24x＝﹣1，
变形后不能消去未知数x，故不符合题意；
B、①×3﹣②×2，得12x+12y＝19，
变形后不能消去未知数x，故不符合题意；
C、①﹣②×2，得8y＝13，
变形后能消去未知数x，故符合题意．
D、①+②×2，得12x﹣4y＝﹣7，
变形后不能消去未知数x，故不符合题意；
故选：C．
3．若C
解：根据题意得：，
①+②得：3a＝9，即a＝3，
把a＝3代入②得：b＝0，
则a+b＝3，
故选：C．
4．D
解：，
①+②得：6x+（m+n）y＝1，
又∵①+②可直接消去未知数y，
∴m+n＝0．
故选：D．
5．D
解：由题意得，
①+③得：4x＝4k+11④，
①×6+②得：20x＝25k﹣30，即4x＝5k﹣6⑤，
⑤﹣④得：k＝17，
故选：D．
6．D．
解：∵（3x+2y﹣14）2+|2x+y﹣8|＝0，
∴，
①﹣②得：x+y＝6．
故选：D．
7．B
解：∵当x＝﹣1时，y＝5；当x＝1时，y＝1，
∴，
解得，
∴y＝﹣2x+3，
当x＝2时，y＝﹣2×2+3＝﹣4+3＝﹣1．
故选：B．
8．C
解：已知关于x，y的方程组，
，
②﹣①得x﹣3y＝﹣4k+3，
∵x﹣3y＝1，
∴﹣4k+3＝1，
．
故选：C．
9．A
解：根据题中的新定义得到二元一次方程组可知：
，解得：，
∴xy＝2×（﹣3）＝﹣6，
故选：A．
10．C
解：，
①﹣②得：y＝﹣m﹣1③，
把③代入①得：x＝2m+3，
把x＝2m+3和y＝﹣m﹣1代入2x﹣ny得：
2（2m+3）﹣n（﹣m﹣1）
＝4m+6+mn+n
＝4m+mn+6+n
＝m（4+n）+6+n，
∵不论m取何有理数，2x﹣ny的值始终不变，
∴4+n＝0，
解得：n＝﹣4，
∴这个值为：6+（﹣4）＝2，
故选：C．
二、填空题
11．﹣3．
解：，
①﹣②，得2x﹣2y＝﹣6．
∴x﹣y＝﹣3．
故答案为：﹣3．
12．．
解：，
①+②，可得3x+y＝1，
∴
＝（3x+y）÷3
＝1÷3
．
故答案为：．
13．4．
解：根据题意，联立方程组可得，，
①×2﹣②，得4y﹣3y＝10﹣8，
解得：y＝2，
把y＝2代入①，得x+2×2＝5，
解得：x＝1，
把y＝2，x＝1分别代入3x+7y＝5m﹣3，
得3×1+7×2＝5m﹣3，
∴17＝5m﹣3，
解得：m＝4．
故答案为：4．
14．．
【解答】解：由①×2+②消去未知数x，可得2（m+1）+n＝0，
由①+②×5消去未知数y，可得﹣n+5m＝0，
所以，
解得，
所以m﹣n，
故答案为：．
15.②③④．
解：，
解得：，
若方程组的解互为相反数，则x+y＝0，
即2kk0，
解得：k，
故①不正确；
若方程组的解也满足4x+3y＝﹣20，
∴4（2k）+3（k）＝20，
解得：k＝﹣2，
故②正确；
当k＝1时，x，y，
把x，y代入方程3y﹣x＝k+1，
∵左边＝32，右边＝1+1＝2，
∴左边＝右边，
∴当k＝1时，方程组的解也是关于x，y的二元一次方程3y﹣x＝k+1的解，
故③正确；
当时，
10y﹣5x＝10（k）﹣5（2k）
＝10k+4﹣10k﹣1
＝3，
∴无论k取何值，代数式10y﹣5x的值不变，始终为定值，
故④正确；
所以，上列说法，其中正确的有②③④，
故答案为：②③④．
三、解答题
16．解：（1），
①×2﹣②得，7x＝35，
解得x＝5，
把x＝5代入①得，25+2y＝25
解得y＝0，
∴方程组的解为；
（2），
方程化为，
①+②得，6x＝6，
解得x＝1，
将x＝1代入①得，y，
∴方程组的解为．
17．解：（1）∵x*y＝ax+by，x※y＝ax﹣by，x＝1，y＝2
∴，
①+②得：2a＝4，
解得：a＝2，
把a＝2代入①，得：2+2b＝0，
解得：b＝﹣1，
∴；
（2）由题意可得方程组
①+②可得：2ax＝4+4m，
∴ax＝2+2m，
②﹣①可得：2by＝4﹣6m，
∴by＝2﹣3m，
∵3x*y+2x※y＝3，
∴3ax+by+2ax﹣by＝3，
∴5ax＝3，
∴5（2+2m）＝3，
∴10+10m＝3，
∴，
∴m的值为．
18．解：（1）①∵点P的坐标为（3，1），
∴它的“美点”坐标为（3+1，2×1﹣3），即（4，﹣1）．
②设点P的坐标为（x，y），
由题意可知，
解得，
∴点P的坐标为（﹣1，﹣2）；
（2）∴点P（3，m﹣1），
它的“美点”Q坐标为（3+m﹣1，2m﹣2﹣3），即（2+m，2m﹣5），
①Q位于x轴上，
∴2m﹣5＝0，
解得m，
②Q位于y轴上，
∴m+2＝0，
解得：m＝﹣2．
综上所述，m的值为或﹣2．
19．解：（1）根据共轭二元一次方程的定义，方程6x+y＝2的共轭二元一次方程是x+6y＝2，
故答案为：x+6y＝2；
（2）由题意可得：1﹣a＝2a﹣1，b+2＝4﹣b，
解得，b＝1，
故答案为：；
（3），
①+②，得 4047x+4047y＝16188，
∴x+y＝4③，
③×2023，得 2023x+2023y＝8092④，
①﹣④，得 y＝2，
把y＝2代入③，得x＝2，
∴．
20．解：（1）令m＝x+y，n＝x﹣y，
则原方程组可化为，
解得，
把代入m＝x+y，n＝x﹣y，
得，解得，
∴原方程组的解是；
（2）令p＝x2+1，q＝y2﹣1，
则原方程组可化为，
解得，
把代入p＝x2+1，q＝y2﹣1，
得，
解得，
∴原方程组的解是．

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