资源简介

10.3 实际问题与二元一次方程组
一、单选题
1．某中学2025年“逐梦新程”元旦汇演，参演的合唱队和舞蹈队人数共60人，其中合唱队人数的2倍比舞蹈队人数多18人．设合唱队有x人，舞蹈队有y人，可列方程组为（　　）
A． B． C． D．
2．我国古代数学著作《孙子算经》（成书于公元400年前后）中有“鸡兔同笼”问题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何，设鸡有x只，兔有y只，根据题意所列二元一次方程组正确的为（　　）
A． B． C． D．
3．我国民间流传着许多趣味算题，它们多以顺口溜的形式流传．例如：一群老头去赶集，半路买了一堆梨，一人一个多一梨，一人两个少两梨，请问君子知道否，几个老头几个梨？若设有x个老头，y个梨，则可列方程组（　　）
A． B． C． D．
4．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，在其方程章中有一道题大意是：甲，乙两人各带了若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；若“…”．甲、乙两人各带了多少钱？若设甲带了x钱，乙带了y钱，可列方程组为，根据已有信息，题中用“…．”表示的缺失条件应补为（　　）
A．甲得到乙所有钱的，那么甲也共有钱50
B．乙得到甲所有钱的，那么甲还有钱50
C．乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50
D．甲得到乙所有钱的，那么乙还有钱50
5．半期考试后，李老师准备从某玩具厂定制一批盲盒作为礼物奖励学生．玩具厂用某种布料生产玩偶A与玩偶B组合成这批盲盒，一个盲盒搭配3个玩偶A和2个玩偶B．已知每米布料可做2个玩偶A或1个玩偶B，现计划用128米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．为庆贺即将来临的春节，某商业城“女装部”推出“全部服装八折”，男装部推出“全部服装八五折”的优惠活动．某顾客在女装部购买了原价x元，在男装部购买了原价y元的服装各一套，优惠前需付700元，而她实际付款580元，根据题意列出的方程组是（　　）
A． B．
C． D．
7．根据所给信息，请你求出每只玩具小猫和玩具小狗的价格（单位：元）分别为（　　）
A．20，10 B．15，20 C．10，30 D．8，26
8．哥哥和弟弟在400米的环形跑道上跑步．若两人同时同地反向出发，则4分钟相遇；若同时同地同向出发，40分钟哥哥追上弟弟，则哥哥每分钟跑（　　）米．
A．55 B．45 C．50 D．40
9．小红在超市买了一些纸杯，她把纸杯整齐地放在一起，如图，根据图中的信息，3个纸杯的高度为9cm，8个纸杯的高度为14cm．若她把20个纸杯放在一起时，纸杯的高度为（　　）cm
A．26 B．27 C．25 D．28
10．幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．“洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一．图1即洛书，数出图1中各处的圆圈和圆点个数，并按照图1中的顺序把它们填入正方形方格中，就得到一个幻方（如图2），在图3的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，则3﹣2x+y的立方根是（　　）
A．﹣3 B．3 C．﹣2 D．2
二、填空题
11．如图所示为哥哥与弟弟的聊天记录，则哥哥想买的平板电脑的原价为　 　 元．
发送者 对话内容
弟弟 哥，你之前提到的平板电脑买了没？
哥哥 还没，因为它的售价比我的预算还要多100元．
弟弟 这款平板电脑正在打9折促销哦！
哥哥 这样的话，那就比我的预算便宜了100元．
12．“相超文具店”新到两款限定中性笔：“永州款”每支笔杆带闪粉，“星城款”每支笔帽会变色．小艾买了9支永州款和4支星城款，老板报价：“一共52元”付完钱后，小艾突然说：“姐姐，我少要1支星城款，多换3支永州款吧”老板看了看库存，说：“可以，不过你还得再补1元钱”根据他们的对话，可知：永州款的单价为　 元．
13．加密是保障数据安全的一种方式，明文通过加密规则加密成密文．某加密规则为：明文（x，y）对应加密文（x+2y，2x+3y），如明文（1，2）对应加密文（5，8）．若接收到的加密文为（7，12），则发送的明文是　 　 ．
14．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方一一九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，如图是一个未填完的幻方，则m的值为　 　 ．
15．学校组织学生乘汽车去自然保护区野营，前路段为平路，其余路段为坡路．已知汽车在平路上行驶的速度为60km/h，在坡路上行驶的速度为30km/h．汽车从学校到自然保护区一共行驶了6.5h，则汽车在坡路上行驶了　 　 h．
三、解答题
16．为储备常用物资，某健身馆分三次采购运动毛巾和加厚款瑜伽垫，其中第二次采购时正赶上商场周年店庆，这两种商品同时按相同折扣促销，其余两次均按市场单价采购，三次采购的物品数量及总费用如下表．
采购批次 运动毛巾/条 瑜伽垫/个 总费用/元
第一次购物 5 6 400
第二次购物 7 6 396
第三次购物 4 3 230
（1）分别求出运动毛巾和加厚款瑜伽垫的市场单价；
（2）求商场打折促销期间是打几折出售这两种商品的？
17．2026年郑州黄河文化节筹备期间，组委会需要运输一批黄河主题文创产品布置展区，安排了两种货车运输物资．调查得知，3辆小货车与2辆大货车一次可以满载运输1700件文创产品；4辆小货车与5辆大货车一次可以满载运输3200件文创产品．
（1）求1辆小货车和1辆大货车一次可以分别满载运输多少件文创产品？
（2）现有2700件物资需要再次运往该地，准备同时租用这两种货车，每辆货车均全部装满货物，若1辆小货车需租金400元/次，1辆大货车需租金500元/次．若组委会计划支出4000元用于租车，是否够用，请说明理由．
18．2025年湘超联赛火爆三湘大地，永州队带着“永冲锋”的倔强精神，以史诗般的征程“一路突围”，最终力克常德队，将湘超首座冠军奖杯高高捧起．在常规赛中，湖南14个市州进行单循环积分赛（每两队之间只比赛一场），比赛规则如下：胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分．12月14日常规赛结束，部分球队的积分如表：
队伍 场次 胜 平 负 积分
长沙队 13 11 2 0 35
永州队 13 3 22
岳阳队 13 4
（1）请问在这一次湘超常规赛中一共比了多少场比赛？
（2）求永州队一共胜了多少场？
（3）岳阳的小王由于学习原因，没有了解最新的比赛信息，只知道负4场，他猜测岳阳队的总积分为20分，你认为可能吗？为什么？
19．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车制造商开发了一款新能源汽车，计划一年生产安装360辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成安装任务，工厂决定招聘部分新工人，他们经过培训后也能独立进行新能源汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和3名新工人每月可安装12辆新能源汽车；2名熟练工和5名新工人每月可以安装22辆新能源汽车．
（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆新能源汽车？
（2）如果工厂招聘n（0＜n＜10）名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年（12个月）的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？
20．2024年10月，第三届北斗规模应用国际峰会在湖南株洲举行，我校为了着眼于培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人，在峰会结束后举行了前往北斗峰会场馆的研学活动，峰会场馆门票价格如下表：
购票人数/人 1﹣800 800﹣1600 1600以上
每人门票价/元 58 50 48
学校计划七年级分成两批1﹣16班，17﹣32班去游览该场馆，其中1﹣16班的人数少于800人，如果第一批只单独购买本批次学生门票，则需支付46284元：如果两个批次32个班联合起来作为一个团体购票，则只需花费77088元．
（1）两个批次各去了多少人？
（2）研学活动的下午前往了悠移劳动教育实践基地，为了培养学习团队合作和了解中国传统文化，举行了划龙舟的活动．在过程之中龙舟划到尽头就调转船头（调头时间忽略不计），返回起点码头，我们把龙舟看作一个点整个过程总共划行了500m，龙舟在其间航行，顺水航行用了500s，逆水航行用了625s，求龙舟在静水中的速度和水流速度分别是多少？（此问需利用方程解答）
参考答案
一、单选题
1．B
解：依题意，得：．
故选：B．
2．D
解：设鸡有x只，兔有y只，根据上有三十五头，下有九十四足得：
，
故选：D．
3．C
解：根据题意有：，
故选：C．
4．C
解：∵如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50，
∴xy＝50；
∵x+y＝50，
∴如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50，
故选：C．
5．A
解：已知用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，布料总长度为128米，所以x+y＝128，
每米布料可做2个玩偶A，则x米布料可做2x个玩偶A；每米布料可做1个玩偶B，则y米布料可做y个玩偶B，
因为一个盲盒搭配3个玩偶A和2个玩偶B，要恰好配套，则，
所以可列方程组，
故选：A．
6．A
解：∵某顾客在女装部购买了原价x元，在男装部购买了原价y元的服装各一套，优惠前需付700元，
∴x+y＝700；
∵该商业城“女装部”推出“全部服装八折”，男装部推出“全部服装八五折”的优惠活动，且实际付款580元，
∴0.8x+0.85y＝580．
∴根据题意可列出方程组．
故选：A．
7．C
解：设每只小猫为x元，每只小狗为y元，
由题意得，
解之得，
答：每只小猫为10元，每只小狗为30元．
故选：C．
8．A
解：∵两人反向出发4分钟相遇，
∴速度和为400÷4＝100米/分钟．
∵同向出发40分钟哥哥追上弟弟，
∴速度差为400÷40＝10米/分钟．
设哥哥每分钟跑x米，弟弟每分钟跑y米，
则，
两式相加得2x＝110，
∴x＝55．
故哥哥每分钟跑55米．
故选：A．
9．A
解：设一个纸杯的高度为xcm，相邻两个纸杯之间的高度差为ycm，
由题意得，
解得：，
则把20个纸杯放在一起时，纸杯的高度为7+（20﹣1）×1＝26（cm），
故选：A．
10．C
解：第三行第二个方格中的数为8﹣1﹣（﹣5）＝11；
第二行第二个方格中的数为﹣2+11﹣x＝9﹣x．
在图中补充部分数据，如图所示．
根据题意得：，
解得：，
∴3﹣2x+y＝3﹣2×6+1＝﹣8，2，
∴3﹣2x+y的立方根是﹣2．
故选：C．
二、填空题
11．2000．
解：设平板电脑原价为x元，哥哥的预算为y元．
根据题意，
解得：
则平板电脑的原价为2000元，
故答案为：2000．
12．．
解：设永州款的单价为x元，星城款的单价为y元，
，
解得：，
∴永州款的单价为元，
故答案为：．
13．（3，2）．
解：设明文为（x，y），
根据加密规则得二元一次方程组：
，
解得：，
则发送的明文为：（3，2），
故答案为：（3，2）．
14．4．
解：根据题意得：，
解得：．
故答案为：4．
15．5.2．
解：设汽车在坡路上行驶了xh，在平路上行驶了yh，
根据题意得：，
解得：，
∴汽车在坡路上行驶了5.2h．
故答案为：5.2．
三、解答题
16．解：（1）设运动毛巾的市场单价为x元，加厚款瑜伽垫的市场单价为y元，这两种商品同时按相同折扣促销，其余两次均按市场单价采购，三次采购的物品数量及总费用如下表．则：
则，
解得：，
答：运动毛巾的市场单价为20元，加厚款瑜伽垫的市场单价为50元；
（2）设商场打折促销期间是打m折出售这两种商品的，
由题意得，，
解得：m＝9．
答：商场打折促销期间是打九折出售这两种商品的．
17．解：（1）设1辆小货车一次满载运输x件文创产品，1辆大货车一次满载运输y件文创产品，
依题意列二元一次方程组得：，
解得：，
即1辆小货车一次满载运输300件文创产品，1辆大货车一次满载运输400件文创产品，
答：1辆小货车一次满载运输300件文创产品，1辆大货车一次满载运输400件文创产品；
（2）该组委会计划支出4000元用于租车，够用，理由如下：
设租用小货车a辆，大货车b辆，
依题意列二元一次方程得：300a+400b＝2700
解得
又∵a，b均为正整数，
∴当b＝3，a＝5；当b＝6，a＝1；
∴或
∴共有2种租车方案，
方案1：租用5辆小货车，3辆大货车，租车费为400×5+3×500＝2000+1500＝3500元；
方案2：租用1辆小货车，6辆大货车，租车费为400×1+6×500＝400+3000＝3400元；
3500＜4000；3400＜4000；
∴该组委会计划支出4000元用于租车，够用．
18．解：（1）湖南14个市州进行单循环积分赛（每两队之间只比赛一场），
∴（场），
答：这一次湘超常规赛中一共比了91场比赛；
（2）设永州队胜x场，平y场，
根据题意列二元一次方程组得：
，
解得，
答：永州队一共胜了6场；
（3）不可能，理由如下：
设岳阳队胜a场，平b场，
根据题意列二元一次方程组得：
，
解得，
∵a，b不是整数，故不可能．
19．解：（1）设每名熟练工每月可以安装x辆新能源汽车，每名新工人每月可以安装y辆新能源汽车，
根据题意得：，
解得：，
答：每名熟练工每月可以安装6辆新能源汽车，每名新工人每月可以安装2辆新能源汽车；
（2）设工厂有a名熟练工，
根据题意得：12（6a+2n）＝360，
整理得：n＝15﹣3a，
又∵a、n都是正整数，0＜n＜10，
∴n＝9，6，3．
∴工厂有3种新工人的招聘方案：
①招聘新工人9人；
②招聘新工人6人；
③招聘新工人3人．
20．解：（1）设第一批人数为x人，第二批为y人，
∵800—1600每人门票价为50元，且两个批次32个班联合起来作为一个团体购票，则只需花费77088元，77088不是50的倍数，
∴两批次去的人数和为1600以上，
∴根据题意列二元一次方程组得，，
解得，
∴第一批去798人，第二批去808人；
（2）设龙舟在静水中的速度为vm/s，水流速度为um/s，
根据题意列二元一次方程组得，，
解得，
即龙舟在静水中的速度是0.9m/s，水流速度分别是0.1m/s．
答：龙舟在静水中的速度是0.9m/s，水流速度分别是0.1m/s．

展开更多......

收起↑