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第十一章《不等式与不等式组》章节复习题
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．）
1．下列各式中是一元一次不等式的是（ ）．
A． B． C． D．
2．下列变形正确的是（ ）
A．由，得 B．由，得
C．由，得 D．由，得
3．用适当的符号表示“两数的平方和不小于这两数积的2倍”，下列表示正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．已知不等式的正整数解有3个，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知平面直角坐标系中有一点，无论m取何值，点P不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．已知不等式组的解集是，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．某班数学兴趣小组对不等式组进行讨论并得到以下结论，其中不正确的是（ ）
A．若，则不等式组无解
B．若不等式组有解，则a的取值范围是
C．若不等式组无解，则a的取值范围为
D．若不等式组有且只有两个整数解，则
8．杭州入选“2025年全国文明城市”，为深化学生对文明城市的认知，某校举办了文明知识竞答活动，一共10道题，每一题答对得10分，答错或不答扣2分．设答对了x道题，若得分不低于72分，可列出关于x的不等式是（ ）
A． B．
C． D．
9．若整数使关于的不等式组至少有个整数解，且使关于，的方程组的解为整数，那么所有满足条件的整数的个数是（ ）
A． B． C． D．
10．设表示不超过x的最大整数，如，，，若x，y满足，那么的值是（ ）
A．3 B．2或 C．3或 D．1或2
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11．若关于x的不等式可化为，则a的取值范围是_______．
12．在平面直角坐标系中，已知点在x轴的负半轴上，则a的值为_______．
13．已知，都是关于x的一元一次不等式组的解，则m的取值范围是_______．
14．若关于的不等式组无解，则的取值范围是______．
15．我们定义： ，例如，若x，y为不同的整数，且满足，则的值是___________________．
三、解答题：本题共6小题,第16题6分，第17、18题每题8分，第19题10分，第20题11分，第21题12分，共55分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．解下列不等式（组），并将它们的解集在数轴上表示出来，
(1) (2)
17．已知购买1个足球和1个篮球共需130元，购买2个足球和3个篮球共需340元．
(1)求每个足球和每个篮球的售价；
(2)如果某校计划购买这两种球共54个，总费用不超过4000元，问最多可买多少个篮球？
18．对于任意实数，，定义一种新运算：．例如：．
(1)比较大小：________；（填“”“”或“”）
(2)请根据上述定义解不等式．
19．近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩．已知新建1个地上充电桩和1个地下充电桩需要万元；新建2个地上充电桩和3个地下充电桩需要万元．
(1)该小区新建1个地上充电桩和1个地下充电桩各需多少万元？
(2)若该小区计划用不超过万元的资金新建个充电桩，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量的2倍，则共有几种建造方案？并列出所有方案．
20．已知关于的方程组．
(1)若该方程组的解满足，求的值；
(2)若该方程组的解满足为正数，为负数，求的取值范围．
(3)在（2）的条件下，若不等式的解为，请直接写出整数的值．
21．阅读理解：
定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”．例如，已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“理想解”．
问题解决：
(1)请判断方程的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解”： （直接填写序号）；
①；②；③
(2)若是方程组与不等式的“理想解”，求q的取值范围；
(3)若关于x，y的方程组与不等式的“理想解”均为正数（即“理想解”中的x，y均为正数），直接写出a的取值范围．
参考答案
一、选择题
1．A
解：对于选项A ： 只含1个未知数，未知数次数为1，不等号两边都是整式，是不等式，符合一元一次不等式的定义；
对于选项B： 含有两个未知数，不符合定义；
对于选项C： 是等式，不是不等式，不符合定义；
对于选项D ： 中未知数次数为，不符合定义．
2．D
解： A：∵ ，不等式两边同乘，不等号方向改变，∴ ，故A变形错误．
B：∵ ，不等式两边同乘，不等号方向改变，∴ ，故B变形错误．
C：∵ ，当时，，因此可得，故C变形错误．
D：∵ ，可推出，不等式两边同除以正数，不等号方向不变，∴ ，故D变形正确．
3．B
解：根据题意得到，，
故选：B．
4．B
解：
解得，
∵不等式的正整数解共有3个，
∴这3个正整数解为1、2、3，
∴，
∴．
5．B
解：当点P在第一象限，则，解得：，即点P可能在第一象限；
当点P在第二象限，则，该不等式组无解，故点P不可能在第二象限；
当点P在第三象限，则，解得：，故点P可能在第三象限；
当点P在第四象限，则，解得：，故点P可能在第四象限．
故选B．
6．B
解：解不等式
移项得
合并同类项得
系数化为得
不等式组的解集是
．
7．B
解：∵ 不等式组为，
A项：若，则且，无解，故A正确；
B项：不等式组有解时，需，但B中包括（无解），故B错误；
C项：不等式组无解时，，故C正确；
D项：有且只有两个整数解时，整数解为3和4，需，故D正确，
故选：B．
∴ 不正确的是B.
8．D
解：设答对了道题，则答错或不答的题数为道，
根据题意得：．
9．C
解：解不等式，
，
，
解得；
解不等式，
；
不等式组的解集为，
不等式组至少有个整数解，
，
解得．
，
由得，，
将代入得，，
整理得，
，
将代入得，，
方程组的解为整数，
为整数，
为整数，且，
，，，
所有满足条件的整数的个数是个．
10．C
解：设，，则a、b为整数，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵a、b为整数，
∴，
∵，
∴，则，
又∵，
∴，即，
将代入得，
即
解得，
∴或2，
当时，，，，
∴；
当时，，，，
∴，
∴的值为3或．
故选：C．
二、填空题
11．
解：不等式可化为，
，
解得：．
12．
解：∵点在x轴的负半轴上，
∴，且，
解得：，且，
∴．
13．
解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴，
∵，都是关于x的一元一次不等式组的解，
∴且，
解得：．
14．
解：
由①得，
∵不等式组无解，
∴与没有公共部分，
∴．
15．
解：由题意得，，即，
∴，
∵x，y为不同的整数，
∴或，
当时，或，不符合题意，舍去；
当时，或或或
∴或
∴的值是．
三、解答题
16．（1）解：，
去分母，，
去括号，，
移项，，
合并同类项，．
在数轴上表示：
（2）解：，
由得，
由得，
∴，
在数轴上表示：
17．（1）解：设每个篮球x元，每个足球y元，由题意得，，
解得，
答：每个足球50元，每个篮球80元；
（2）解：设买m个篮球，则购买个足球，
由题意得，，
解得：，
∵m为整数，
∴m最大取43．
答：最多可买43个篮球．
18．（1）解：，
，
∴
（2）解：，
由题意得，，
去括号得，，
移项后合并同类项得，，
解得，．
19．（1）解：设该小区新建一个地上充电桩需x万元，一个地下充电桩需y万元，
根据题意得：，解得：，
答：该小区新建一个地上充电桩需万元，一个地下充电桩需万元；
（2）解：设新建m个地上充电桩，则新建个地下充电桩，
根据题意得：，
解得：，
又m为正整数，
m可以为，，，
共有3种建造方案，
方案1：新建个地上充电桩，个地下充电桩；
方案2：新建个地上充电桩，个地下充电桩；
方案3：新建个地上充电桩，个地下充电桩．
20．（1）解：，
由得：，
∴，
得：，
∴，
∵该方程组的解满足，
∴，
∴；
（2）由（1）得：，
∵该方程组的解满足为正数，为负数，
∴，
解得：；
（3）解：∵，
∴，
∵不等式的解为，
∴，
解得：，
由（2）可得，
∴，
∴的整数值为0．
21．（1）解：，解得：，
①，
解得：，
不是此不等式的解；
②，解得：，
是此不等式的解；
③，
解得：，
是此不等式组的解；
方程的解是此方程与②③的“理想解”；
（2）是方程组与不等式的“理想解”，
，，
解方程组，得：，
，
，
即q的取值范围为；
（3）解方程组，得：，
关于x，y的方程组与不等式的“理想解”均为正数（即“理想解”中的x，y均为正数），
，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
解不等式③，得：，
不等式组的解集为，
即a的取值范围．

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