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10.3 实际问题与二元一次方程组
一、选择题（共8题，每小题4分，合计32分）
1.我校某班为提高中考体育成绩将学生按规定组数进行分组训练，若每组7人，余3人；若每组8人，则缺4人；设该班学生人数为x人，组数为y组，则可列出的方程组为（ ）
A． B． C． D．
2．有货物，大车一次能装，小车一次能运，若要一次运完且两种车都得用，派车方案有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
3．“天无三日晴，地无三里平”是一句形容贵州中部地区自然环境的谚语．某工程队在一次高速公路修建过程中，晴天每天修建，雨天每天修建，他们连续修建了，平均每天修建，那么这几天中有几天雨天（ ）
A．4天 B．6天 C．8天 D．10天
4．爸爸今年34岁，子女两人的年龄和是16岁，两年后，妹妹年龄的3倍与哥哥的年龄相加恰好等于爸爸的年龄．哥哥和妹妹今年的年龄分别是（ ）
A．9岁、7岁 B．10岁、6岁 C．12岁、4岁 D．12岁、6岁
5．《九章算术》中记载：“今有人共买物，人出八，盈三：人出六，不足五．问人数、物价各几何？”其大意是：“现有一些人共同购买一个物品，每人出8钱，还盈余3钱：每人出6钱，还差5钱，问人数、物品价格各是多少？”设人数为x人，物品的价格为y钱，根据题意，可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
6．羊城某工程公司下属的甲工程队、乙工程队分别承包了白云区人和镇的工程、工程，甲工程队晴天需要天完成，雨天工作效率下降；乙工程队晴天需天完成，雨天工作效率下降，实际上两个工程队同时开工，同时完工，两个工程队各工作了（ ）天．
A． B． C． D．
7．周末小明和妈妈外出共消费了元，表中记录了他们一天所有的消费项目以及部分支出，如果每包饼干元，每瓶矿泉水元，那么他们买了______包饼干、______瓶矿泉水（ ）
项目 早餐 午餐 购买书籍 饼干 矿泉水
支出金额单位：元
A．， B．， C．， D．，
8．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载绳索量竿问题，其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．则下列说法不正确的是（ ）
A．设竿的长度为尺，可列方程为
B．设绳索的长度为尺，可列方程为
C．设竿的长度为尺，绳索的长度为尺，可列方程组为
D．竿的长度为20尺
二、填空题（共8题，每小题4分，合计32分）
9．小明和小亮做两个数的加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和为242；而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的和为341，原来两个加数中较小的加数是________．
10．甲、乙两人共有图书本，若甲给乙本后，甲的图书数是乙的倍，则甲原有图书______本．
11．若与互为补角，且是的3倍，则为__________．
12．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方一一九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，如图是一个未填完的幻方，则的值为_____．
13．沙漠化制约着我国西部的发展，我国一直在探索和尝试将科技与治沙相结合的模式，光伏发电与沙漠治理相结合是“中国智慧”和“中国建设”的体现．2025年8月底，新疆光伏发电项目投入建设．甲、乙两厂承包了部分光伏板的生产任务．若甲、乙两厂共生产4000块光伏板，甲厂和乙厂每天生产数量共计1620块，甲厂生产2天、乙厂生产3天共同完成了这批生产任务，求甲、乙两厂每天分别生产多少块光伏板？设甲厂每天生产块，乙厂每天生产块，根据题意列出的方程组为_____________________．
14．小明作业本中有一道未写完的题目如下：李叔叔在某商场看中的一台电视机和一台空调，在“元旦”前购买需花费5500元，由于该商场开展“元旦”促销活动，同样的电视机打8折销售，，于是李叔叔在促销期间购买了同样的电视机一台，空调两台，共花费7200元，则“元旦”前同样的电视机和空调每台分别为多少元？
解：设“元旦”前同样的电视机每台元，空调每台元，
根据题意，得
该题中的一个条件和方程①不小心被污染了，已知小明所列的方程组是正确的，则方程①是__________．
15．“学习强国”平台提供权威，准确，详尽，丰富的学习资源，通过学习课程可以获得积分奖励，若小华的积分是三位数，将最左边的数字移到最右边，则比原来的积分少45，又知原来积分百位上数的9倍比十位上数与个位上数组成的两位数小3，设百位数字为，由十位数字和个位数字组成的两位数为，则可列方程组为_______．
16．某超市销售四种包装饮用水，销售方式如下表所示：
种类 销售方式
矿泉水 3元/瓶，12瓶起售，购买13-24瓶每瓶9折，25-36瓶每瓶8折，37及以上折
纯净水 每瓶2元，每满30瓶送5瓶．
碱性水 25元/箱（10瓶），满14箱送1箱，仅按箱售卖，不单独售卖．
酸性水 32元/箱（12瓶），单独售卖3元/瓶．
（1）若小云需购买12瓶同种包装饮用水，从划算角度考虑，你推荐她购买_______．
（2）小腾手中有100元，若要用完所有钱且购买包装饮用水的总数最多（四种都要买）则购买量最多的水的种类为_______（以上两空均填水种类的名称）．
三、解答题（共6题，每小题9分，合计36分）
17．某中学为丰富学生的校园生活，准备从体育用品商店一次性购买若干个篮球和足球（每个篮球的价格相同，每个足球的价格相同）；若购买2个篮球和3个足球共需340元，购买1个篮球和2个足球共需200元．
（1）求篮球、足球的单价各是多少元；
（2）根据学校的实际需要，需一次性购买篮球30个和足球15个．问购买篮球和足球的总费用是多少？
18．我校为奖励在数学学科活动《数算逐光，智启新程》中获奖的同学，年级组委派张老师购买一批钢笔和笔记本作为奖品．张老师到文具店看了商品后，决定在钢笔和笔记本中选择奖品．如果买3本笔记本和2支钢笔，需要94元；如果买5本笔记本和1支钢笔，需要110元．
（1）求每本笔记本和每支钢笔的售价分别为多少元．
（2）张老师恰好用720元购进笔记本和钢笔（两者都要购买）．请帮张老师写出有哪几种购买方案？
19．自2025年5月9日起至2025年12月31日，周末自驾游广西的外省籍小客车，可享受高速公路车辆通行费（以下简称高速费）优惠．小悦一家5月中旬从湖南自驾到广西探亲游玩，此次全程所产生的高速费享受的优惠如下表：
湖南境内路段 广西境内特定路段 广西境内其他路段
周一至周四 9.5折
周五至周日 9.5折 全免 5折
（1）周六小悦一家从湖南Z市到广西A市，所经湖南境内路段、广西境内特定路段和其他路段的高速费原价分别为元、元和元．求此行程的高速费实付多少元？比原价优惠了多少元？（用代数式表示）
（2）周日他们从A市到K市（全程在广西境内），高速费实付27.55元；周一从K市原路返回到A市，高速费实付95.95元．求此行程中市与市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是多少元．
20．某商场用相同的价格分三次购进A型和B型两种型号的电视机，前两次购进情况如下表：
A型（台） B型（台） 总进价（元）
第一次 20 30 90000
第二次 10 20 55000
（1）求该商场购进A型和B型电视机的单价各为多少元？
（2）已知商场第三次购进A型和B型电视机总进价为20500元，共有多少种进货方案？
（3）在（2）的情况下，商场A型电视机的标价为每台2000元，B型电视机的标价为每台3750元，不考虑其他因素，为了促销，A型电视机打九折、B型电视机打八折销售．若将第三次购进的电视机全部售出，通过计算说明，购进时哪种进货方案可获利润最大？最大利润是多少元？
参考答案
一、选择题
1．A
解：设该班学生人数为人，组数为组，根据题意得，
．
2．D
解：设派辆大车，辆小车，
由题意（、为正整数），
当派大车1辆时，小车辆；
当派大车2辆时，小车辆；
当派大车3辆时，小车辆；
当派大车4辆时，小车辆；
则共有4种派车方案；
故选：D．
3．C
解：设这几天中x天晴天，有y天雨天，
根据题意得，
解得
∴这几天中有8天雨天．
故选：C．
4．B
解：设哥哥今年年龄为岁，妹妹为岁
∵ 今年子女年龄和，
两年后爸爸年龄为岁，
且，
化简得：，
联立方程：
，
② ①得：，
，
代入①得：.
故原方程组的解为
∴ 哥哥岁，妹妹岁；
故选：B.
5．B
解：由题意可得：．
6．C
解：设两工程队各工作了天，在施工期间有天有雨，
由题意得，，
解得
∴两个工程队各工作了天，
故选：．
7．B
解：设他们买了包饼干，瓶矿泉水，
根据题意得：，
又，均为正整数，
，
他们买了包饼干，瓶矿泉水．
故选：B．
8．D
解：A选项：设竿的长度为尺，
绳索比竿长尺，
绳索长为尺，
对半折后绳索比竿短尺，
，A正确．
B选项：设绳索的长度为尺，
绳索比竿长尺，
竿长为尺，
对半折后绳索比竿短尺，
，B正确．
C选项：设竿长尺，绳索长尺，
绳索比竿长尺，
，
对半折后绳索比竿短尺，
，
可得方程组，C正确．
D选项：解方程，
去括号得，
整理得，
解得，即竿长为尺，不是尺，D错误．
二、填空题
9．21
解：设原来两个加数分别为和．
根据题意，得方程组
解方程组，将第一式乘以，得，
减去第二式，得，解得．
代入第一式，得，
即，解得．
∴方程组的解为
故原来两个加数分别为和，较小的加数是．
故答案为：．
10．
解：设甲原有图书本，乙原有图书本，
根据题意得：，
解得：，
甲原有图书本，
故答案为：．
11．
解：根据题意，得，
解得
故答案为：．
12．5
解：根据题意得：，
解得：．
故答案为：5
13．
解：设甲厂每天生产块光伏板，乙厂每天生产块光伏板，由题意得：
，
故答案为：．
14．
解：由题意得，方程①为，
故答案为：．
15．
解：设百位数字为x，由十位数字和个位数字组成的两位数为y，由题意得，
，
故答案为：．
16． 纯净水 矿泉水
解：（1）若买矿泉水，共需元；
若买纯净水，共需元；
若买碱性水，则需要买2箱，共花费元，因需购买12瓶，故不符合题意；
若买酸性水，刚好一箱，共需32元．
∵，
∴买纯净水；
（2）设矿泉水购买a瓶，纯净水购买b瓶，碱性水购买c箱，酸性水购买d瓶，
由题意可知，每种饮用水都要买，故，，，．
酸性水单价较高，故只购买一瓶．
当时，剩余元，
①当时，则剩余元，全部买纯净水，可买瓶．
所有饮用水的数量为瓶；
②当时，矿泉水单价变为元，
∴，
∵和都是正整数，
∴必须为10的倍数，
又∵，
∴，此时，
所有饮用水数量为瓶；
③当时，矿泉水单价变为元，
∴，
同理②可知，必须为5的倍数，
又∵，即，
∴，此时，
所有饮用水数量为瓶；
④当时，，不满足题意．
当时，剩余元，
⑤当时，则剩余元，无法全部购买纯净水，故买4瓶纯净水和多买1瓶酸性水．
所有饮用水数量为瓶；
⑥当时，由②可知，，
∵，不满足题意，
∴当时，矿泉水无法购买超过12瓶．
当时，最少购买量：，不满足题意；
综上所述，方案③用完所有钱且购买包装饮用水的总数最多，购买量最多的水的种类为矿泉水．
故答案为：纯净水；矿泉水．
三、解答题
17．（1）解：设篮球的单价是x元，足球的单价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：篮球的单价是80元，足球的单价是60元；
（2）解：根据题意得：
（元）．
答：购买篮球和足球的总费用是3300元．
18．（1）解：设每本笔记本的售价为x元，每支钢笔的售价为y元，
根据题意得：，
解得：，
答：每本笔记本的售价为18元，每支钢笔的售价为20元；
（2）解：设购买m本笔记本，n支钢笔，
根据题意得：，
∴，
又∵m、n均为正整数，
∴或或，
∴共有3种购买方案：
方案1：购买10本笔记本，27支钢笔；
方案2：购买20本笔记本，18支钢笔；
方案3：购买30本笔记本，9支钢笔．
19．（1）解：此次行程高速费原价总共为：元，
实际支付高速费用：元，
优惠了元；
（2）解：设特定路段和其他路段的单程高速费原价分别为元和元，
由题意得：
解得：
答：此行程中市与市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是元和元．
20．（1）解：设A型电视机单价为x元，B型电视机单价为y元，根据题意得：
，
解得：，
答：A型电视机单价为1500元，B型电视机单价为2000元；
（2）解：设商场第三次购进A型电视机m台，购进B型电视机n台，根据题意得：
，
整理得：，
∵m、n为整数，
∴，，，
∴共有3种进货方案；
（3）解：当购进A型电视机3台，B型电视机8台时，可获利润：
（元）；
当购进A型电视机7台，B型电视机5台时，可获利润：
（元）；
当购进A型电视机11台，B型电视机2台时，可获利润：
（元）；
∵，
∴购进A型电视机3台，B型电视机8台时，获得最大利润，且最大利润为8900元．

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