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10.4 三元一次方程组的解法
一、单选题
1．三元一次方程组消去未知数c后，所得二元一次方程组是（　　）
A． B． C． D．
2．已知，则x+y+z的值为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．方程组的解x、y的值互为相反数，则k的值为（　　）
A．0 B．2 C．4 D．6
4．有甲、乙、丙三种商品，如果购甲3件，乙2件，丙1件共需420元钱，购甲1件，乙2件，丙3件共需380元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需（　　）
A．200元 B．300元 C．350元 D．400元
5．若点P（x，y）满足方程组，则点P在第（　　）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
6．若方程组的解满足方程3k﹣x﹣y﹣z＝6，则k的值为（　　）
A．1 B．3 C．5 D．7
7．用现代高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数列排成的表叫做矩阵．矩阵表示x，y，z三元一次方程组，若4x+y﹣z为定值，则t与m关系（　　）
A．m﹣2t＝﹣1 B．m+2t＝1 C．2m﹣t＝1 D．2t+m＝﹣1
8．为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密）．加密规则如下：明文a，b，c对应的密文分别为a+1，2b﹣4，3c+9．例如明文1，﹣2，3对应的密文为2，﹣8，18．若接收方收到密文4，﹣6，9，则解密得到的明文为（　　）
A．3，0，﹣1 B．3，﹣1，0 C．5，﹣16，36 D．4，﹣2，3
9．幻方是古老的数字问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方—九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等．如图为一个三阶幻方的一部分，则图中右上角空格中c的值为（　　）
A．﹣2 B．0 C．2 D．4
10．春节来临之际，某花店老板购进大量的康乃馨、百合、玫瑰，打算采用三种不同方式搭配成花束，分别取名为“眷恋”、“永恒”、“守候”．三种花束的每一束成本分别为a元、b元和c元．已知销售每束“眷恋”的利润率为10%，每束“永恒”的利润率为20%，每束“守候”的利润率为30%，当售出的三种花束数量之比为2：3：4时，老板得到的总利润率为25%；当售出的三种花束数量之比为3：2：1时，老板得到的总利润率为20%，则a：b：c为（　　）
A．1：2：3 B．1：3：4 C．2：3：5 D．3：4：5
二、填空题
11．若（m+2）x+y|m+1|+z＝4是关于x，y，z的三元一次方程，则m＝　 　 ．
12．已知代数式ax2+bx+c，当x＝0时，其值为﹣4；当x＝1时，其值为1；当x＝2时，其值为10；则当x＝﹣1时，其值为　 　 ．
13．已知x，y，z是方程组的解，则x+y+z＝　 　 ．
14．如图是一正方体的展开图，若正方体相对面所表示的数相等，则x＝　 　 ．
15．小华看到如图所示的一幅图片并根据其设计了如下数学问题：若设桌子的高度是xcm，站立的小猫的高度为ycm，趴着的小猫的高度为zcm，则桌子的高度为　 　 cm．
三、解答题
16．解方程组：
（1）； （2）．（3）．
17．若关于x，y的二元一次方程组的解为，其中a，b，c为常数．
（1）求a+b的立方根；
（2）若m，n满足二元一次方程组，求m，n的值．
18．[阅读感悟]：
有些关于方程组的问题，要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
（1）已知实数x、y满足3x﹣y＝5①，2x+3y＝7②，求x﹣4y和7x+5y的值．
（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
19．在一堂数学课上，刘老师布置了这样一道题目：已知方程组，求2x+2y+2z的值．针对此问题，乐乐同学认为可以用“整体思想”和“消元、转化”方法求解：用②﹣①得到x+3y＝4③，因为问题是求解2x+2y+2z整体的值，因此可以在原方程组中“分离”出x+y+z即可，即，接下来采用“代入消元法”或者“加减消元法”均可解决该问题了．
（1）请你替乐乐同学完成接下来的步骤，求解出2x+2y+2z的值；
（2）请你用上述思想方法求解问题：已知，求x﹣y+z的值．
20．对任意有理数x，y定义运算如下：x∞y＝ax+by+cxy，这里a，b，c是给定的数，等式右边是通常数的加法及乘法运算，如当a＝1，b＝2，c＝3时，1∞3＝1×1+2×3+3×1×3＝16．现已知所定义的新运算满足条件：1∞2＝3，2∞3＝4．
（1）求．
（2）若3∞4＝6，求a，b，c．
（3）若有一个不为零的数d，使得对任意有理数x，有x∞d＝x，求a，b，c，d的值．
参考答案
一、单选题
1．A
解：，
②﹣③得：3a+3b＝3即a+b＝1，
③×3+①得：5a﹣2b＝19，
∴，
故选：A．
2．B
解：三个方程相加得2（x+y+z）＝12，
解得x+y+z＝6．
故选：B．
3．B
解：解方程组得：
根据题意得：（2k﹣6）+（4﹣k）＝0
解得：k＝2
故选：B．
4．A
解：设购甲、乙、丙三种商品各一件，分别需要x元、y元、z元，
根据题意有：，
把这两个方程相加得：
4x+4y+4z＝800，
4（x+y+z）＝800，
∴x+y+z＝200，
∴三种商品各一件共需200元钱．
故选：A．
5．B
解：，
①﹣②得：y﹣z＝7④，
③+④得：2y＝12，
解得：y＝6，
将y＝6代入①得：x+6＝3，
解得：x＝﹣3，
则P（﹣3，6）在第二象限，
故选：B．
6．C
解：已知方程组，
将三个方程相加可得2x+2y+2z＝18，
则x+y+z＝9，
∵方程组的解满足方程3k﹣x﹣y﹣z＝6，
∴3k＝6+x+y+z＝6+9＝15，
∴k＝5，
故选：C．
7．D
解：由题意得：，
①×2+②得：4x+y+2tz+mz＝8，
∵4x+y﹣z为定值，
∴2t+m＝﹣1．
故选：D．
8．B
解：根据题意得：，
解得：，
∴解密得到的明文为3，﹣1，0．
故选：B．
9．D
解：根据题意得：，
∴（e+10）﹣（c+e）＝（b+c）﹣（b﹣2），
∴c＝4；
故选：D．
10.A
解：根据题意得：，
解得：，
∴a：b：c＝a：2a：3a＝1：2：3．
故选：A．
二、填空题
11．0
解：∵（m+2）x+y|m+1|+z＝4是关于x，y，z的三元一次方程，
可得：m+2≠0，|m+1|＝1，
所以解得：m＝0，
故答案为：0
12．﹣5．
解：当x＝0时，代数式的值为﹣4，即c＝﹣4，
当x＝1时，代数式的值为1，即a+b+c＝1，
把c＝﹣4代入a+b+c＝1中得：a+b＝5，
当x＝2时，代数式的值为10，即4a+2b+c＝10，
把c＝﹣4代入4a+2b+c＝10中得：4a+2b＝14，即2a+b＝7，
解方程组，得，
因此代数式为2x2+3x﹣4，
当x＝﹣1时，代数式的值为2×（﹣1）2+3×（﹣1）﹣4＝2﹣3﹣4＝﹣5，
故答案为：﹣5．
13．15．
解：设，
则x＝7k，y＝5k，z＝3k，
代入方程3x+5y+7z＝67得：
3×7k+5×5k+7×3k＝67，
解得：k＝1，
所以x＝7，y＝5，z＝3，
则x+y+z＝7+5+3＝15．
故答案为：15．
14．1．
解：由题意可得：，
解得：．
故答案为：1．
15．130．
解：设桌子的高度为x厘米，站立的小猫高度为y厘米，趴下的小猫高度为z厘米，
根据题意列三元一次方程组得，
，
解得x＝130，
∴桌子的高度为130厘米．
故答案为：130．
三、解答题
16．（1）解：，
①+②，得5x+2y＝16④，
③+②，得3x+4y＝18⑤，
由④和⑤组成一个二元一次方程组，
解得：，
把代入①，得6﹣3+z＝4，
解得：z＝1，
所以原方程组的解是．
（2）．
①+②得：9x﹣2z＝20④，
④﹣③得：8x＝16，
解得：x＝2，
把x＝2代入③得：2﹣2z＝4，
解得：z＝﹣1，
把x＝2，z＝﹣2代入②得：10﹣y﹣1＝7，
解得：y＝2，
则方程组的解为．
（3），
①﹣②，得：3z＝18，解得：z＝6；
①+③，得：2y＝20，解得：y＝10；
把y＝10，z＝6代入①，得：x+6+10＝13，解得：x＝﹣3；
∴．
17．解：（1）把代入方程组得，，
①﹣②，得a+b＝8，
∴a+b的立方根为2；
（2）若m，n满足二元一次方程组，
设m﹣n＝x，2m+n＝y，则原方程组化为，
∵关于x，y二元一次方程组的解为，
∴，
解得，
∴．
18．解：（1）∵实数x、y满足3x﹣y＝5①，2x+3y＝7②，
∴①﹣②得x﹣4y＝﹣2，
①+②×2得7x+5y＝19，
即x﹣4y的值为﹣2，7x+5y的值为19；
（2）设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元，
依题意列二元一次方程组得：，
由①×2﹣②可得m+n+p＝6，
∴5m+5n+5p＝6×5＝30，
答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元．
19．解：（1），
②﹣①得，x+3y＝4③，
将原方程变形成：
，
将③代入④，得8+（x+y+z）＝28，
即x+y+z＝20，
∴2x+2y+2z
＝2（x+y+z）
＝40；
（2），
①+②得：x+2z＝4③，
将原方程变形成：
，
将③代入④，得12+（x﹣y+z）＝13，
即x﹣y+z＝1．
20．解：（1）∵x∞y＝ax+by+cxy，1∞2＝3，
∴a+2b+2c＝3，①，
∵2∞3＝4，
∴2a+3b+6c＝4，②，
由①得，a＝3﹣2b﹣2c，③，
把③代入②得：2（3﹣2b﹣2c）+3b+6c＝4，
∴b＝2c+2，
∴代入②中得：a＝3﹣2（2c+2）﹣2c＝﹣6c﹣1，
∴；
（2）∵x∞y＝ax+by+cxy，3∞4＝6，
∴3a+4b+12c＝6，④，
由（1）知a＝﹣6c﹣1，b＝2c+2代入④得，
3（﹣6c﹣1）+4（2c+2）+12c＝6，
解得：
∴a＝﹣4，b＝3，
即a＝﹣4，b＝3，c；
（3）∵x∞d＝x，
∴ax+bd+cdx＝x，
∴ax+cdx﹣x+bd＝0，
∴（a+cd﹣1）x+bd＝0，
∵有一个不为零的数d使得对任意有理数x∞d＝x，
则有①，
∵d≠0，
∴b＝0，
由（1）知a+2b+2c＝3②，2a+3b+6c＝4③，
∴，
解得．
∴a＝5，b＝0，c＝﹣1，d＝4．

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