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5.1 分式及其基本性质
一、单选题
1．下列式子是分式的是（ ）
A． B． C． D．
2．若把分式中和的值都扩大3倍，则分式的值（ ）
A．扩大3倍 B．不变
C．缩小为原来 D．扩大9倍
3．若分式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．下列各式是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
5．若，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
6．若分式有意义，则x的取值范围是_________．
7．约分：（1）_____；（2）_____．
8．已知，则___________．
9．若为整数，且使分式的值是整数，则的值是______．
10．观察下列各式：用含n的等式表示这个规律________．（n表示正整数，）
三、解答题
11．已知，求代数式的值．
12．已知分式，当满足下列条件时，确定m的取值．
(1)当m为何值时，此分式无意义？
(2)当m为何整数时，此分式值为也为整数？
13．已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0．
(1)直接写出的值．
(2)在（1）的条件下，当分式的值为正整数时，求整数的值．
14．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：
；
，
则和都是“和谐分式”．
(1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：________（填序号）；
①；②；③；④
(2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：________；
(3)当取什么整数时，“和谐分式”的值为整数？
15．阅读理解：
材料1：为了研究分式与其分母的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据：
… 0 1 2 3 4 …
… 无意义 1 …
从表格数据观察，当时，随着x的增大，的值随之减小，若x无限增大，则无限接近于0；当时，随着x的增大，的值也随之减小．
材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式；如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式，任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．
例如：
根据上述材料完成下列问题：
(1)当时，随着的增大，的值随之__________（增大或减小），的值随之__________（增大或减小）；当时，随着的增大，的值随之__________（增大或减小）；
(2)请将假分式化为一个整式与一个真分式的和，再根据材料1的规律，分析当时，这个假分式的值的变化趋势；
(3)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，求出这个数；
(4)当时，直接写出代数式值的取值范围是__________．
参考答案
一、单选题
1．B
解：A．的分母π是常数，不是字母，属整式；
B．分母含字母，属分式；
C．是多项式，属整式；
D． 的分母2是常数，不是字母，属整式．
2．B
解：∵和的值都扩大3倍后，新分式为
∴，新分式与原分式相等，
∴分式的值不变．
3．D
解：∵分式有意义，
∴，
∴，
故选：D
4．C
解：A、=，分子为，分子分母有公因式，所以A不是最简分式，不符合题意；
B、=，分子为，分子分母有公因式，所以B不是最简分式，不符合题意；
C、无法分解因式，与分母没有公因式，所以C是最简分式，符合题意；
D、分子和分母有公因式，可约分为，所以D不是最简分式，不符合题意．
5．B
选项A：∵ ，
∴ ，故A错误；
选项B：对交叉相乘得，
展开化简得，与一致，
且，则，故B正确；
选项C：，故C错误；
选项D：∵，
，
，故D错误．
故选：B．
二、填空题
6．
解：∵分式有意义，
∴，
解得：．
7．
解：（1）；
（2）．
故答案为：； ．
8．5
解：，
设 （），则 ，
将，代入得：
．
9．，，0，1
解：因为分式的值为整数，且x为整数，所以是6的约数，
∴或或或，
当时，解得，当时，解得；
当时，解得（不符合整数条件，舍去），当时，解得（不符合整数条件，舍去）；
当时，解得，当时，解得；
当时，解得（不符合整数条件，舍去），当时，解得（不符合整数条件，舍去）；
因此，x的值为，，0，1；
故答案为，，0，1．
10．
解：∵
∴用含n的等式表示这个规律为：，
故答案为：．
三、解答题
11．解：∵，
∴
；
12．（1）解：该分式无意义，
，
解得，
即当时，该分式无意义；
（2）解：该分式的值为整数，且也为整数，
或或或，
解得或或或或或或或，
即当m的值为或或或或或或或时，该分式的值为整数．
13．（1）解：当时，分式无意义，
，
解得，
当时，此分式的值为0，
，
解得，
（2）把，代入得
因为分式的值为正整数，所以是的正因数，的正因数有、、．当时，；当时，；当时，．
整数的值可能为，，．
14．（1）解：①；
②；
③；
④，
①③④是“和谐分式”．
故答案为：①③④．
（2）解：
，
．
故答案为：．
（3）解：的值为整数，
当为整数时，的值也要为整数，
当或时，分式的值为整数，
或或或，
即当的值为4或2或14或时，“和谐分式”的值为整数．
15．（1）解：∵当时，随着的增大，的值随之减小，
∴当时，随着的增大，的值随之减小，的值随之增大；
，
∵当时，随着的增大，的值随之减小，
∴当时，随着的增大，的值随之减小；
（2）解：，
当时，，
∴当时，随着的增大，的值随之减小，即的值随之减小，
∴当时，随着的增大，的值随之增大；
（3）解：，
当时，，
∴当时，随着的增大，的值随之减小，
当x无限增大时，则无限接近于0，
∴此时的值无限接近2；
（4）解：，
当时，，
∴当时，随着的增大，的值随之减小，即的值随之减小，
∴当时，随着的增大，的值随之增大，
当时，，当时，，
∴当时，．

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