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5.2 分式的运算
一、单选题
1．分式，的最简公分母是（ ）
A． B． C． D．
2．动车提速后，平均速度变为原来的倍，若行驶同样路程，时间可缩短到原来的（ ）
A． B． C． D．
3．如果，那么的值为（　　）
A．1 B．0 C． D．
4．已知，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．计算的结果是______．
7．分式 的最简公分母是___________．
8．图1是一个边长为a的正方形剪去一个边长为1的小正方形后的图形，图2是一个边长为的正方形，记图1，图2中阴影部分的面积分别为，，已知a为大于1的整数，则的最小值为______．
9．化简：______．
10．已知，则______．
三、解答题
11．先化简，再求值：，其中．
12．化简：．
13．嘉琪化简的过程如下：
原式第一步 第二步 ．第三步
(1)嘉琪的解答过程从第___________步开始出现错误．
(2)写出此题的正确解答过程．
(3)当时，求原式的值．
14．先化简：，再从的范围中选择一个合适的整数代入求值．
15．综合与实践：李明同学计划寒假期间制作张祝福贺卡在春节前送给环卫工人，他计划从下面两种方式中选择一种方式制作，方式一：制作前一半贺卡时每小时作张，制作后一半贺卡时每小时作张；方式二：每小时作张．已知，他想知道哪种方式用时较少，请帮助他解决下列问题．
(1)完成这张祝福贺卡，方式一需要 小时，方式二需要 小时；
(2)通过计算说明，哪种方式更省时？
16．阅读与思考
阅读下面材料，并完成相应任务．
分式中的欧拉公式，欧拉是18世纪瑞士著名的数学家和物理学家，近代数学先驱之一，在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理．下面是关于分式的欧拉公式： （其中a，b，c均不为0，且两两互不相等） 这个公式可以分情况进行研究，当时的欧拉公式为： ． 证明：左边 ________ ． 右边． 所以．
任务一：将阅读材料中时欧拉公式的证明过程中的三个空填写完整，它们分别是__________，__________，__________；
任务二：直接写出当时的欧拉公式：_____________；
任务三：任选一组a，b，c的值，对公式时的情形进行验证；
任务四：利用欧拉公式直接写出的结果．
参考答案
一、单选题
1．B
解：分式，的最简公分母是．
2．D
解：设动车原来的平均速度为，
∵路程为，
∴原来行驶的时间为．
∵提速后平均速度变为原来的倍，
∴提速后速度为，
∴提速后行驶时间为，
∴提速后时间与原来时间的比值为．
即时间可缩短到原来的．
3．A
解：∵
∴
．
4．C
解：∵ ，．
∴A． ，A错误；
B．， B错误；
C．．与选项一致， C正确；
D．，D错误．
5．B
解：
．
二、填空题
6．2
解：原式．
7．
解：分式的最简公分母是．
8．
解：由题意可得，，
∴，
即可化简为．
，
∵a为大于1的整数，
∴当时，取得最大值为，
此时取得最小值为，
即的最小值为．
9．
解：原式．
10．
解：对通分，得，
整理得 ，
所以．
三、解答题
11．解：原式
；
当时，原式．
12．解：
．
13．（1）解：嘉琪的解答过程从第一步小括号内的计算开始出现错误，
故答案为：一；
（2）解：
；
（3）解：当时，原式．
14．解：
，
∵，，，
∴且且，
又∵，
∴当时，原式．
15．（1）解：由题意得，完成这张祝福贺卡，方式一需要小时，方式二需要小时，
故答案为：，；
（2）解：，
∵，，，，
∴，，
∴，
即，
∴方式二更省时．
16．任务一：解：左边
．
右边．
所以．
故答案为：，，；
任务二：解：由题意可知，当时，；
故答案为：；
任务三：解：由题意可知，时，，
令，，，
则
，
右边，成立；
任务四：解：当时，，
令，，，
则，
即．

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