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第4章《因式分解》单元测试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．多项式 的公因式是（ ）
A．a B． C． D．
2．下列等式中，从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列多项式的乘法中，不能运用平方差公式进行计算的是（ ）
A． B．
C． D．
4．对任意整数n，都能（ ）
A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除
5．若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知一个三角形三边长为a，b，c，且满足，，，则此三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形
8．已知实数满足为自然数，则的最小值是（ ）
A．11 B．12 C．13 D．16
9．若实数x，y满足，则下列式子一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
10．用4张长为，宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为．若，则之间存在的数量关系是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．分解因式：________
12．计算的结果是_______．
13．已知整式可以因式分解为，则的值为______．
14．已知，则代数式的值为_____．
15．已知，则_______．
16．如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为a厘米的大正方形，2块是边长都为b厘米的小正方形，5块是长为a厘米，宽为b厘米的相同的小长方形，且．
（1）观察图形，可以发现代数式可以因式分解为______．
（2）若图中阴影部分的面积为162平方厘米，大长方形纸板的周长为60厘米，图中空白部分的面积为______．
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）
17．把下列各式因式分解：
(1)； (2)．
18．（1）利用因式分解计算；
（2）已知，．求的值．
19．因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0，利用上述阅读材料求解：
(1)若是多项式的一个因式，求k的值；
(2)若和是多项式的两个因式，试求m，n的值；
(3)在（2）的条件下，直接写出多项式因式分解的结果．
20．“整体思想”法，即把多项式中的某些部分看成一个整体，用一个新的字母进行替代，可以简化多项式的结构，使因式分解更简洁明了．
例如：分解因式．
解：将看成一个整体，令，则原式___________，将还原得，原式．
请根据上述材料回答下列问题：
(1)请补全横线上的步骤：___________；
(2)分解因式：．
21．对于多项式，如果我们把代入此多项式，发现的值为0，这时可以确定多项式中有因式；同理，可以确定多项式中的另一个因式为，于是我们可以得到．这种因式分解的方法叫试根法，常用来分解一些比较复杂的多项式，
(1)请你用试根法分解以下多项式：
① ②
(2)已知多项式是多项式的一个因式，求a，b的值，并将该多项式因式分解．
22．材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．例如，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”．
这样，我们可以得到：．
材料：分解因式：
解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式
上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法．
迁移运用】
(1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式：
；
(2)结合材料和材料，对下面小题进行因式分解：．
23．【问题提出】如何分解因式：？
【问题解决】某数学“探究学习”小组对以上问题进行了探究：
甲同学：
乙同学：
【方法总结】将一个多项式适当分组后，利用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组分解法．
【学以致用】尝试运用分组分解法解答下列问题：
(1)分解因式：；
(2)已知 ABC的三边长满足，判断 ABC的形状并说明理由．
24．材料一：整式除以整式——长除法
类比于两数相除可以用竖式运算，整式除以整式也可以用竖式运算．其步骤是：
（1）把被除式和除式按同一字母降幂排列（若有缺项用零补齐）；
（2）用竖式进行运算；
（3）当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式．
例如，求的商式和余式，可以计算：
因此，商式是，余式是．
材料二：
对于关于x的一元整式M，其奇数次项系数之和为m，偶数次项系数之和为n．
若，则当时，M的值为0；若，则当时，M的值为0．
例如，对于一元整式，由、得，所以把代入整式，得其值为0．
由此可以确定整式有因式，于是可设．分别确定p、q的值，再代入，就可以因式分解整式，这种因式分解的方法叫作“试根法”．
阅读上述两则材料，回答问题：
(1)整式除以整式，商式是______，余式是______．
(2)材料二中，______，______．
(3)对于一元整式，必定有当______，其值为0．
(4)根据材料一和材料二，因式分解______．
25．【知识回顾】一般地，两数和的完全平方公式为：，如果我们将写成，就可以由两数和的完全平方公式推导出两数差的完全平方公式．过程如下：．
(1)【类比推理】已知两数的立方和公式为，请类比两数差的完全平方公式的推理过程，推导两数的立方差公式：________．
(2)【应用公式】因式分解：．
(3)【拓展提升】如图，将八个完全相同的直角三角形拼成一个大正方形，设，，．若，则
①________．
②若该直角三角形的两条边长分别为和，且，请先将代数式进行因式分解，然后求出代数式的值．
参考答案
一、选择题
1．A
解：多项式的公因式是；
故选A．
2．D
解：因式分解是将多项式化为几个最简整式乘积的形式，
∴A选项，是整式的乘法运算，从乘积形式化为多项式，不属于因式分解；
B选项，右边的不是整式，不符合因式分解的定义；
C选项，右边不是乘积形式，不属于因式分解；
D选项，将多项式化为了，即整式的乘积形式，属于因式分解；
故选：D．
3．C
解：∵平方差公式的结构特征是两个因式中，存在一项完全相同，另一项互为相反数．
A、相同项为，互为相反数的项为和，符合平方差公式特征，能运用；
B、相同项为，互为相反数的项为和，符合平方差公式特征，能运用；
C、，两项均互为相反数，无相同项，不符合平方差公式特征，不能运用；
D、相同项为，互为相反数的项为和，符合平方差公式特征，能运用；
故选：C．
4．A
解：∵，
∴故一定能被3整除，
故选：A．
5．C
解：∵，，
∴，
∴，
故选：．
6．A
A、，故本选项符合题意；
B、，则，故本选项不符合题意；
C、，则，故本选项不符合题意；
D、，则，故本选项不符合题意．
7．A
解：∵，，，
∴，
整理得：，
即，
∴，，，
∴此三角形为等腰三角形．
故选：A．
8．C
解：∵
∴
整理得
因式分解得
即
∵
∴，即
将代入，得
∵
∴，解得
∴，故
又∵n为自然数
∴n的最小值是13．
故选：C．
9．C
解：，
，
，
，
因为一个数的平方等于 0，所以这个数为 0，即，
所以，
故选：C．
10．B
解：如下图：
则空白部分的面积，
，
，
，
代入化简得：，
∴ ，
∵，
∴，
∴，
化简得：，
∴．
二、填空题
11．
解：．
12．2026
解：原式
．
故答案为：2026．
13．
解：展开，与原式比较系数，
得，
解得 ，
则．
故答案为：．
14．13
解：
∵ ，
原式，
．
故答案为：．
15．32
解：，
，
，
∴，
∴，
∴.
16．
解：（1）由题意，；
故答案为：；
（2）由题意，，
即，
∴，
∴，
∴空白部分的面积为．
故答案为：．
三、解答题
17．（1）解：
；
（2）解：
．
18．解：（1）
；
（2）∵，
∴．
又∵．
∴，
∴．
19.（1）解：∵是多项式的一个因式，
∴当时，得，
解得：；
（2）解：∵和是多项式的两个因式，
∴可有，整理可得，
解得，
即的值为，的值为；
（3）解：由（2）可知，的值为，的值为，
∴多项式为，
∵和是多项式的两个因式，的次数最高项的次数为3，次数最高项的系数为1，
∴设，
右边展开式的常数项为，左边的常数项为，
∴，
解得：，
∴．
20．（1）解：，
故答案为：；
（2）解：令，
则原式
将还原，
得原式．
21．（1）解：①当时，，当时，
∴；
②当时，，
当时，，
当时，，
∴；
（2）解：∵多项式是多项式的一个因式
∴设另一个因式为
∴
∴
∴
解得．
．
22．（1）解：；
（2）解：将“”看成一个整体，令，则原式，
再将“”还原，得：原式
23．（1）解：
．
（2）解：，
，
∵a，b，c均为正数，
∴，，
∴，
∴ ABC为等腰三角形．
24．（1）解：整式除以整式的长除法如下：
因此，商式是，余式是0．
故答案为：；0；
（2）解：整式除以整式的长除法如下：
因此，商式是，余式是0．
则
所以，．
故答案为：；；
（3）解：对于一元整式，
由、得，
所以把代入整式，得其值为0．
故答案为：；
（4）解：由（3）得，整式有因式，
整式除以整式的长除法如下：
因此，商式是，余式是0．
则，
又因为，
所以
故答案为：．
25．（1）解：∵，
∴
；
（2）解：
；
（3）解：①图2是由图1这样八个形状、大小完全相同的直角三角形拼接而成，
由图形2可知，，，
∵，
，
；
②
，
∵，，，
∴，，即，
∴，
解得，，
∴原式．

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