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第4章《因式分解》单元自测卷
一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。）
1.下列各式从左到右是因式分解的是（ ）
A．; B．;
C．; D．．
2.多项式因式分解的结果是（ ）
A． B． C． D．
3．若，且，则的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
4．已知，则等于（ ）
A．2 B． C． D．
5.已知（_______），则横线上应填的代数式是（ ）
A． B． C． D．
6．如果，，那么的值是（　　）
A． B． C．13 D．30
7.若多项式可因式分解为，其中，均为整数，则的值是（ ）
A． B． C． D．
8.数学刘老师是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：学，爱，我，信，阳，数。现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱数学 B．爱数学 C．爱信阳 D．我爱信阳
9.在对二次三项式因式分解时，小刚看错了常数项，分解成，小明看错了一次项系数，分解成，则的值为（ ）
A．-5 B．7 C．9 D．21
10.密码学中常用因式分解生成简易密码，先将多项式分解因式，再对因式赋值生成因式码，将因式码按从大到小的顺序排列就可以形成密码。例如多项式．将其分解因式为，若取，，则有，，，其中26，19，25分别为因式码，将这三个因式码从大到小的顺序排列就形成密码262519．已知多项式，当a，b分别取正整数时，用上述方法生成密码，若密码的后两个因式码为8，4，则该多项式生成的密码为（）。
A．4184 B．4084 C．4284 D．4384
二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分。）
11．分解因式：_____。
12.如图，图中的大长方形是由2块边长为的大正方形，2块边长为的小正方形，5块长为，宽为的相同的长方形拼接而成。观察图形，可以发现代数式因式分解的结果为__________。
13．若，则_________。
14.若二次三项式可分解为（，则m的值为_________。
15.计算：图1为某校七（1）（2）两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m，n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分，分别表示七（1）（2）两个班级的基地面积。若，则________ ．
三、解答题（本题共7小题，共58分。）
16.（8分）分解因式：
(1); (2); (3)．
17.（8分）张老师在黑板上写了下列三个式子：
①;②;③．
（1）请结合上述三个式子的规律，写出式子：
④__________;⑤__________;
（2）用含（为正整数）的式子表示上述规律：__________；
（3）试证明（2）中的规律的正确性。
18.（8分）深度学习“乘法公式”时，小慧发现数学结论：当两个不同的正整数同为偶数或同为奇数时，这两个数之和与这两个数之差的平方差一定能被4整除，且这两个数的积可以表示为两个正整数的平方差。为了验证这一结论的正确性，进行了如下探究：
【特值验证】选取两个正整数3和1都是奇数，验证如下：
由于即能被4整除；
而且，可以表示为2和1的平方差。所以结论正确。
（1）若选取两个正整数4和2都是偶数，请你模仿上述示例给予验证；
【规律探究】设两个正整数，且和同为奇数或同为偶数，试证明：
（2）是4的倍数；
（3）可以表示为两个正整数的平方差。
19.（8分）综合与实践
聪明的嘉嘉发现某广场的地砖图案是由多个圆套在一起的，从外向里由黑色瓷砖铺设的圆环和白色瓷砖铺设的圆环交替构成。根据这一现象嘉嘉画出了如图所示的图形，已知最外面的圆的半径为，向里依次为，嘉嘉想利用所学的数学知识计算这个图形中所有黑色圆环面积的和。
回归课本：
（1）此问题的解决需利用平方差公式：___________。
问题解决：
（2）求黑色圆环面积的和。（计算结果保留）
问题拓展：
（3）运用上述公式计算：．
20.（8分）对于三个非负整数p，，，若满足：，则称为与的“2次幂差数”。
（1）2与1的“2次幂差数”为_____；
（2）若为与的“2次幂差数”，求（用含的代数式表示）；
（3）若为与的“2次幂差数”，且，，求的最小值。
21.（10分）综合与实践：
【问题情境】（1）对于一个图形，如图1，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式_____；
【探究实践】
（2）类比图1，写出图2中所表示的数学等式_____；
（3）利用（2）中得到的结论，解决问题：若，，求的值；
【拓展应用】
（4）用图3中2张边长为的正方形，3张边长为的正方形，张边长分别为，的长方形纸片拼出一个长方形或正方形，直接写出的值。
参考答案
一、单项选择题
1.D
解：A、等式的右边不是乘积的形式，是整式的乘法，则此项不是因式分解，该选项不符合题意；
B.，原式因式分解不彻底，该选项不符合题意；
C.等式的右边不是乘积的形式，则此项不是因式分解，该选项不符合题意；
D.满足因式分解的定义，则此项是因式分解，该选项符合题意。
2.D
解：
．
3．C
∵，
已知 ，，
∴,
∴．
4．C
解：∵，
∴
故选：C
5.D
解： ∵，
∴ 横线上应填的代数式是，即故选D符合题意。
6．D
解：∵，，
∴ ．
7.D
解：∵将展开得,
又∵,
∴,
由得,
将，代入得，符合条件，
∴,
故选：D．
8.A
解：∵，
对应密码字： 我， 爱， 数， 学，
因式相乘的顺序可交换，调整为有意义的词组即可，
∴密码信息为“我爱数学”，
故选：A．
9.A
解：∵ 小刚分解为（，且看错常数项但一次项系数正确，
∴ .
∵ 小明分解为（，且看错一次项系数但常数项正确，
∴ .
∴ .
故选：A．
10.B
解：∵，
设因式码为，，，且（确保因式码为正），
给定密码后两个因式码为8和4，即排序后中值为8、最小值为4，
∵，为正整数且，
∴
又，
∵，
∴，，
∴
故三个因式码从小到大依次为，，
∵，
∴可能情况为，，
则
解得：
此时，
因式码排序为40、8、4，密码为4084，
其他情况（如或）均无正整数解，
∴密码为4084，
故选：B．
二、填空题
11．
解：原式．
12.
解：大长方形面积为，
故答案为：．
13．
解：．
∵,
∴原式．
故答案为：．
14.1
解：（，
,
,
解得，
故答案为．
15.5
解：由图可知：，
∴，
∵,
∴,
∴．
三、解答题
16.（1）解：原式；
（2）解：原式；
（3）解：原式．
17.（1）解：由已知式子可得④；⑤；
（2）解：由已知式子可得规律为；
（3）证明：
．
18.解：（1）即能被4整除，
结果是4的倍数，
又，
可以表示为3和1的平方差，
故验证结论正确；
（2）证明：，
且均为正整数，
是4的倍数；
（3）由（2）可知，，
的奇偶性相同，不妨设，
都是正偶数，
和都是正整数，
一定能表示为两个正整数的平方差。
19.（1）解：，
故答案为：；
（2）解：
．
答：黑色圆环面积的和为．
（3）解：
．
20.（1）解：根据“2次幂差数”的定义可得，．
2与1的“2次幂差数”为3，
故答案为：3．
（2）解：依题
;
（3）解：已知，，
代入得：，
即，
,
由，及为整数，可得的取值范围为，
∵在该范围内，
∴当时，取得最小值64，则的最小值为8．
21.解：（1）大正方形的面积有两种求法：可以是，也可以是，
,
故答案为：；
（2）边长为的正方形的面积为：，
分9部分来看，正方形的面积为，
两部分面积相等，
,
故答案为：；
（3）由（2）知，
，
．
的值为14；
（4）由题意可得，所拼成的长方形或正方形的面积为：，
从因式分解的角度看，可分解为或，
或，
的值为5或7．

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