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第5章《分式与分式方程》单元测试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列各式中，属于分式的是（ ）
A． B． C． D．
2．分式，的最简公分母是（ ）
A． B． C． D．
3．下列分式中，无论a取何值，一定有意义的是（　　）
A． B． C． D．
4．将分式中的a，b都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）
A．扩大3倍 B．不变 C．扩大9倍 D．扩大2倍
5．下列等式变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．分式的运算结果为，则“□”处的运算符号是（ ）
A．＋ B．－ C．× D．÷
7．对于非零实数、，规定．若，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
8．广西是全国最大的甘蔗产区，蔗糖产量连续多个榨季位居全国第一，某甘蔗种植户计划砍收360亩甘蔗地，因天气影响加快了砍收速度，实际每天砍收面积是原来的1.2倍，结果提前3天完成砍收任务，设原计划每天砍收x亩，由题意可得方程（ ）
A． B．
C． D．
9．已知，以下结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知关于的分式方程的解为负数，则的值为（ ）
A． B． C．且 D．且
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．计算的结果是________．
12．若，则的值为_________．
13．如果分式的值为零，那么_____．
14．若分式的值为正，则的取值范围是_____．
15．一组按规律排列的式子：，，，，…．若，则第9个式子是__________．
16．若关于的分式方程无解，则的值是________．
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）
17．化简：
(1)； (2)．
18．解下列分式方程：
(1) (2)
19．先化简，再求值，其中．
20．分式计算的部分过程如图所示，按要求完成下列小题．
解： ……第一步
(1)第一步将原式中的变形为，是将分子与分母进行了_____（填字母）；
A．整式乘法 B．因式分解
(2)请你在图中的虚框中完成该分式的计算．
21．观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；…
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：___________________________________；
(2)写出你猜想的第个等式：_______________（用含的等式表示），并证明．
22．一般情况下，一个分式通过适当变形，可以转化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式，例如：
①；
②．
(1)仿照上述方法，试将分式化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式；
(2)若分式的值为整数，请求出整数的值．
23．某文具店为学校采购文具，已知网上每盒A款笔的价格是实体店的倍，用200元在网上购买的A款笔比在实体店购买的少2盒．
(1)求实体店每盒A款笔的价格；
(2)实体店每盒B款笔的价格是25元．文具店决定在实体店购买A、B两款笔共80盒，且A款笔的盒数不超过B款笔的盒数．实体店为支持校园活动，对A、B两款笔均提供八折优惠．求本次购买最少花费多少钱？
24．形如（a，b不为零，且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”，例如为十字分式方程，可化为，∴，．
再如为十字分式方程，可化为，
∴，．
应用上面的结论解答下列问题：
(1)若为十字分式方程，则______，______．
(2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值．
(3)若关于x的方程的两个解是，，若是整数，求满足条件的整数k的值．
25．阅读：如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“关联分式”，常数称为“关联值”．如分式，则与互为“关联分式”，“关联值”．
(1)若分式，判断与是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”．
(2)已知分式与互为“关联分式”，且“关联值”．
①___________（用含的式子表示）；
②若为正整数，且分式的值为正整数，则的值等于___________．
(3)已知分式与互为“关联分式”，且“关联值”，若满足以上关系的关于的方程无解，求实数的值．
参考答案
一、选择题
1．B
解：A、的分母是常数，不含字母，属于整式，不是分式，不符合题意；
B、的分母是含字母的整式，符合分式的定义，属于分式，符合题意；
C、的分母是常数，不是字母，属于整式，不是分式，不符合题意；
D、的分母是常数，不含字母，属于整式，不是分式，不符合题意．
2．B
解：分式，的最简公分母是．
3．D
解：A、当时，分母，分式无意义，此选项不符合题意；
B、当时，分母，分式无意义，此选项不符合题意；
C、当时，分母，分式无意义，此选项不符合题意；
D、，
，分母恒不为零，无论取何值，分式都有意义，此选项符合题意．
故选：D．
4．A
解：∵将a、b都扩大为原来的3倍后，代入原分式得
新分式
∴新分式的值是原分式的3倍，即分式的值扩大3倍.
5．B
解：A、从到，分子和分母同乘以，根据分式的基本性质可知，但原分式中的值可以为0，原式变形错误，不符合题意；
B、由于，则变形正确，符合题意；
C、当时，，原式变形错误，不符合题意；
D、当时，，原式变形错误，不符合题意；
故选：B．
6．D
解：∵
将“”代入□：
原式=
=
与题目运算结果一致．
代入其他符号验证：
若为“＋”：
若为“－”：
若为“×”：
∴“□”处的运算符号是÷，
故选D
7．A
解：∵规定，且，
∴，
去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
系数化为，得，
经检验，是原分式方程的解，
∴的值为，
故选：．
8．D
解：∵原计划每天砍收亩，总砍收面积为360亩，
∴原计划完成任务的天数为，
∵实际每天砍收面积是原来的1.2倍，
∴实际每天砍收亩，实际完成任务的天数为，
∵实际提前3天完成任务，即原计划天数比实际天数多3，
∴可得方程．
9．C
解：∵，
∴
又∵，
∴，故选项C正确，
∵，
∴，故选项A不正确，
∵，
∴，故选项B不正确，
∵，
∴，故选项D不正确，
故选：C．
10．C
解：，
去分母得，
解得，
∵分式方程的解为负数，
∴，且分母，
即，且，
解得，且．
二、填空题
11．
解：．
12．
解：∵，
∴，
∴．
13．
解：若分式的值为零，
则.
解得或，
由，得.
因此．
14．
解：∵分式的值为正，且，
∴，
∴．
故答案为 ．
15．
解：第1个式子为，
第2个式子为，
第3个式子为，
第4个式子为，
……，
以此类推可知，第n个式子为，
∴第9个式子为．
16．或
解：原分式方程为 ，
方程变形为 ，
方程两边同乘最简公分母，得：
整理得整式方程：，
分两种情况讨论：
①当整式方程无解
对于一元一次方程，当a=0,b≠0时方程无解，
因此令，解得，
此时，等式不成立，整式方程无解，因此原分式方程无解，符合题意．
②整式方程有解，但解为原分式方程的增根
原分式方程的增根满足分母，因此增根为，
将代入整式方程，得：
，解得，
此时使原分式方程分母为零，原方程无解，符合题意．
综上，的值为或．
三、解答题
17．（1）解：
；
（2）解：
．
18．（1）解：
方程两边都乘，得，
解得．
检验：当时，．
∴是原方程的解．
（2）解：
方程两边都乘，得，
解得．
检验：当时，．
∴是原方程的解．
19．解：原式
．
当时，原式．
20．（1）解：第一步将原式中的变形为，是将分子与分母进行了因式分解；
（2）解：
．
21．（1）解：第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
第5个等式：
（2）解：由（1）中规律得：第个等式：，证明如下：
左边
右边
，
∴左边右边．
22．（1）解：
；
（2）解：
，
∵分式的值为整数，且x为整数，
∴是整数，且是整数，
∴是整数，
∴或，
解得或或或．
23．（1）解：设实体店每盒A款笔的价格为x元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，
答：实体店每盒A款笔的价格为20元；
（2）解：设购买A款笔a盒（，且a为整数），则购买B款笔盒，
则，
解得，
又，
∴，
设总费用为w元，
则，
∵，
∴w随a增大而减小，
又，
∴当时，w有最小值，最小值为，
∴本次购买最少花费1440元．
24．（1）解：∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵十字分式方程的两个解分别为，，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴方程是“十字分式方程”，
∵关于x的方程的两个解是，，
∴，
∴，
∴，
∵是整数，
∴是的整数，即是整数，
又∵k是整数，
∴或，
∴或或或．
25．（1）解：A与B互为“关联分式”，关联值，理由如下：
由题意得，
，
∵2是正整数，符合“关联分式”的定义，
∴关联值；
（2）解：①∵与互为“关联分式”，关联值，
∴
解得；
②当时，
，
∵为正整数，且为正整数，
∴当时，解得；
当时，解得（舍去），
∴的值为；
（3）解：∵与互为“关联分式”，关联值，
∴
解得，
∵关于的方程无解，
∴当时，即，此时方程变为，无实数解，符合要求；
∵原分式方程的增根为（使分母为0），
∴将代入整式方程：
解得；
此时整式方程的解是增根，原分式方程无解，符合要求．
综上，实数的值为或．

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