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第五章《分式与分式方程》单元测试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．在代数式中，分式共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．在解分式方程时，去分母后所得结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列说法正确的是（ ）
A．当时，分式无意义 B．分式与的最简公分母是
C．当分式值为0时， D．无论为何值，的值总为正数
4．若要使有意义，则x的取值范围为（　　）
A．且 B．且 C．且 D．且
5．对于任意的值都有，则，值为（ ）
A．， B．， C．， D．，
6．某工厂生产零件80个，实际参与生产的人数是原计划人数的1.5倍，实际平均每人生产零件个数比原计划少了4个，若设原计划人数为y人，则下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．若小菁按如图所示的流程输入后，输出的，则输入的值为（ ）
A． B． C．0 D．
8．已知，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．设，为实数，定义如下一种新运算：，若关于的方程有增根，则的值是（ ）
A．4 B． C．4或 D．4或3
10．将7张如图1的两边长分别为a和b（，a与b都为正整数）的长方形纸片按图2的方式不重叠放在长方形内，长方形中未被覆盖的部分用阴影表示，设左上角与右下角的阴影部分的面积相等，设，若，k为整数，则a可取的值的个数为（ ）
A．0个 B．3个 C．5个 D．无数个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．分式与的最简公分母是______．
12．若代数式的值是，则___________．
13．不改变分式的值，将的分子与分母的各项系数都化为整数得_______．
14．已知（且），，，，，则等于______．
15．若数a使得关于x的分式方程有正数解，且使得关于y的不等式组有解，那么符合条件的所有整数a的和为____．
16．解决分式问题时，常常采用逆向思维的方法，如：在讨论分式时，若将其转化为，则该分式值的变化只与分母有关．已知，设．若均为非零整数，则的值为_____．
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）
17．解分式方程：
(1)； (2)．
18．化简：
(1)； (2)．
19．先化简，再求值：，其中．
下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
甲同学 解：原式…
乙同学 解：原式…
(1)甲同学解法的依据是______；乙同学解法的依据是______；（填序号）
①等式的基本性质②分式的基本性质③乘法分配律④乘法交换律
(2)请你选择上面的一种解法，写出完整的解答过程．
20．已知关于的方程．
(1)若，求该方程的解；
(2)若该方程无解，求实数的值．
21．观察以下等式：
第1个等式：，第2个等式：，
第3个等式：，第4个等式：，
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：________；
(2)写出你猜想的第n个等式：________（用含n的等式表示），并证明．
22．阅读下列解题过程：
已知，求的值．
解：由，知，∴，即
∴，∴
以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题：
已知，
(1)求的值；
(2)求的值．
23．2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩、雪容融深受人们的喜欢，为了抓住商机，乐购商场决定购进一批冰墩墩雪容融纪念品进行销售．已知每件冰墩墩比每件雪容融的进价高30元．用1000元购进冰墩墩的数量和用400元购进雪容融的数量相同．
(1)求两种纪念品每件的进价分别是多少元？
(2)第一次乐购商场购进的货很快就脱销，于是计划再次购进冰墩墩、雪容融共200件，其中雪容融的数量不超过冰墩墩数量的，且购进的冰墩墩以每件60元，雪容融以每件35元的价格出售．这次如何进货商场利润最大？最大利润是多少？
24．【教材呈现】
a，b，c，d都不为0，，，若，则．如下证明这个结论的正确性，设，则，，所以，同理，，所以．
【类比分析】
（1）若，且…，求证．
【学以致用】
（2）若x，y，z都不为0，且，求的值．
25．综合与实践
定义：如果两个分式与的和为常数，则称与互为“和常分式”，常数称为“和常值”．例如：分式，，，则与互为“和常分式”，“和常值”．
(1)已知分式，，判断与是否互为“和常分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出“和常值”．
(2)已知分式，，若与互为“和常分式”，且“和常值”．
①求代数式（用含的式子表示）．
②若分式的值为正整数，求的值．
(3)已知分式，（，为整数），若与互为“和常分式”，求“和常值”．
参考答案
一、选择题
1．B
根据分式定义：若是整式，且式子的分母中含有字母，则该式子是分式.
逐个判断给出的代数式：
∵ ，的分母均为常数，中是常数，分母不含字母，这三个都是整式，不是分式；
∵ ，，这三个的分母都含有字母，符合分式定义，都是分式.
∴ 分式共有3个，故选B.
2．C
解：
．
3．D
解：A，∵分式无意义的条件是分母，当时，分母，分式有意义，
∴A错误；
B，∵最简公分母取系数最小公倍数与各字母因式最高次幂的乘积，
∴分式与的最简公分母是，不是，
∴B错误；
C，∵分式值为需满足分子为且分母不为，由得，又即，
∴，不是，
∴C错误；
D，∵对任意都有，
∴，分子，
∴恒成立，
∴D正确．
4．A
∵要使有意义，需同时满足两个条件：
①二次根式被开方数非负，即，
②分式分母不为0，即，解得，
∴的取值范围为且．
5．B
解：∵，
∴，
解得：．
故选：B．
6．A
解：设原计划人数为y人，则实际人数是，
根据题意得．
7．B
解：当时，，
去分母得，，
解得：，
经检验：是分式方程的解，且符合题意；
当时，，
解得：，（与矛盾，舍去）
∴输入的值为．
8．C
解：∵ ，．
∴A． ，A错误；
B．， B错误；
C．．与选项一致， C正确；
D．，D错误．
9．A
解：∵
∴，
∴原方程可化为
∵方程有增根，∴分母，解得增根为
给方程两边同乘去分母得：
整理得：
把代入整式方程得：
解得：
10．A
解：因为左上角与右下角的阴影部分的面积相等，
所以，
所以，
因为 ，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以，
因为k为整数，
所以取1，2，3，4，6，12，
因为b为正整数
所以b取1，3，9，
当时，，此时，
当时，，此时，
当时，，此时，
因为，
∴，
∴a可取的值的个数为0．
二、填空题
11．
解：两个分式的分母分别为和．
各分母系数的最小公倍数为．
字母因式中的最高次幂为，的最高次幂为．
因此最简公分母为．
12．
解：由题意得：，
∴（x-4）=2（x-4），
∴2=2x-8，
，
，
检验当时，，
因此是原分式方程的解．
13．
分子和分母中系数的分母分别为和，最小公倍数为，用同时乘分子和分母：
分子：
分母：
故答案为： ．
14．
解：∵（且），
∴，
则，
∴，
因此，序列每3项循环一次，即周期为3，
则，
∴，
故答案为：．
15．0
解：解分式方程，得，
∵分式方程的解为正数，
∴，即，
又，
∴，即，
则且，
∵关于y的不等式组有解，
∴，即，
解得：，
综上，a的取值范围是，且，
则符合题意的整数a的值有、0、1，它们的和为0，
16．或27
解：由题意得
，
均为非零整数，
当时，即，，此时；
当时，即，，此时；
当时，即，，此时；
当时，即，，此时；
故答案为：或．
三、解答题
17．（1）解：
，
检验：当时，，
∴原分式方程无解；
（2）解：
，
检验：当时，，
∴原分式方程的解为．
18．（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
19．（1）解：甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律；
（2）解：甲同学：原式
，
当时，原式；
乙同学：原式
，
当时，原式．
20．（1）解：原方程去分母并整理得：，
整理得，，即，
∴当时，，
经检验，是原方程的解，
∴原方程的解是；
（2）解：由（）知，所以要使原方程无解，
只需满足即可，解得或．
21．（1）解：第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
第5个等式：，
即；
故答案为：；
（2）解：第n个等式： ；
．
22．（1）解：，
，
，
；
（2）解：，，
，
，
，
．
23．（1）解：设冰墩墩每件的进价为x元，则雪容融每件的进价为元，
根据题意得:，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则，
答：冰墩墩每件的进价为50元，雪容融每件的进价为20元．
（2）解：设购进冰墩墩m件，则购进雪容融件，利润为w，由题意，
，
解得，
，即，
∵，
∴随着的增大而减小，
∴当时，w取最大值，最大值为2400，
因此，冰墩墩进货120件，雪容融进货80件时利润最大，最大为2400元．
24．（1）证明：设，则，，…，，
…，
，
；
（2）解：设，则，，，
所以．
25．（1）解： 与互为“和常分式”．
∵，，
∴，
“和常值”．
（2）解：①∵与互为“和常分式”，且“和常值”，
∴．
两边同乘，得，
∴
．
②．
∵分式的值为正整数，
∴是的因数，
∴或，
∴或．
（3）解：∵与互为“和常分式”，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
解得．

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