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/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
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专项小卷十五　与圆基本性质有关的证明与计算
1.如图，四边形ABCD内接于⊙O，延长AD至点E，连接CE，使得CE=AC，且∠BAC=∠DCE.
(1)求证：BC∥DE；
(2)若⊙O的半径为4，∠ADC=60°，求AC的长.
第1题图
2.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，BD平分∠ABC交⊙O于点D，连接OD交AC于点E，过点D作DF⊥AB于点F.
(1)求证：OD⊥AC；
(2)若BD=，DE=2，求⊙O的半径与DF的长.
第2题图
3.如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D是优弧的中点，连接DO并延长交AC于点E，连接DB并延长交AC的延长线于点F.
(1)求证：∠ABD=∠CBF；
(2)若AC=6，DE=4，求DF的长.
第3题图
4.如图，在⊙O中，AB，AC分别是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，AB⊥CD，连接BO并延长交AC于点E，交⊙O于点F，连接DF交AB于点G.
(1)求证：∠AEB=3∠F；
(2)若AG=DG，CD=6，求FG的长.
第4题图
5.如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，D是⊙O上一点，=，连接BD，过点A作AE⊥BC于点E，延长AE交BD于点F.
(1)求证：AF=BF；
(2)分别延长AC，BD交于点G，若EF=2，BG=12，求⊙O的半径长.
第5题图
6.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是圆上一点，连接DO并延长，交AC于点E，交⊙O于点F，连接CD交AB于点G，且∠BCD=∠FDC.
(1)求证：AC=2CE；
(2)若CE=EF，AC=4，求OE和DG的长.
第6题图
7.如图，BC是⊙O的弦，A是优弧上一点，连接AO并延长交BC于点D，交⊙O于点F，连接AC，过点D作DE⊥AC于点E，连接AB，BF.
(1)求证：∠DAB=∠CDE；
(2)若AC=AD，CD=3，BD=，求AB的长.
第7题图
8.如图，四边形ABCD内接于⊙O，C是的中点，延长AB到点E，使得BE=AD，连接AC，CE.
(1)求证：AC=CE；
(2)若AD=4，AB=6，∠BCD=120°，求BC的长.
第8题图
9.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，BD平分∠ABC交⊙O于点D，交AC于点E，连接OD交AC于点F，连接CD.
(1)求证：OD⊥AC；
(2)若OF=2，cos∠OBD=，求EF和CD的长.
第9题图
参考答案
1.(1)证明：∵CE=AC，∴∠CAE=∠E.
∵∠BAC=∠DCE，∠ADC=∠DCE＋∠E，∠BAD=∠BAC＋∠CAE，
∴∠BAD=∠ADC.
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC＋∠ADC=180°，
∴∠ABC＋∠BAD=180°，
∴BC∥DE；
(2)解：如解图，过点O作OM⊥AC于点M，连接OA，OC，
∵OA=OC，OM⊥AC，
∴AM=AC，∠AOM=∠AOC，
∵=，∠ADC=60°，
∴∠AOC=2∠ADC=120°，
∴∠AOM=60°，
∴AM=OA sin∠AOM=4×=2，
∴AC=2AM=4.
第1题解图
2.(1)证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABC=2∠ABD.
∵∠AOD=2∠ABD，
∴∠AOD=∠ABC，
∴OD∥BC，∴∠AEO=∠C.
∵AB为⊙O的直径，
∴∠C=90°，
∴∠AEO=90°，
∴OD⊥AC；
(2)解：如解图，连接AD，
第2题解图
设OA=OB=OD=r，
∴AB=2OA=2r，
∵DE=2，∴OE=OD－DE=r－2，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴在Rt△ADB中，AD2=AB2－BD2=(2r)2－()2，
由(1)得，OD⊥AC，∴∠AED=∠AEO=90°，
∴在Rt△AEO中，AE2=OA2－OE2=r2－(r－2)2，
在Rt△AED中，AD2=AE2＋DE2=r2－(r－2)2＋22，
∴(2r)2－()2=r2－(r－2)2＋22，
解得r=或r=－(舍去)，
∴⊙O的半径长为，
∴AB=7，AD=，
∵DF⊥AB，
∴S△ABD=AD DB=AB DF，
∴AD DB=AB DF，
∴DF=.
3.(1)证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，即AC⊥BC，
∵D是优弧的中点，DE过圆心O，
∴DE⊥AC，
∴BC∥DE，∴∠D=∠CBF.
∵OB=OD，∴∠D=∠ABD，
∴∠ABD=∠CBF；
(2)解：如解图，连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠BDA=90°，
由(1)得DE⊥AC，
∴AE=CE=AC=3，
∴AD===5，
∵∠ADE＋∠FDE=90°，∠F＋∠FDE=90°，
∴∠F=∠ADE.
∵∠AED=∠DEF=90°，
∴△ADE∽△DFE，
∴=，
∴=，
∴DF=.
第3题解图
4.(1)证明：如解图，连接AO，
∵CD是⊙O的直径，AB⊥CD，
∴=，
∴∠AOD=∠BOD，∠C=∠F，
∴∠AOD=2∠C，
∴∠BOD=2∠C，
∵∠COE=∠BOD，∴∠COE=2∠C，
∵∠AEB是△OCE的一个外角，
∴∠AEB=∠C＋∠COE=3∠C，
∴∠AEB=3∠F；
(2)解：如解图，连接AD，BD，
∵AG=DG，∴∠BAD=∠ADF，
∴∠BFD=∠ABF，=，
∴FG=BG，
由(1)知=，
∴==，
∴∠AOD=∠BOD=∠AOF=60°，
又∵OB=OD，
∴△BOD是等边三角形，
∴∠OBD=60°，BD=OD=OB=CD=3，
∵AB⊥CD，
∴∠OBA=∠ABD=∠OBD=30°，
∵BF是⊙O的直径，
∴∠BDF=90°，
在Rt△BDG中，BG===2，
∴FG=BG=2.
第4题解图
5.(1)证明：∵BC是⊙O的直径，AE⊥BC，
∴∠BAC=∠AEC=90°，
∴∠BAF＋∠CAE=∠ACB＋∠CAE=90°，
∴∠BAF=∠ACB，
又∵=，
∴∠ACB=∠ABD，∴∠BAF=∠ABD，
∴AF=BF；
(2)解：由(1)知∠BAC=90°，∠FBA=∠FAB，
∴∠FAB＋∠FAG=∠FBA＋∠G=90°，
∴∠FAG=∠G，即AF=FG，
∴AF=BG，
∴AF=BF=FG=BG=6，
∴AE=AF－EF=4，
在Rt△BEF中，由勾股定理，得BE==4，
在Rt△AEB中，由勾股定理，得AB==4，
由(1)知∠BAC=∠AEC=∠BEA=90°，
又∵∠ABC=∠EBA，
∴△ABC∽△EBA，
∴=，
∴CB===6，
即⊙O的直径长为6，
∴⊙O的半径长为3.
6.(1)证明：∵∠BCD=∠FDC，∴CB∥FD，
∴∠AED=∠ACB，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=∠AED=90°，
∴DF垂直平分AC，即AE=CE，∴AC=2CE；
一题多解法
证明：∵∠BCD=∠FDC，
∴CB∥FD，
∵AO=OB，
∴E为AC的中点，
∴AE=CE，
∴AC=2CE；
(2)解：连接CF，由(1)可知，DF垂直平分AC，
∴=，
∴∠FCA=∠FDC，
∵AE=EC，AC=4，
∴CE=AC=2，
∵CE=EF，
∴EF=2.
∵OF⊥AC，
∴∠FEC=90°，
由勾股定理，得CF==2，
∴sin∠FDC=sin∠FCE===，
∵DF为⊙O的直径，
∴∠FCD=90°，
∵sin∠FDC=，
∴DF=6，
∴OF=OD=DF=3，
∴OE=OF－EF=3－2=1，
由勾股定理，得CD==2.
又∵E为AC的中点，O为AB的中点，
∴OE为△ACB的中位线，
∴BC=2OE=2，
∵∠BCD=∠ODG，∠BGC=∠OGD，
∴△ODG∽△BCG，
∴=，
即=，解得DG=.
第6题解图
7.(1)证明：∵AF是⊙O的直径，∴∠ABF=90°，
∵DE⊥AC，∴∠DEC=90°，
∵=，∴∠AFB=∠DCE，
∴180°－∠ABF－∠AFB=180°－∠DEC－∠DCE，
即∠DAB=∠CDE；
(2)解：如解图，过点A作AG⊥BC于点G，过点D作DN⊥AB于点N，
∵AC=AD，AG⊥CD，CD=3，
∴∠DAG=∠CAG，DG=GC=CD=，
∴BG=BD＋DG=4，
∵DE⊥AC，∠ACG=∠DCE，
∴∠CAG=∠EDC=90°－∠ACG，
∴∠DAG=∠CAG=∠EDC=∠NAD，
∵DN⊥AB，AG⊥CD，
∴∠AND=∠AGD=90°，
在△AND和△AGD中，
，
∴△AND≌△AGD(AAS)，
∴DN=DG=，AN=AG，
在Rt△BDN中，由勾股定理得BN==2，
设AN=AG=x，则AB=x＋2，
在Rt△ABG中，由勾股定理得AB2=BG2＋AG2，
即(x＋2)2=42＋x2，解得x=3，
∴AB=5.
第7题解图
8.(1)证明：∵C是的中点，
∴=，∴BC=DC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC＋∠ABC=180°，
∵∠ABC＋∠CBE=180°，
∴∠ADC=∠CBE，
在△ADC和△EBC中，
，
∴△ADC≌△EBC，
∴AC=CE；
(2)解：如解图，过点C作CM⊥AE于点M，
由已知得AD=BE=4，
∵AB=6，∴AE=10，
由(1)得AC=CE，
∴△ACE为等腰三角形，
∵CM⊥AE，
∴AM=EM=AE=5，
∴BM=AB－AM=6－5=，
∵∠BCD=120°，
∴∠DAB=60°，
∵=，
∴∠CAD=∠CAB=∠DAB=30°，
∴AC=2CM，
由勾股定理可得CM==，解得CM=5，
在Rt△CBM中，BC==
=2，
∴BC=2.
第8题解图
9.(1)证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴=，
∵OD是⊙O的半径，
∴OD⊥AC；
一题多解法
证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠ODB=∠CBD，
∴OD∥BC，
∴∠AFO=∠ACB=90°，
∴OD⊥AC.
(2)解：如解图，连接AD，
由(1)知OD⊥AC，∴AF=CF，
∵OA=OB，∴OF为△ABC的中位线，
∴OF=BC，
∵OF=2，
∴BC=4.
∵cos∠OBD=，
∴cos∠CBD=cos∠BDO=，
在Rt△BCE中，cos∠CBD==，
∴BE=5，
∴CE==3，
在Rt△DFE中，cos∠BDO==，
∴设DF=4k(k＞0)，则DE=5k，EF=3k，
∴CF=CE＋EF=3＋3k，AE=EF＋AF=EF＋CF=3＋6k，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，
∴∠ADB=∠DFE，
又∵∠DEF=∠AED，
∴△EFD∽△EDA，
∴=，即=，
∴k=，
∴EF=3k=，ED=5k=，AE=3＋6k=，
在Rt△EAD中，
AD==，
∵=，
∴EF=，CD=AD=.
第9题解图
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

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