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/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
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专项小卷十四　锐角三角函数实际应用
类型1　仰角、俯角问题
1.如图，小明想测量塔CD的高度，他在A处仰望塔顶，测得仰角为60°，并用无人机在点A正上方的点B处测得塔底C处的俯角为37°，已知无人机的高度为18.5 m，求该塔CD的高度.(小明的身高忽略不计，结果精确到1 m，参考数据：≈1.73，tan 37°≈0.75，sin 37°≈0.6，cos 37°≈0.8)
第1题图
2.某校“综合与实践”小组的同学自制测角仪测量雕塑的高度.如图①，把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简易测角仪.如图②，将测角仪放在眼前，使视线沿着测角仪的直径恰好看到雕塑顶端.如图③，利用测角仪在点C处测得雕塑顶端点A处的仰角为α，利用皮尺测得所站位置到雕塑底座边缘的距离DE=13 m，雕塑底座的长度EF=4 m，B为EF的中点，眼睛到地面的高度CD=1.4 m.求雕塑的整体高度AB(AB为雕塑的中轴线，点A，B，C，D，E，F在同一竖直平面内).(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 38°≈0.62，cos 38°≈0.79，tan 38°≈0.78)
图① 图② 图③
第2题图
3.某数学兴趣小组想使用无人机测量写字楼AB的高度，他们作出如下的测量方案：如图，在无风天气下将无人机放在水平面BC的点C处(无人机自身高度忽略不计)，先控制无人机从点C出发向右上方匀速飞行9.9秒到达空中点O处，再调整飞行方向，向左上方匀速飞行13秒到达该楼顶点A处(点A，B，C，O均在同一平面内).已知无人机的速度为10米/秒(无风情况下)，且无人机在点O处测得点C的俯角为45°，点A的仰角为37°，求写字楼AB的高度.(结果精确到1米，参考数据：≈1.41，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)
第3题图
4.如图，某数学兴趣小组对田径场看台对面铁塔的高度进行测量.测得看台AB的长为20米，看台最低点A到地面CE的距离为1米，且AE⊥EC，DC⊥EC；在看台最低点A处测得铁塔顶部D点的仰角为60°，测得看台顶部B点的仰角为25°，在看台最高点B处测得铁塔顶部D点的仰角为35°.求铁塔的高度CD(精确到0.1米).(参考数据：sin 25°≈0.42，cos 25°≈0.91，tan 25°≈0.47，sin 65°≈0.91，cos 65°≈0.42，tan 65°≈2.14，≈1.73)
第4题图
类型2　“课题活动”综合与实践
1.(新考法 跨物理学科)定滑轮的功能是改变力的方向，当牵引重物时，可使用定滑轮将施力方向转变为容易出力的方向.某班“综合与实践”小组的同学发现校园内工人师傅利用定滑轮运输物体.于是，他们把“测量定滑轮距地面的高度”作为一项课题，利用课余时间完成了实践报告，并形成了如下活动报告：
课题 测量定滑轮距地面的高度(忽略定滑轮的大小)
测量工具 测角仪、皮尺等
测量示意图 第1题图 说明：小组成员站在A处，拉动绳子，使得物体移动，且点A，B，B′，C，C′，O均在同一竖直平面内，A，C，C′在同一直线上
测量数据 绳子与水平面的夹角 物体的高度BC 物体移动后，绳子收回的长度
物体移动前 物体移动后 0.5 m 4.5 m
37° 53°
…
请根据活动报告，求定滑轮O距地面的高度.(结果精确到1 m，参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，sin 53°≈0.80，cos 53°≈0.60，tan 53°≈1.33)
2.为了测量教学楼的高度，两位同学分别设计了不同的方案，测量方案与测量数据如下表：
课题 测量教学楼的高度
测量工具 皮尺、测角仪
测量示意图 第2题图① 第2题图②
测量方案及数据 如图①，在教学楼AB的右侧有一办公楼DE，已知两座楼之间的距离BD为24米，办公楼DE的高度为10米，小华在C处测得教学楼AB的顶部A的仰角为54.6°，办公楼DE的顶部E的仰角为39.1°，图中所有点均在同一平面内(AB⊥BD，ED⊥BD). 如图②，小丽站在实验楼GF的顶部F处用测角仪测得教学楼顶部A点的仰角为54.6°，教学楼底部B点的俯角为39.1°，已知实验楼GF的高为6米，图中所有点均在同一平面内(AB⊥BG，FG⊥BG).
说明 人的身高、测角仪的高度均忽略不计
参考数据 sin 39.1°≈0.63，cos 39.1°≈0.78，tan 39.1°≈0.81，sin 54.6°≈0.82，cos 54.6°≈0.58，tan 54.6°≈1.41.
请选择其中一个方案及其测量数据求出教学楼AB的高度.(结果保留整数)
3.综合与实践
【主题】测量银杏古树高度.
【背景】银杏也被称为公孙树或白果树，属于银杏科、银杏属.它是一种高大乔木，最高可达40米，胸径可达4米，具有极高的生态和经济价值，它是中生代孑遗的稀有树种，被誉为“活化石”，对研究裸子植物系统发育、古植物区系、古地理及第四纪冰川气候有重要价值.
【任务】测量如图①的银杏古树的高度AB.
【所需工具】测角仪(测角仪的高度忽略不计)，皮尺.
【测量过程】
(Ⅰ)出于保护需要，该古树周围安装了一圈围栏，无法进入，于是测量小组的同学在树根B的正西方向选一点C，如图②，在点C处利用测角仪测得∠C=37°；
(Ⅱ)在点C的正东方向选一点D，测得CD=8米，在点D处利用测角仪测得∠ADB=45°(点A，B，C，D在同一竖直平面内).
【问题解决】
(1)根据上面的测量数据，求出银杏古树AB的高度；(结果精确到1米，参考数据：sin 37°≈，cos 37°≈，tan 37°≈)
(2)如图③，已知在银杏古树的正西方向有一个垂直于水平地面的指路牌EF，请你借助EF，利用测角仪、皮尺，通过测量长度、角度等几何量，并利用所学知识求出银杏古树AB的高度，写出你的测量及求解过程.(要求：测量得到的长度用字母a，b，c，…表示，角度用α，β，γ，…表示)
第3题图
参考答案
类型1　仰角、俯角问题
1.解：由题意可得∠ACB=37°，
在Rt△ABC中，AC=，
在Rt△ADC中，AC=，
∴=，
即≈，
解得DC≈≈43，
答：该塔CD高约为43 m.
2.解：如解图，过点C作CG⊥AB于点G，
易得四边形CDBG为矩形，
∴CG=BD，BG=CD=1.4，
∵B是EF的中点，
∴BE=EF=2，
∴BD=DE＋BE=15，
∴CG=BD=15，
由题易得α=90°－52°=38°，
∴在Rt△ACG中，AG=CG tan38°≈15×0.78=11.7，
∴AB=AG＋BG=13.1，
答：雕塑的整体高度AB约为13.1 m.
第2题解图
3.解：如解图，过点O作OM⊥AB于点M，过点C作CN⊥OM于点N，易得BM=CN，
由题意，得OC=10×9.9=99(米)，OA=10×13=130(米)，
∵∠ONC=90°，∠CON=45°，∴BM=CN=OC sin 45°=(米)，
∵∠AMN=90°，∠AOM=37°，∴AM=AO sin 37°=130sin 37°，
∴AB=AM＋BM=130sin 37°＋(米)≈148(米)，
答：写字楼AB的高度约为148米.
第3题解图
4.解：如解图，过点A分别作AF⊥BD于点F，AG⊥CD于点G，易得CG=AE=1，
∵∠ABD=35°＋25°=60°，
∴∠BAF=90°－60°=30°，
∴∠DAF=180°－25°－30°－60°=65°，
∵在Rt△ABF中，AB=20，
∴AF=AB sin 60°=20×=10，
∵在Rt△ADF中，cos 65°==≈0.42，
∴AD≈=，
在Rt△ADG中，由sin 60°==，
得DG=AD≈×=≈35.71，
∴CD=DG＋CG≈35.71＋1=36.71≈36.7，
答：铁塔的高度CD约为36.7米.
第4题解图
类型2　“课题活动”综合与实践
1.解：如解图，过点O作OD⊥CA于点D，连接BB′并延长交OD于点E，
根据题意，得BC=B′C′=DE=0.5 m，
在Rt△BEO中，∵∠EBO=37°，
∴OB=，
在Rt△B′EO中，∵∠EB′O=53°，∴OB′=，
∵绳子收回的长度为4.5 m，
∴OB－OB′=－=4.5，
解得OE≈10.8，
∴OD=OE＋DE=10.8＋0.5≈11.
答：定滑轮O距地面的高度约为11 m.
第1题解图
2.解：选择第1个方案：
由题意得，DE=10，∠ECD=39.1°，∠ACB=54.6°，
在Rt△CDE中，tan∠ECD==≈0.81，
∴CD=≈≈12.35.
∵BD=24米，∴BC=BD－CD≈24－12.35=11.65，
在Rt△ABC中，tan∠ACB=≈1.41，
∴AB=BC tan∠ACB≈11.65×1.41≈16，
答：教学楼AB的高度约为16米.
一题多解法 选择第2个方案：
如解图，过点F作FH⊥AB于点H，
易得四边形HFGB为矩形，
由题意得，FG=6，∠HFB=39.1°，∠AFH=54.6°，
∴HB=FG=6，
在Rt△BHF中，tan∠HFB=，
∴HF=≈≈7.41，
在Rt△AHF中，tan∠AFH=，
∴AH=HF tan∠AFH≈7.41×1.41≈10.45，
∴AB=AH＋HB≈10.45＋6≈16.
答：教学楼AB的高度约为16米.
第2题解图
3.解：(1)∵∠ABD=90°，∠ADB=45°，
∴AB=BD.
设AB=x，则BD=AB=x，
∴BC=BD＋CD=x＋8，
∵∠C=37°，
∴在Rt△ABC中，tan C=≈，即≈，
解得x≈24，
答：银杏古树AB的高度约为24米；
(2)测量过程：
如解图，在指路牌的点E处用测角仪测得∠BEF=α，用皮尺测得EF=a，
在点F正西方向取一点P，使得A，E，P三点共线，用皮尺测得PF=b，
求解过程：
在Rt△EFB中，FB=EF tan α=a tan α，
∵AB⊥PB，EF⊥PB，∴AB∥EF，
∵A，E，P三点共线，∴△EPF∽△APB，
∴=，即=，
∴AB=a＋，
∴银杏古树AB的高度为(a＋)米.(答案不唯一，合理即可)
第3题解图
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

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