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专项小卷十三　反比例函数综合题
1.如图，一次函数y=ax＋1(a≠0)的图象分别交x轴、y轴于A，B两点，与反比例函数y=(x＞0)的图象交于点C(4，5).
　第1题图
(1)求一次函数y=ax＋1和反比例函数y=的解析式；
(2)P是反比例函数y=(x＞0)图象上的一点，当四边形OPBA的面积为2时，求点P的坐标.
2.如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OC所在的直线为x轴，OA所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，反比例函数y=(k≠0，x＞0)的图象分别与AB，BC交于点D(2，3)和点E，且D为AB的中点.
(1)求反比例函数的解析式和点E的坐标；
(2)若一次函数y=2x＋m与反比例函数y=(k≠0，x＞0)的图象相交于点F，当点F在反比例函数图象上点D，E之间的部分时(点F可以与点D，E重合)，求m的取值范围.
　第2题图
3.如图，将一副三角板放置在平面直角坐标系xOy中，含30°角的直角三角板的较长直角边的长度与含45°角的直角三角板的斜边的长度相等，点C是反比例函数y=(k≠0，x＞0)图象上一点，点B在y轴正半轴上，点E在x轴正半轴上，且OE=4.
(1)求反比例函数y=的解析式；
(2)求点D的坐标.
第3题图
4.(新考法 解题策略开放)在平面直角坐标系中，已知反比例函数y=(k为常数，k≠0)的图象经过A(2，2)，B(－3，2)，C(－1，－4)中的两点.
(1)求反比例函数的解析式，并在图中画出函数图象；
(2)结合以上信息，已知一次函数y=nx＋2n(n≠0)，任选下列一题求解.
①一次函数y=nx＋2n的图象与反比例函数的图象仅有一个交点，求一次函数的解析式；
②设一次函数y=nx＋2n的图象经过点A，并与反比例函数的图象交于另一点D，连接OA，OD，求△AOD的面积.
第4题图
5.如图，一次函数y=ax＋b(a≠0)的图象与反比例函数y=(k为常数，k≠0，x＞0)的图象交于点A(1，6)，B(6，m).
(1)求k的值及一次函数的解析式；
(2)将直线AB向下平移5个长度单位得到直线l，直线y=n分别交直线l，反比例函数的图象，直线AB于点C，D，E(点D在C，E中间)，若CD=DE，求n的值.
第5题图
6.如图，一次函数y=ax＋b(a≠0)的图象与反比例函数y=(k为常数，且k≠0，x＞0)的图象相交于A(2，m)，B(4，3)两点.
(1)求一次函数y=ax＋b和反比例函数y=的解析式；
(2)在y轴上是否存在一点C，使得AC＋BC的值为6？若存在，请求出C点坐标，若不存在，请说明理由.
第6题图
7.如图，一次函数y=ax－2的图象与反比例函数y=(k为常数，k≠0)的图象相交于A(3，1)，B两点.
(1)求一次函数y=ax－2和反比例函数y=的解析式；
(2)将线段AB沿着x轴向左平移m(m＞0)个单位长度，当线段AB的中点恰好落在反比例函数的图象上时，求m的值.
第7题图
8.如图，一次函数y=ax＋2(a＞0)的图象与x轴，y轴相交于点A，B，与反比例函数y=(x＞0)的图象相交于点C，点A，C关于点B对称，S△AOB=1.
(1)求反比例函数的解析式；
(2)点P在反比例函数y=(x＞0)的图象上，连接OC，OP，BP，若S△POB=2S△AOC，求点P的坐标.
第8题图
9.如图，一次函数y=－x＋5的图象与坐标轴交于A，B两点，与反比例函数y=(x＞0)的图象交于M(m，n＋1)，N(m＋1，n)两点.
(1)求k的值；
(2)若P为直线y=－x＋5下方的反比例函数图象上一点，过点P作PC∥OB，PD∥OA，分别交AB于点C，D，求BC AD的值.
第9题图
参考答案
1.解：(1)把点C(4，5)代入y=ax＋1中，得4a＋1=5，解得a=1，
∴一次函数的解析式为y=x＋1，
将点C(4，5)代入y=，解得k=20，
∴反比例函数的解析式为y=；
(2)∵一次函数的解析式是y=x＋1，
∴令y=0，解得x=－1，则点A的坐标是(－1，0)，
令x=0，解得y=1，则点B的坐标是(0，1)，
∴S△AOB=OA OB=×1×1=，
∵四边形OPBA的面积为2，
∴S△OBP=2－=，
设点P的横坐标是b，则×1×b=，解得b=3，
在y=中，当x=3时，y=，
∴点P的坐标是(3，).
2.解：(1)∵点D(2，3)在反比例函数y=(k≠0，x＞0)的图象上，
∴k=2×3=6，
∴反比例函数的解析式为y=，
∵四边形OABC是矩形，且D为AB的中点，
∴xB=4，
∵点E在BC边上，
∴xE=4，
∵点E是反比例函数图象上一点，
∴将x=4代入y=中得，y=，
∴点E的坐标为(4，)；
(2)由(1)得，D(2，3)，E(4，)，
当一次函数y=2x＋m的图象经过点D时，得3=2×2＋m，
解得m=－1；
当一次函数y=2x＋m的图象经过点E时，得=2×4＋m，
解得m=－，
∵一次函数y=2x＋m与反比例函数y=(k≠0，x＞0)的图象的交点F在反比例函数图象上点D，E之间的部分，且可以与点D，E重合，
∴m的取值范围为－≤m≤－1.
3.解：(1)∵OE=4，∠DOE=30°，∠ODE=90°，
∴OD=OE cos ∠DOE=6，
∵含30°角的直角三角板的较长直角边的长度与含45°角的直角三角板的斜边的长度相等，
∴OB=OD=6，
∵∠BOC=45°，
∴OC=OB cos∠BOC=3，
∴易得点C的坐标为(3，3)，
∴k=3×3=9，
∴反比例函数y=的解析式为y=；
(2)如解图，过点D作DF⊥x轴于点F，∴∠OFD=90°，
由(1)可得OD=6，
∵∠DOF=30°，
∴DF=OD=3，
∴OF=DF=3，
∴点D的坐标为(3，3).
第3题解图
4. 解：(1)∵反比例函数y=的图象经过A(2，2)，B(－3，2)，C(－1，－4)中的两点，且2×2=4，－3×2=－6，－1×(－4)=4，
∴点A(2，2)，C(－1，－4)在反比例函数图象上，
∴反比例函数的解析式为y=，
画出函数图象如解图；
第4题解图
(2)若选择①，
联立，整理得nx2＋2nx－4=0，
∵一次函数y=nx＋2n的图象与反比例函数的图象仅有一个交点，
∴(2n)2－4n (－4)=0，
解得n=－4(n=0已舍去)，
∴一次函数的解析式为y=－4x－8；
若选择②，
将点A(2，2)代入一次函数y=nx＋2n中，得n=，
∴一次函数的解析式为y=x＋1，
联立，
解得或，
∴D(－4，－1)，
在一次函数y=x＋1中，令x=0，得y=1，
∴一次函数y=x＋1的图象与y轴的交点坐标为(0，1)，
∴S△AOD=×1×2＋×1×4=3.
(答案不唯一，选择其中一个即可)
5. 解：(1)∵点A(1，6)，B(6，m)在反比例函数y=(k为常数，k≠0，x＞0)的图象上，
∴k=1×6=6，∴m==1，
将A(1，6)，B(6，1)分别代入y=ax＋b(a≠0)中，
得，解得.
∴一次函数的解析式为y=－x＋7；
(2)由题可知直线l的解析式为y=－x＋7－5=－x＋2，
∵直线y=n分别交直线l，反比例函数的图象，直线AB于点C，D，E，
∴C(2－n，n)，D(，n)，E(7－n，n)，
∴CD=－(2－n)=－2＋n，DE=7－n－.
∵CD=DE，
∴－2＋n=(7－n－)，解得n=2或n=3.
6. 解：(1)将点B(4，3)代入反比例函数y=中，得k=12，
∴反比例函数的解析式为y=，
将A(2，m)代入y=中，得m=6，
∴点A的坐标为(2，6)，
将点A(2，6)，B(4，3)分别代入一次函数y=ax＋b中，
得，解得.
∴一次函数的解析式为y=－x＋9；
(2)不存在，理由如下：如解图，作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B，
∵点A的坐标为(2，6)，
∴点A′的坐标为(－2，6)，
由“将军饮马模型”可知，AC＋BC≥A′B，
结合点A′和点B的坐标，
求得A′B==3，
∴AC＋BC的最小值为3，
∵3＞6，
∴AC＋BC的值不可能为6.
第6题解图
7. 解：(1)将点A(3，1)代入反比例函数y=中，得1=，解得k=3，
∴反比例函数的解析式为y=；
将点A(3，1)代入一次函数y=ax－2中，得1=3a－2，解得a=1，
∴一次函数的解析式为y=x－2；
(2)令x－2=，解得x=－1或x=3，
当x=－1时，y=－1－2=－3，
∴点B的坐标为(－1，－3)，
设线段AB的中点为M，
则平移前xM===1，yM===－1，
∴平移前点M的坐标为(1，－1).
∵线段AB沿着x轴向左平移，
∴平移后点M的纵坐标不变，
将y=－1代入反比例函数y=中，得－1=，解得x=－3，
∴平移后点M的横坐标为－3，
∴m=1－(－3)=4.
8.解：(1)把y=0代入y=ax＋2得，ax＋2=0，
解得x=－，即A(－，0)，
把x=0代入y=ax＋2得，y=2，∴B(0，2)，
∴OA=，OB=2.
∵S△AOB=1，
∴OA OB= 2=1，
∴a=2，
∴A(－1，0).
∵点A，C关于点B对称，∴C(1，4).
∵点C在反比例函数y=(x＞0)的图象上，∴k=4，
∴反比例函数的解析式为y=；
(2)S△AOC=OA yC=×1×4=2，
∴S△POB=2S△AOC=4，
∴OB xP=×2 xP=4，∴xP=4，
把x=4代入y=得，y=1，
∴点P的坐标为(4，1).
9. 解：(1)把M(m，n＋1)代入y=－x＋5，得m＋n=4，
∵M(m，n＋1)和N(m＋1，n)在反比例函数y=的图象上，
∴m(n＋1)=n(m＋1)，∴m=n=2，
∴k=m(n＋1)=6；
(2)如解图，延长CP交x轴于点E，延长DP交y轴于点F，过点D作DG⊥EA于点G，过点C作CH⊥BF于点H，
第9题解图
∴CH=PF=OE，DG=PE=OF.
∵直线AB的解析式为y=－x＋5，
∴A(5，0)，B(0，5)，∠OAB=∠BCH=45°，
∴△BHC和△DGA为等腰直角三角形，
∴BC=CH，AD=DG，
∴BC AD=CH DG=2PF PE.
∵点P在反比例函数y=的图象上，
∴PF PE=6，
∴BC AD=12.
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