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树德中学高 2024 级高二下期 4 月阶段性测试数学试题
一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的.
1. 已知等差数列 的首项 ,公差 ,第 项 ,则 ( )
A. 26 B. 25 C. 24 D. 23
2. 下列求导运算正确的是( )
A. B. C. D.
3. 已知正项数列 满足 ，则 的值为_____1 12625.0
A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027
4. 若直线 是曲线 的切线，则 ()
A. -3 B. 3 C. -1 D. 1
5. 已知函数 在 处取得最小值 1,则 ( )
A. B. C. D.
6. 已知 为双曲线 的右焦点,圆 上的动点 到双曲线渐近线的距离最小值为 ，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. 2 D.
7. 已知等比数列 的前 项和为 ,若 ,且 ,则 ( )
A. 20 B. 15 C. 10 D. 5
8. 设 ,则( )
A. B. C. D.
二、多选题: 本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分. 在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分,部分选对得部分分,有选错的得 0 分.
9. 设函数 ,则( )
A. 在 上单调递减 B. 时, 的值域为
C. 有三个零点 D. 曲线 关于点 对称
10. 已知等比数列 的前 项和为 ,且 ,则下列选项中,正确的有( )
A. B. 数列 是等差数列
C.
D.
11. 已知函数 ，定点 ，下列说法正确的是 ( )
A. 的极大值为
B. 方程 有三个解
C. 若不等式 恰好有两个整数解,则 的最小值为
D. 曲线 上任意一动点 ,以 为直径且与 轴相切的圆有 2 个
第 II 卷(非选择题)
三、填空题:本题共 3 个小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知数列 的首项 ,满足 ,则 _____.
13. 在平面直角坐标系中,已知抛物线 ,其焦点为 . 定点 ,动点 在抛物线上, 则 的最大值为_____.
14. 已知 ,且 ,则 的取值范围是_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13分)如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，侧棱 底面 是 的中点，作 交 于点 .
(1)(6 分)求证: 平面 ；
(2)(7 分)求平面 与平面 的夹角的正切值.
16. (15分)已知数列 的前 项和为 ，且 .
(1)(7分)求证数列 是等比数列,并求数列 的通项公式；
(2) 求数列 的前 项和 .
17. (15分)已知函数 .
(1)(7 分)若函数 在 处取得极大值,求实数 的值以及 的极值；
(2)(8分)已知 ，且不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
18. (17分)已知椭圆 的左顶点 ，上顶点 .
(1)(4 分)求椭圆 的方程.
(2)过点 的直线 交 于 两个不同的点(其中，点 在第二象限)，直线 分别交 轴于 两个不同的点， 点， 点分别在线段 上.
(i) (8 分) 证明: 的横坐标之和是定值;
(ii) (5 分) 已知当直线 的斜率为 时, 的面积为 . 求此时 与 的面积之和.
19. (17分)已知函数 ，其中 .
(1)(4 分)当 时，求 在点 处的切线方程；
(2)(6分)若函数 在定义域上单调，求实数 的取值范围；
(3)(7分)若 ，对任意的 恒成立，求 的最小值.
树德中学高 2024 级高二下期 4 月阶段性测试数学试题参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
B D C A C B D A AD BCD AC
12: 28 13: 14:
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤.
15. (13分)如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，侧棱 底面 ， 是 的中点,作 交 于点 .
(1)(6 分)求证: 平面 ；
(2)(7 分)求平面 与平面 的夹角的正切值；
(1) 底面 ,且 面 .
∵底面 是正方形, ,
又 面 面 ,
又 面
，且 ，
是等腰直角三角形,又 是斜边 的中线, ,
又 面 面 ,
面 ,
,又 面 平面 ;
(2)由(1)可知 ，
故 是平面 与平面 的夹角，
,在 中, ,
又 面 面 ，
在 Rt 中,
平面 与平面 的夹角的正切值为
16. (15 分)已知数列 的前 项和为 ，且 .
(1)(7 分)求证数列 是等比数列,并求数列 的通项公式:
(2)(8 分)求数列 的前 项和 .
( 1 )由数列 的前 项和为 ，且 ，
当 时，可得 ，解得 ；
当 时,可得 ,
整理得 ,设
即 ,
数列 是首项 ,公比为 2 的等比数列.
(2)由(1)知 ， ，
从而 ,
则 ,
两式相减,可得
.
17. (15分)已知函数 .
(1)(7分)若函数 在 处取得极大值,求 的值以及 的极值
(2)(8 分)已知 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
(1) ，定义域为 ，
则 ,
因为函数 在 处取得极大值,所以 ,
解得 或 2,当 时, ,
令 得 或 ,令 得 ,
故 在 上单调递增,在 上单调递减,此时 为极小值点,不合要求, 当 时, ,令 得 或 ,令 得 , 故 在 上单调递增,在 上单调递减,此时 为极大值点,满足要求,
综上, 有极大值 ,极小值 ,
(2) ，定义域为 ，
则 ,当 时, ,
令 得 ,令 得 ,
故 在 上单调递减,在 上单调递增,
则 ,
令 得, ,解得 ,故此时实数 的取值范围是 .
综上: 实数 的取值范围是
18. (17分)已知椭圆 的左顶点 ，上顶点 .
(1)(4 分)求椭圆 的方程
(2)过点 的直线 交 于 ， 两个不同的点(其中，点 在第二象限)，直线 ， 分别交 轴于 ， 两个不同的点， 点， 点分别在线段 ， 上.
(i) (8 分) 证明: , 的横坐标之和是定值
(ii) (5 分) 已知当直线 的斜率为 时, 的面积为 . 求此时 与 的面积之和.
(1)由椭圆 的左顶点 ，上顶点 ，得 ， ，
所以椭圆 的方程为
(2)(i)当过点 的直线斜率不存在时，直线与椭圆 只有 1 个交点，舍去，
设直线 的方程为 ,设 ,
由 ,消去 整理得 ,
所以 ,解得 ,
直线 的方程为
令 ,得 ,
同理可得 .
又因为 ,
. 所以
(ii) 由 (i) 知 为 的中点,得 ,
所以
所以 与 的面积之比为 . 所以当 的面积为 时,
与 这两个三角形的面积之和是为定值,为
19. (17分)已知函数 ，其中 .
(1)(4 分)当 时,求 在 处的切线方程；
(2)(6 分)若函数 在定义域上单调，求实数 的取值范围；
(3) (7 分) 若 ,对任意的 恒成立,求 的最小值.
(1) 当 时, ,函数定义域为
故 ,又 ,所以切线方程为 .
(2) 由题意得
若 在定义域上单调,经过分析,当 趋近于 0 时, 趋近于负无穷
所以只能单调递减,不能单调递增,所以只能 恒成立
即 恒成立,
令 ,当 时 ,当 时 所以 在 单调递减,在 单调递增,所以 ,所以 即
因此所求实数 的取值范围为 .
(3) 由 (2) 知
所以 在 单调递减,又 ,
所以必存在正数 ,使得 ,即 ,
由 (2) 知当 时, 即 ,当 时, 即 ,当 时, 即 ,
由上可知 在 单调递增,在 单调递减,所以 ,
所以 ,即
令 因为
当 时, 单调递减,当 时, 单调递增,
所以 ,所以 的最小值为 ,当且仅当 时成立

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