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2025级高一第二学期阶段性考试数学试卷
第 I 卷 选择题
一. 单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项 是符合题目要求的.
1. 若复数 满足 ，则 在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 在梯形 中， ，点 在对角线 上，且 ，则 ( )
A. B.
C. D.
3. 如图，一个水平放置的梯形由斜二测画法得到的直观图是面积为 的等腰梯形 ，则原梯形面积为( )
A. 2 B. C. 4 D.
4. 已知向量 ，则 在 上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5. 下列各图是正方体或正四面体, 分别是所在棱的中点,这四个点不共面的图形是 ( )
A.
B.
C.
D.
6. 如图，滨江公园内有一块三角形形状的草坪 ，经测量得 ， ,在保护草坪的同时,为了方便游人行走,现打算铺设一条小路 (其中,点 在边 上,点 在边 上),若 恰好将该草坪的面积平分，则 两点间的最小距离为( )m.
A. 40 B. C. 30 D.
如图所示, 将一个冰球放在一个带有盖子的正四面体的杯状容器中,此时盖子恰好能够盖上. 已知该杯状容器的深度为 ,则当冰球完全融化为水时的深度约为( )
参考数据:
A. 0.48h B. C. 0.67h D. 0.75h
8. 奔驰定理: 已知 是 内的一点，若 、 、 的面积分别记为 、 、 ,则 . “奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论, 这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的 logo 很相似, 故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知 是 的垂心，且 ，则 ( )
A. B. C. D.
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合 题目要求, 全部选对的得 6 分, 有选错得 0 分, 部分选对的得部分分.
9. 圆台的上、下底面半径分别为 1 和 2 , 它的侧面展开所得的扇环所对的圆心角为 ,则圆台的( )
A. 母线长为 2 B. 表面积为 C. 高为 D. 体积为
10. 若四面体 的三组对棱分别相等,即 ，则下列正确的是( )
A. 四面体 每组对棱相互垂直
B. 四面体 每个面的面积相等
C. 连接四面体 每组对棱中点的线段相互垂直平分
D. 从四面体 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于 且小于
11. 如图,已知等腰梯形 中, ,点 分别为线段 上的动点且 ,点 为线段 、 的中点，则以下结论正确的是( )
A.
B.
C. 若 为 的外心，则
D.
第II卷 非选择题
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知向量 . 若向量 满足 ，则 _____， _____.
13. 已知复数 是实系数一元二次方程的两个根，若 ，则 的最小值为_____.
14. 祖暅是我国南北朝时期的伟大科学家，他在实践的基础上提出了“幂势既同，则积不容异”， 意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积相等，则体积相等，这就是“祖暅原理”。现有一个空心铁质半球壳,外半径为 ,内半径为 (厚度均匀),放入水中后漂浮 (平面朝下). 已知浸入水中部分的深度为1cm，则浸入水中部分的体积为_____ .
四、解答题:本大题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题 13 分) 已知向量 满足 ， ， .
(1)求 与 的夹角的余弦值；
(2)求 .
16. (本小题 15 分) 已知向量 ,函数 .
(1)求 的单调递减区间；
(2)将函数 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ，再向右平移 个单位得到 的图象， 求 在 上的值域.
17. (本小题 15 分)上海花博会的成功举办离不开对展览区域的精心规划. 如图所示, 将展区中扇形空地 分隔成三部分建成花卉观赏区,分别种植玫瑰花、白玉兰和菊花. 知扇形的半径为 60 米, ,动点 在扇形 的弧上,点 在半径 上,且 .
(1)当 米时，求分隔栏 的长；
(2)综合考虑到成本和美观等原因，希望使白玉兰种植区的面积尽可能的大，求该种植区三角 的面积 的最大值.
18. (本小题17分)已知 内角 的对边为 ，点 是 的内心，若 ， .
(1)求角 ；
(2)延长 交 于点 ，若 ，求 的周长；
(3)求 的取值范围.
19. (本小题 17 分) 在平面直角坐标系 中,对于非零向量 ,定义这两个向量的“相离度”为 ,容易知道 平行的充要条件为 . (1)已知 ， ，求 ；
(2)①已知 ， 的夹角为 和 ， 的夹角为 ，证明: 的充分必要条件是
②在 中， 且 ，若 ，求 .
2025级高一第二学期阶段性考试数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B A C D D D C B ABC BC ABC
12. 13. 14.
15. (1) ,
,
,
;
( 2 )由( 1 )知 ，
,
;
16.(1)因为向量 ， ，函数 ，
所以
,
令 ,
解得 ,
所以 的单调递减区间为 .
(2)由(1)知 ，
函数 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ,再向右平移 个单位,
则 ,
当 时, ,
则 .
所以 在 的值域为 .
17. (1)因为 ，所以 ，
在 中, ,
由余弦定理得 ,
即 ,解得 或 (舍去), 所以 的长为 米;
(2)因为 ,
设 ,则 ,
在 中,由正弦定理得 ,
所有 ,
则
当 时, .
当 ,即 时, 面积取得最大值,最大值为 平方米.
18.(1)因为 ，所以根据正弦定理得 ， 化简得 .
因为 ,所以 .
所以 ,因为 ,所以 .
(2)
如图,点 是 的内心,则 平分角 ,则 .
因为 ,
所以 ,
化简得: ①.
根据余弦定理得 ②,
①②联立方程组解得: .
解得 ,又 ,所以 .
所以 的周长为 .
(3)设三角形 内切圆半径为 .
因为 .
所以 ,解得 .
因为 ,所以 .
根据余弦定理得:
,(或者由 (2) ②得)
即 ,故
又 ,且 ,解得 ,
当且仅当 时,等号成立.
故 ,
综上, 的取值范围为 .
19. (1) .
(2)①因为
且 ,则 ,
所以 .
若 ,等价于 ,即 ,
所以 的充分必要条件是 ;
②因 ，
则 ,
可得 ,
即 ,可得 ,
又因为 ,可知点 为 的重心,则 ,
可得 ,
则 ,
可得 ,
所以 .

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