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太原市2026年高三年级模拟考试(一) 数 学
(考试时间:下午 15:00-17:00)
注意事项:
1．本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分，第 I 卷 1 至 4 页，第 II 卷5 至 8 页.
2. 回答第 I 卷前，考生务必将自己的姓名、考试编号填写在答题卡上.
3. 回答第 I 卷时, 选出每小题答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号,写在本试卷上无效.
4. 回答第 II 卷时, 将答案写在答题卡相应位置上,写在本试卷上无效.
5. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
第 I 卷 (选择题 共58 分)
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.
1. 已知集合 ,则
A. B.
C. D.
2.
A. B.
C. D.
3. 已知 ,若 ,则实数
A. -4 B. -2
C. 1 D. 6
4. 已知 ,则
A. -3 B. -1
C. D.
5. 在 的展开式中,含 的项的系数为
A. -40 B. 40
C. -80 D. 80
6. 已知圆锥的底面半径为 2,高为 . 点 是该圆锥某条母线的中点,若一质点从点 出发，绕着该圆锥的侧面运动一圈后又回到点 ，则该质点运动的最短路径长为
A. B.
C. D. 6
7. 已知函数 的定义域为 ,若函数 的图象关于点 对称,且当 时, 是函数 的导函数 成立. 设 , ,则下列结论正确的是
A. B.
C. D.
8. 蒙日是法国著名的数学家,他首先发现椭圆 的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆,这个圆被称为 “蒙日圆”,其方程为 ,它具有以下性质: 以椭圆 上任意两点的线段为直径的圆内含或内切于该蒙日圆. 已知点 是椭圆 上任意两点,动点 在直线 上. 若 恒成立, 则椭圆 离心率的取值范围为
A. B.
C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题 目要求的. 全部选对的得6分, 部分选对的得部分分, 有选错的得0 分.
9. 某校高一年级A班学生体检，通过简单随机抽样从该班抽取 10 名男学生，测得其体重 (单位: )如下:58,64,63,57,61,55,62,61,59,60,则下列结论正确的是
A. 这组数据的中位数为 60
B. 这组数据的平均数为 60
C. 这组数据的第 75 百分位数为 62
D. 这组数据的方差为 7
10. 已知数列 的前 项积为 ,且 ,设 数列 的前 项和为 ,则下列说法正确的是
A. B. 是递增数列
C. D. 是等差数列
11. 一个棱长为 2 的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内有两个半径分别为 的铁球,记其表面积分别为 ,则下列结论正确的是
A. 当 时, 的最大值为
B. 当 取最大值时, 的最大值为
C. 的最大值为
D. 的最大值为
第 II 卷 (非选择题 共92分)
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12. 函数 在点 处的切线方程为_____.
13. 已知抛物线 经过点 ，其焦点为 ，点 是直线 与抛物线 的另一个交点，则 _____.
14. 设 次多项式 , 且 . 若其满足 ,则称 为切比雪夫多项式. 例如,由 , 可得切比雪夫多项式 ; 由 ,可得切比雪夫多项式 . 已知函数 在区间 上有 3 个不同的零点,分别记为 ,则
四、解答题:本大题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题 13 分)
在 中，内角 的对边分别为 ， 的面积为 ，且
(1)求C；
(2)过点 作 ，使得四边形 满足 ，求 .
16.(本小题 15 分)
如图四棱锥 中，底面 是菱形， 是 的中点, 是 的中点.
(1)证明: 平面 ；
(2)若 ，求平面 与平面 夹角的余弦值.
17. (本小题 15 分)
兵乓球发球有速度、旋转和落点三个关键要素.一次发球,这三个要素都达标,称为“优质球”; 恰有其中两个要素达标, 称为 “有效球”; 其它情形称为 “一般球”. 假设小明发球时, 这三个要素均相互独立,每个要素达标的概率均为 ,且每次发球的结果也相互独立. 在某次比赛中, 当小明发出“优质球”、“有效球”、“一般球”时,此次发球他赢球的概率分别为 ; 当对方发球时,他赢球的概率为 . 兵乓球比赛规定,一次发球,赢球方得 1 分,输球方得 0 分.
(1)小明发一次球,求他得分 的分布列和数学期望;
(2)当前比分为 10:10, 双方轮换发球, 每轮每人发 1 个球, 小明首先发球. 当得分相差 2分时,得分高的一方获胜. 求此局比赛小明以 14:12 获胜的概率.
18. (本小题17分)
如图，已知双曲线 经过点 ，其离心率为 ，点 ， 分别为 的左、右焦点,直线 分别是 的渐近线,点 是 上的动点,点 与点 关于原点 对称.
(1)求双曲线 的方程；
(2)若直线 ，求证:四边形 的面积为定值，并求出此定值;
(3) 设 是四边形 内部 (不含边界) 的点,记 ,其中 ,求证: .
19. (本小题 17 分)
已知函数 .
(1)若 ，求证: ；
(2)设数列 的通项公式 是其前 项和，求证: ；
(3)设等差数列 的公差 ， 是其前 项和，且 ，求 .
太原市 2026 年高三年级模拟考试(一) 数学试题参考答案及评分建议
一. 选择题: BDC A B C A A
二. 选择题: 9. BCD 10. ACD 11. ABD
三. 填空题: 12. 13. 14.
四. 解答题:
15. 解: (1) 2 分由正弦定理可得 , 6 分 . 7 分
(2)由(1)得 ， 8 分
在 中,由余弦定理得 , 9 分
. 13 分
16. 解:(1)设 是 的中点，连接 ，
四边形 是菱形， ， ，
是 的中点， ， ，
是 的中点, , 4 分
四边形 CFEG 是平行四边形, , 5 分
平面 平面 平面 . 6 分
(2)设 是 的中点，连接 ， ， ，
是等边三角形, ,
底面 是菱形, 是等边三角形, , , 9 分
以 为坐标原点, 所在直线分别为 轴、 轴、 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则 ,
设 是平面 的一个法向量,
则
取 ，则 ， ， 11 分设 是平面 的一个法向量,
第1页，共4页
则 取 ,则 , 13 分 ,
平面 与平面 夹角的余弦值为 . 15 分
17. 解:(1)设“小明发一次球，他发出“优质球”、“有效球”、“一般球””分别为事件 ,则 ,
3 分
由题意得 的所有取值为 0,1, , 5 分
. 8 分
(2)由题意得可知双方还需打 6 个球，且最后两球都是小明得分. 设 “双方打 6 个球， 小明第 个球得分”, ，则所求事件为
10 分
由(1)及题意可得 ,
所求事件的概率为 . 15 分
18. 解:(1)由题意得 得 4 分
( 2 )连接 ，由对称性可知四边形 的面积等于 面积的 4 倍,设 ,则 , 由题意得直线 的方程为 ,直线 的方程为 ,
直线 的方程为 ,
直线 的方程为 , 由 得 , 6 分
点 到直线 的距离 , 7 分
面积 , 面积 ,
四边形 的面积为 . 11 分
(3)设直线 交双曲线 的左支于点 ，连接 ， ，
, 13 分设直线 交双曲线 的右支于点 ,连接 ,
同理可得 , 15 分
. 17 分
19. 解: (1) 由题意得 , , 3 分 . 5 分
(2) , 6 分
,
, 9 分
. 10 分
(3)由题意得 , 11 分 , 12 分
同理可得 , 13 分
,
14 分
令 ,
则 ,
在 上单调递增, 在 上有唯一零点 , . 17 分
注: 以上各题其它解法请酌情赋分.
第4页，共4页

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