资源简介

2025 学年第二学期期中杭州地区(含周边)重点中学
高一年级数学学科试题
考生须知:
1. 本卷满分 150 分, 考试时间 120 分钟;
2. 答题前，在答题卷密封区内填写班级、考试号和姓名；
3. 所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；
4. 考试结束后，只需上交答题卷。
第 I 卷
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的.
1. 已知复数 满足 ，则 在复平面内对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知全集 ，集合 ，则
A. B. C. D.
3. 已知向量 ，则 在 上的投影向量为
A. B. C. D.
4. 在 中,角 所对的边长分别为 . 若 ,则这样的三角形解的个数为
A. 0 B. 1 C. 2 D. 不确定
5. 已知 ,则 的值为
A. B. 2
C. D. 3
6. 矩形 中,点 是边 上靠近点 的三等分点,点 是边 的中点,连接 分别与 交于 两点. 若 ，则 的值为
A. B. C. D.
7. 设直角三角形的两直角边长为 ，斜边长为 . 记该三角形绕边长为 的边旋转所得的几何体体积为 ,则 满足的关系为
A. B.
C. D.
8. 定义域为 的函数 满足: 对任意的 都有 ,当 . 若关于 的不等式 恒成立，则正实数 的取值范围为
A. B. C. D.
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 关于空间中直线与平面的位置关系, 下列命题正确的是
A. 若直线 与平面 平行，则 与平面 内的任意一条直线都平行
B. 若直线 不平行于平面 且 ,则平面 内不存在与 平行的直线
C. 若两条平行直线中的一条与一个平面平行, 则另一条也与这个平面平行
D. 若直线 与平面 平行,则 与平面 内的任意一条直线都没有公共点
10. 在 中,角 所对的边长分别为 分别为边 的高. 若 , ,则下列说法正确的是
A. B. 的最大值为
C. 的值可取 D. 内切圆半径的值可取
11. 已知函数 ,则
A. 当 时,函数 的最小正周期为
B. 当 时,函数 的图象关于 对称
C. 当 时,函数 的最小值为
D. 当 时,函数 图象不是中心对称图形
第 II卷
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知平面向量 满足 ， 与 的夹角为 ，则 的值为_____▲_____.
13. 电视剧《太平年》再现了吴越国王钱弘俶“纳土归宋”的历史. 杭州宝石山上的保俶塔，正是百姓为祈愿其平安而建的. 为了测量这座历史古塔的高度 ( 为塔顶， 为塔底)，测量人员在山脚平地上选取了两个观测点 和 ,使得 三点共线,在点 处测得塔顶 的仰角为 , 在点 处测得塔顶 的仰角为 ，若测得两点间距离 为 33 米，则通过计算预估保俶塔的高度 为_____▲_____米.
第 14 题图
14. 已知正方体 的棱长为 3,点 在棱 上, ,点 在棱 上(点 异于 两点)，若平面 截正方体 所得的截面为五边形,则线段 长的取值范围为_____▲_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本题满分 13 分)已知关于 的一元二次方程 ( ) 的两个根为 ，且 是一对共轭复数.
(1)若 (i是虚数单位)，求实数 的值；
(2)若 ，求 的值.
16. (本题满分 15 分) 已知函数 的部分图象如图所示.
(1)求函数 的解析式；
(2)将函数 的图象向右平移 个单位，得到函数 的图像. 记 ,求 在 上的值域.
第 16 题图
17. (本题满分 15 分) 在 中,角 的对边分别为 . 已知 , 点 是 内部一点且满足 ， 平分 .
第 17 题图
(1)求 的值；
(2)求 的面积；
(3)求 的值.
18.(本题满分17分)已知函数 .
(1)求函数 在区间 上的值域；
(2)求证: ;
(3)若不等式 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围.
19. (本题满分 17 分) 在平面直角坐标系中,对任意平面向量 ,把 绕其起点逆时针方向旋转 角得到向量 ，则称点 为关于 的“ 旋转点”. 已知 为原点， ， ， ，点 为关于 的“ 旋转点”，点 为关于 的“ 旋转点”，点 为关于 的“ 旋转点”.
(1)若 ，求点 及点 的坐标；
(2)当 时，求 的范围；
(3)证明:对任意 ，存在唯一 ，使得 共线.
2025 学年第二学期期中杭州地区(含周边)重点中学 高一年级数学学科参考答案
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1 2 3 4 5 6 7 8
A B B C B D D C
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 , 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. BD 10. ABD 11. BCD
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12.
13. 14.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(本题满分 13 分)
(1)法一:由 是 的一个根，可得
整理得 ,则
所以 .6 分
法二: 由 是 的一个根,可知 也是 的一个根韦达定理可得:
.6 分
(2)设
由 ,得 又因为 ,得
所以
.13 分
16.(本题满分 15 分)
(1)由图可得 ， ， ，
,则 ,
又 ，解得 ，
; .7 分
(2)
,则当 时, 取得最小值为 ,
当 时, 取得最大值为 的取值范围为 . .15 分
17. (本题满分 15 分)
(1)由正弦定理，得 . 4 分
(2)由题意知， ，所以 在 中, ,
法一: 由余弦定理 ,可得
在 Rt 的面积 . 10 分
法二: 由正弦定理 ,
得 10 分
(3)记 ，
所以 . .15 分
18.(本题满分 17 分)
(1) 在 单调递减，值域为 . 4 分
(2)证明:右边 左边所以 8 分
(3) ，函数 是奇函数由 (2) 可知不等式 转化为 令 ; 不等式转化为
整理得 恒成立
令 ,
在 单调递减,可得 .
所以 ,即实数 的取值范围为 . 17 分
19. (本题满分 17 分)
(1)当 时， ， ， ， 点 的坐标为 . 4 分
(2) ，设
根据向量旋转公式可得
因为 ,所以 .11 分
(3) 共线等价于
根据向量旋转公式
则 ,
故 ,
考虑 ,
即 ,
即 ,
故对任意 ,存在唯一 ,使得 共线. .17 分

展开更多......

收起↑