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2025 学年第二学期丽水发展共同体期中联考 高二年级数学学科 试题
考生须知:
1. 本卷共 4 页满分 150 分, 考试时间 120 分钟。
2. 答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3. 所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。
4. 考试结束后，只需上交答题纸。
选择题部分
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是 符合题目要求的.
1、抛掷一枚均匀硬币两次，能作为随机变量的是( )
A. 抛掷硬币的次数 B. 出现正面的次数
C. 出现正面或反面的次数 D. 出现正面和反面的次数之和
2、某校高一新生中的四名同学打算参加“文学社”、“街舞社”、“美术社”三个社团. 若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，则不同的参加方法的种数为( )
A. 18 B. 36 C. 48 D. 72
3、 的展开式中 的系数是( )
A. 20 B. 5 C. -5 D. -20
4、已知曲线 在点 处的切线与直线 平行，则 的值为( )
A. 3 B. C. D.
5、设 是首项为 ，公差为 -2 的等差数列， 为其前 项和，若 成等比数列，则 ( )
A. -1 B. 1 C. 2 D.-2
6、甲箱中有 2 个红球和 2 个黑球, 乙箱中有 1 个红球和 3 个黑球. 先从甲箱中等可能地取出 2 个球放入乙箱，再从乙箱中等可能地取出 1 个球，记事件 “从甲箱中取出的球恰有 i 个红球” 为 从乙箱中取出的球是黑球”为 ，则()
A. B. C. D.
7、已知 是不相等的实数,且 ,随机变量 的分布列为
C
则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
8、设 ,函数 ,若函数 恰有 3 个零点,则( )
A. B.
C. D.
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有多项是符合题目要 求的.全部选对得 6 分, 部分选对得部分分, 有选错得 0 分.
9、已知数列 满足 ，则下列结论正确的有( )
A. 数列 是等差数列 B. 数列 是等比数列
C. 的通项公式为 D. 数列 是递增数列
10、下列命题中，正确的是( )
A. 已知随机变量 的分布列为 ,则
B. 若随机变量 且 ,则
C. 在含有 3 件次品的 9 件产品中,任取 3 件, 表示取到的次品数,则
D. 用 表示 次独立重复试验中事件 发生的次数， 为每次试验中事件 发生的概率，若 . 则
11、已知函数 在 处取得极 值， 的导函数为 ，则()
A.
B.
C. 当 时,
D. 当 且 时,
三、填空题:本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12、已知函数 的导函数为 ，且 ，则 _____.
13、已知数列 的前 项和为 ，且 ，则
_____.
14、袋中装有大小相同的五个小球,其编号分别为1,2,3,4,5. 每次从袋中随机摸出一个小球,记下编号后放回袋中,搅拌均匀再进行摸取,设第 次摸取小球的编号为 ,
则在 中: 圆的个数 的方差为_____.
非选择题部分
四、解答题:本大题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤。
15、记 为数列 的前 项和,已知 .
(1)求 的通项公式；
(2)设 ， 为数列 的前 项和，证明: .
16、已知函数 .
(1)若 ，求函数 的单调区间和极值；
(2)若对所有的 ，都有 成立，求实数 的取值范围.
17. 如图在三棱锥 中，平面 平面 ， ， ，点 ， 分别为 ， 的中点， 为线段 上的动点.
(1)求证: ；
(2)若 平面 ，求直线 与平面 所成角的正切值.
18. 甲、乙、丙三个人组团参加某闯关游戏，规定闯关时每次只能派一人上场，且每人最多只能上场一次, 若前一个人在规定时间内不能完成闯关, 则再派下一个人继续闯关, 直至有人闯关成功或三人均闯关失败则游戏结束. 现已知甲、乙、丙三人各自在规定时间内能完成闯关的概率分别 , ,且 ,假定各人能否完成任务的事件相互独立.
( I ) 若 ,求这三人闯关成功概率,并回答闯关成功的概率与三个人被派出的先后顺序是否有关
(II)设游戏结束时所需要派出人员数目为 ，求 的分布列和期望 的最小值.
19. 已知椭圆 经过点 ，右焦点 .
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线 与椭圆交于不同的 两点，直线 的斜率之积为
(i) 求坐标原点 到直线 的距离的取值范围;
(ii)设 的中点为 ，点 满足 ，过 作 轴，过 作 轴，直线 与直线 交于点 ,求 的最小值.
2025 学年第二学期丽水发展共同体期中联考 高二年级数学学科参考答案
命题学校:松阳县第一中学 审题学校:龙泉中学 庆元中学
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B B C D A D C C AC ABD BCD
12. -1
13. 75
14.
15.(1) 求数列 的通项公式
解: 已知 ,且 ①。
当 时,代入得 ,整理得 。
由 ,得 。 1 分
当 时,有 ②。
①-②得:
因式分解并化简: -4 分因此, 是以 2 为首项、 2 为公差的等差数列,通项公式为:
-6 分
(2) . -8 分
-11 分
单调递增,所以 分
所以 . -13 分
16. 【答案】解:(1)若 ,则 ,
则 ，_____2分
令 ,可得 或 ; 令 ,可得 ,
所以该函数的单调递增区间为 和 ,单调递减区间为
当 时取得极大值 -1,当 时取得极小值 分 (极值各 1 分)
(2)因为对所有 ，有 成立，
即对所有 , ,
因为 ,所以 ,有 , 分
设 ,其中 ,则 , -12 分
因为 ,所以 ,
当 ,即 时, ,
当 ,即 时, ,
因此 在 上单调递增,在 上单调递减,
所以 ， ———— 14 分
所以 ,
故 的取值范围为 -15 分
17 (1) 证明: : 面 面 面 面
又 ,且 面 面
又 面 ,
_____5 分
(2)解:以 为坐标原点， ， 所在直线分别为 轴， 轴如图示，
设
则 -7 分
,设
设平面 SED 法向量为
则 . -10 分
AM//面 SED . -11 分
设 与面 所成角为
-13 分
分
18、【解析】( I ) 因为无论以怎样的顺序派出人员，闯关不能成功的概率都是 ， 所以闯关成功的概率与三个人被派出的先后顺序无关，
-5 分
( II ) 设依次派出的三个人各自完成任务的概率分别是 ,其中 是对于 的任意排列,随机变量 的分布为
1 2 3
分
根据常理, 优先派出完成任务概率大的人, 可减少所需派出的人员数目的均值.
即
下面证明: . (*)
即 成立. -17 分
19.【解析】(1) 由题意可得 ,又 ,解得 , 故椭圆 的标准方程为 -5 分
(2)(i)当直线 的斜率不存在时，设直线 的方程为
由 得
————-7 5.
当直线 的斜率存在时,设直线 的方程为
由 ,得
且
,化简得 -9 分
且 且 且
(或 ),
由 且 (或由 且 )，
得 -11 分
综上所述原点 到直线 的距离的取值范围为 . -12 分
(ii) 由 (i) 得 ,
且 ，_____13分 , -15 分
点 在以原点为圆心,以 为半径的圆上
的最小值为 -17 分

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