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高二数学试题
一、单项选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题所给的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.)
1. 已知函数 满足 ，则 ( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
2. 已知函数 ，则 ( )
A. -3 B. 13 C. 3 D. -8
3. 计算 除以 7 所得的余数为( )
A. 1 B. 2 C. 4 D. 6
4. 已知函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
5. 浕水漾波映华灯，元宵欢歌满帝乡. 某市元宵无人机灯光秀在浕水法治广场震撼启幕，1200 架无人机以天为幕、以光为笔, 为市民与游客献上一场兼具科技感、文化味与烟火气的视觉盛宴，让元宵之夜焕发出别样光彩. 已知其中一幅无人机表演图片展示的是其名片之一——皇桃. 现用 4 种颜色对如图所示四个部分进行染色，要求每个区域用一种颜色，相邻区域染不同的颜色， 所有颜色均用完，则一共有多少种不同的染色方法( )
A. 24 B. 256 C. 48 D. 64
6. 已知点 是平面 内一点，平面 的一个法向量为 ，则点 到平面 的距离为( )
A. B. C. D.
7. 设椭圆 与双曲线 的离心率分别为 ,双曲线一条渐近线的倾斜角为 ,当 时,则 的取值范围是( )
A. B. c. D.
8. 已知当 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题(本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题所给的选项中，有多项是符合 题目要求的，全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分.)
9. 下列说法中正确的是( )
A. 5 名工人各自在 3 天中选择一天休息，不同方法种数是 5 分
B. 甲、乙、丙、丁 4 支足球队举行单循环比赛, 冠、亚军的可能性一共有 12 种 C. 的展开式的常数项为
D.
10. 已知数列 的首项 ,且满足 ,下列说法正确的是( )
A. B. 数列 为等差数列
C. 数列 是递增数列 D. 数列 的前 项积为 ,则
11. 已知函数 ( 为常数),则下列结论正确的有( )
A. 若 恒成立,则
B. 若 有 3 个零点,则 的范围为
C. 时, 是 的极值点
D. 时, 有唯一零点 且
三、填空题(本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.)
12. 展开式中含 项的系数是_____(用数字作答).
13. 若直线既是曲线 在 处的切线，也是曲线 的切线，则实数 _____.
14. 已知 为实数， ，若 对 恒成立，则 的最小值为_____.
四、解答题(本题共 5 小题，共 77 分. 解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)
15. (13 分) 已知 ,其展开式中的第 2,3,4 项的二项式系数依次成等差数列.
(1)求展开式中奇次项的系数的和；
(2)若 ,求 .
16. (15分)已知数列 满足: ；数列 的前 项和 .
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
17. (15分)如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， ， ， 是 的中点.
(1)求证: 平面 ；
(2)过点 作棱 的垂线，垂足为 ，求平面 与平面 所成角的余弦值.
18. (17分)已知椭圆 经过点 ，且椭圆的两个焦点坐标分别为 ， .
(1)求出椭圆 的标准方程；
(2)若 、 是椭圆上异于 的点，直线 、 以及 轴围成一个以 为顶点的等腰三角形.
① 求证:直线 的斜率为定值；
② 求弦长 的取值范围.
19. (17 分) 已知函数 .
(1)当 时，求函数 的极值；
(2)讨论函数 的单调性；
(3)若 ，当 恒成立时，求 的取值范围.
高二数学答案
一、单项选择题(本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分.)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B C B A C B D
二、多项选择题(本大题共 3 个小题，每小题 6 分，共 18 分.)
9、BC 10、ABD 11、ABD
三、填空题(本大题共 3 小题，每题 5 分，满分 15 分.)
12. 135 13. 2
15. 解: (1) 由题意可知第2,3,4项的二项式系数依次为 , .1 分所以 ,即 , 2 分
化简得 ,因为 ,解得 , 3 分
设
令 ,得 ,①. .5 分
令 ,得 ,②. .6 分
.7 分
(2)
.9 分
又因为
所以 , .11 分
所以
所以 .13 分
16. 解: (1) 因为 ,所以
因为 ,所以数列 是以 2 为首项,2 为公比的等比数列
所以 ,所以 .3 分
当 时, .5 分
当 时, .6 分
所以 .7 分
(2)由(1)可得: .8 分
①. .9 分
② .10 分
①-②可得:
.12 分
所以 .15 分
17. 证明:(1)连接 交于点 ,
四边形 为正方形
平面 平面
所以 平面
.3 分
.5 分
平面
平面 .6 分
(2)解法一: 平面
以 为坐标原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立如图所示空间直角坐标系
则 分
,所以
又因为 平面
所以 平面 . 所以取平面 的一个法向量为 .11 分
,设平面 的一个法向量为 则有
,即 ,
取 可得 分
设平面 和平面 的夹角为 ,则有
所以平面 和平面 的夹角的余弦值为 ....15 分
解法二: 因为 平面 ,所以
因为 是正方形，所以 ，因为 ， 、 平面
所以 平面 ,所以 ,所以
所以 ,所以 .9 分
因为 ,所以 ,从而
所以
在 中 所以 ,即 , .12 分所以 即为两平面夹角
所以平面 和平面 的夹角的余弦值为 . .15 分
18. 解: (1) 由椭圆定义可得 . 2 分
因为 ,所以 由题 ,所以 , .4 分所以椭圆的标准方程为: .5 分
(2)①由题可得 ，从而直线 的斜率必定存在设 ,直线 的方程为:
联立 ,可得 . .6 分
,可得
.8 分
.9 分
即
整理可得: , .11 分
即 12 分
又因为直线 不过点 ,所以 ,所以 即 分
②由①可知 分
.15 分
因为 ,所以 ,因此 的取值范围是 .17 分
19. 解: (1) 当 时, ,定义域: .1 分
.2 分
当 时, ,此时 在区间 上单调递减
当 时, ,此时 在区间 上单调递增 4 分
所以函数有极小值 ,无极大值. .5 分
(2) 的定义域:(0,+∞)
.6 分
① 当 时， 解得:
时, 在区间 上单调递减
时, 在区间 上单调递增 .7 分
②当 时， 恒成立， 在区间 上单调递增 8 分
③ 当 时， 解得: 或 ，此时
时, 在区间 上单调递增
时, 在区间 上单调递减
时, 在区间 上单调递增. 10 分
④ 当 时，
时, 在区间 上单调递增
时, 在区间 上单调递减
时, 在区间 上单调递增 .12 分
(3) 等价于 ，即 恒成立
解法一: 因为 ,所以 时恒成立. 13 分
令 时, 在 上单调递增,
时, 在 上单调递减
又因为 ,当 时, ,所以
所以 恒成立转化为 恒成立
分离参数得 , .15 分
令 ,当 时, 在 上单调递减所以 ,
所以 . .17 分
解法二: 令
时恒成立即为 恒成立
.13 分
当 时,在 时, 在 上单调递减,
在 时, 在 上单调递增
,解得 . .15 分
当 时, 恒成立,与 恒成立矛盾. 16 分
综上所述: 的取值范围是 . .17 分

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