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2026 届普通高中高三总复习质量监测 数学试卷
注意事项:
1. 答卷前,考生务必将自己的姓名、考号及座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时,选出每小题答案后,用 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符 合题目要求的.
1. 已知集合 ,则
A. B. C. D.
2. 已知复数 的共轭复数为 ,则
A. 1 B. C. D. 2
3. 已知 ,则
A. B. C. D.
4. 已知向量 ，且 ，则 在 上的投影向量为
A. B. C. D.
5. 先将函数 的最小正周期变为原来的 3 倍,再把所得函数的图象向右平移 个单位长度,得到函数 的图象,则 的值分别为
A. B. C. D.
6. 过抛物线 的焦点 ，作直线与 交于 ， 两点，若点 的横坐标为 4，则
A. 5 B. C. D.
7. 在 中,内角 的对边分别为 ,若 ,且 , ,则 的面积为
A. B. C. D. 3
8. 已知函数 的四个零点 恰好成递增的等差数列,则 的值为
A. B.
C. D.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知一组数据 的平均数、方差、第 75 百分位数、极差分别是 , ,对该组数据作线性处理 得到另一组数据 , ，记该组数据的平均数、方差、第 75 百分位数、极差分别是 ，则
A. B. C. D.
10. 已知动圆 的圆心在曲线 上运动,则下列结论正确的是 A. 若圆 经过原点 ，则实数 存在两个不同的值符合题意
B. 若圆 被直线 平分,则圆心的坐标为
C. 存在 ,使得圆 截两坐标轴所得的弦长相等
D. 圆 上的点到直线 的距离的最小值为
11. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,左、右顶点分别为 ,过点 的直线 与 的左、右两支分别交于 两点 在第一象限内 为原点,若 ,点 到两条渐近线的距离之积为 ,则
A. 的渐近线方程为 B. 的离心率为 2
C. 面积的最小值为 D. 直线 的倾斜角之和为
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 二项式 的展开式中 项的系数为_____.
13. 已知点 ,动点 满足 ,记点 的轨迹为曲线 ,若动直线 与曲线 相切,并与圆 相交于 两点,则 的最小值为_____.
14. 如图，在长方体 中， 为 的中点，过点 作平面 与平面 平行，则平面 与底面 的交线 的长度为_____； 若 为 上的动点,则动直线 与 的夹角的正切值的取值范围是_____. (第一空2分, 第二空3分)
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分 13 分)
已知椭圆 的左、右焦点分别为 ,离心率为 .
(1)求 的标准方程；
(2)过点 的直线与 相交于 ， 两点，若 的面积为 2，求直线 的方程.
16.(本小题满分 15 分)
某学习小组收集到了类似于数列的“向量列”: 满足 ,且 , .
(1)求 的值,判断数列 是否为等比数列. 若是， 请加以证明; 若不是, 请说明理由.
(2)求数列 的前 项和 .
17. (本小题满分 15 分)
先后掷一个质地均匀的骰子 3 次，得到向上的点数依次为 ，记随机变量 .
(1)写出 ξ 取值的集合；
(2)比较 取最小值和最大值时的概率值的大小；
(3)已知 ，求 取得最大值的概率.
18. (本小题满分 17 分)
如图，在正方体 中， 为其外接球的球心， ，将棱 延长到点 ,使得 ,连接 为 上靠近 的三等分点.
(1)求证: 平面 .
(2)(i)求平面 与球 的截面的面积；
(ii)若点 是 与球面 的交点，求平面 与平面 夹角的余弦值.
19. (本小题满分 17 分)
已知函数 的反函数为 .
(1)在点 处作曲线 的切线,求切线的方程.
(2)已知 个大于 2 的实数 ，对任意 ，都存在 使得 ,且 . 若 ,求正整数 的最小值.
(3)若函数 有两个极值点 ，且 ，求实数 的取值范围.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B B C A A D C A ACD ABD ACD
1.B由题可知 ,所以 ,故选 B.
2. B由题可知 ,则 . 所以 . 故选 B.
3. C易知 ,事实上当 时,恒有 , 则 ,故选 C.
4. A向量 在 上的投影向量为 . 故选 A.
5. A函数 的周期变为原来的 3 倍,即 . 将函数 的图象向右平移 个单位长度. 则 ,因此 . 解得 3. . 故选 A.
6. 由题可知 的焦点 ,准线是 ,设直线 . 易得 ,代入直线 得 ,联立 得 ,则 ,故选 D.
7. C由正弦定理可知 ,则 ,即 ,由正弦定理得 ,由余弦定理得 . 即 . 又 . . 所以 . 所以 的面积为 ,故选 C.
8. 如图，在偶函数 的图象中，零点 且 ,所以 ,又 . 得 . 则 . 所以 ,故选 A.
9. ACD . 即 . A 正确; ,即 . B不正确; 对于 ,第 75 百分位数位置不变,即 . 正确; 对于 ,最大数种最小数的位置不变. 故 ,即 , D 正确. 故选 ACD.
10. ABD圆 经过原点 . 则以原点 为圆心,2为半径的圆与曲线 的两个不同的交点是动圆的圆心, 正确; 当且仅当直线 经过圆心时平分圆,所以 ,解得 . 圆心为 , 1) B 正确; 若两弦长相等，则直线 与曲线 有交点，即 ，但 . 所以方程 无解. 不正确; 对 求导. 得 ,令 ,得 . 得斜率为 1 的直线与曲线 相切于点 ,则圆心到直线 的最短距离为 ,所以圆上的点到直线的距离的最小值为 . D 正确. 故选 ABD.
11. ACD由 . 得 ,设 ,则点 到渐近线 的距离分别为 . 所以 ,得 ,所以 正确, 错误; 由上知 ,设直线 ,代入 . 得 1) 则 ,当 时取得最小值 正确; 设直线 的倾斜角分别为 ,易知 . . 由 ,又 ,所以 , D 正确. 故选 ACD.
12. -40展开式的通项为 ,令 . 得 . 则系数为 -40 .
13.8设 , ,所以曲线 是单位圆 。易知当 为 时. 圆心 到 的距离最大、且最大值为 3,又圆 的半径为 5 . 则由勾股定理可知， 的最小值为 8 .
14. 如图，设 的中点为 ，连接 ， ， ， 分别为 ， 的中点，则 ， ，所以平面 平面 ,即平面 为平面 ,线段 为平面 与底面 的交线，其长度为 ；连接 ，因为 ，所以 为动直线 与 的夹角, . 过 作 ( 为垂足),则 ,在 中,由等而积法可得 ,得 ,所以 .
15. 解: (1) 因为 的离心率为 . 可得 , 1 分
又 ,所以 ,即 .
所以椭圆 的标准方程为 . 4 分
(2)点 ， 5 分
显然直线 的斜率不为 0 . 设点 , ,直线 ,
联立 可得 ,
则 . 8 分
又 ,得 , 10 分
所以 , 11 分
代入计算可得 ，所以直线 的方程为 . 13 分
16. 解:(1)因为 ，所以 ； 1 分
由 ,可得 ,其中 3 分
同理, ,其中 ;
由 . 得数列 是等比数列. 5 分
证明如下:
, 7 分
即 .
所以数列 是首项为 2、公比为 2 的等比数列. 9 分
(2)由(1)知 , 10 分
所以 ,
. 12 分
两式相减可得 ,
. 14 分
则 . 15 分
17. 解:(1)掷骰子 3 次，共有 个样本点. 1 分
若 ,则共有 6 个样本点,此时 ; 2 分
若 只有两个相等,则有 三类. 共有 个样本点,此时 10 ; 4 分
若 互不相等,则 的大小排列有 种,对于 ,则 ,有 20 个样本点. 则 6 种情况共 个样本点. 此时 .
综上, 取值的集合为 . 6 分
(2)由(1)知 ， ， ； 7 分
对于 ，三个数中必有 1 和 6，若第三个数为 1 或 6，则共有 个样本点. 若第三个数为 2、3、4。 5 中的一个,共有 个样本点,所以 . 10 分
所以 . 11 分
(3)由题可知， . 15 分
18. 解:(1)证明:以 ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 , , , . 2 分
平面 的一个法向量可取 , 3 分则 ,所以 ,
又 平面 ,所以 平面 . 5 分 (2)(i)由题可知，球 的半径 . . 7 分设平面 的法向量为 ,则 即
取 . 则 . 9 分
又 . 则球心 到截面的距离为 .
所以截面圆的半径 满足 .
所以截面圆的面积为 . 11 分
(ii) 因为 ,所以 . 13 分
设平面 的法向量为 ,则 即
取 ,则 . 15 分
所以 ,平面 与平面 夹角的余弦值为 . 17 分
19. 解:(1)易知点，(1.0)在曲线 上，因为 ，所以 ，
所以切线方程是 . 3 分
(2)对 左右两边取对数得 . 5 分设 ,则 ,易知 分别是 的单调递增、单调递减区间,且 ,也就是 . 7 分
设 ,则 ,所以 ,
即 ,所以 的最小值为 8 . 9 分
(3)由题可知 ,则 ,所以方程 有两个实根 . ,即直线 和曲线 有两个不同的交点. 10 分 ,当 时, 单调递增,当 , 时, 单调递减. 又 ,且 . 如图,画出其图象。当且仅当 时,函数 有两个
极值点 ,且 . 12 分
又因为 ,所以 ,令 ,则 . 所以 , 两边取对数可得 . 13 分
设 ,则 ,设 ,则 ,
所以 单调递减, 14 分
,即 单调递减, ,所以 ,
15 分
又 在 上单调递增,即当 时, 取得最大值,为 16 分
因此,实数 的取值范围是 . 17 分

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