资源简介

数 学
注意事项:
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
4. 本试卷主要考试内容:高考全部内容。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的.
1. 已知复数 满足 ,则
A. 1+i B. C. 1-i D.
2. 已知集合 . 若 ,则 的取值范围是
A. B. C. D.
3. 清明节期间，甲、乙两市旅游消费数据如下:甲市游客总量 300 万人次，游客人均消费 1000 元； 乙市游客总量 200 万人次，游客人均消费 1 200 元. 此期间甲、乙两市游客的人均消费额为
A. 1060 元 B. 1080 元 C. 1100 元 D. 1120 元
4. 某 AI 大模型的算力规模每半年翻一番，初始算力为 ，经过 年后算力为 ，则 与 的函数关系式为
A. B.
C. D.
5. 已知某圆锥的底面和某圆台的下底面重合, 它们的高均为 2 , 且圆台的上、下底面圆的半径之比是 ,圆锥的侧面积是 ,则该圆台的侧面积是
A. B. C. D.
6. 如图，这是函数 的部分图象，则
A.
B.
C.
D.
7. 已知抛物线 的焦点为 ,过点 的直线与 交于 两点(点 在第一象限). 若直线 的斜率为 ,则
A. B. C. D.
8. 已知数列 的前 项和为 ,且 ,则满足 的最大正整数 的值为
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知双曲线 ,则下列结论正确的是
A. 的取值范围是
B. 的焦距与 的取值无关
C. 若 的离心率不小于 2,则 的取值范围为
D. 存在实数 ,使得点 在 上
10. 已知 ,则 的值可能为
A. 1 B. -1
C. D.
11. 已知函数 ,则下列结论正确的是
A. 存在 ,使得
B. 记 的值域为 ,对任意 ,存在 ,使得
C. 若 ,则 的最大值为
D. 若 ,则 的最小值为
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 已知数列 均为等差数列,若 ,则 _____▲_____.
13. 已知函数 有且仅有 1 个零点,则 _____▲_____.
14. 已知圆 的圆心为 ,半径为 是圆 上的动点,且 ,则 的取值范围为_____▲_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
如图，在棱长为 2 的正方体 中， ， 分别是棱 ， 的中点.
(1)证明: 平面 .
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
16.(15 分)
在 中, 为 边上一点, .
(1)若 ，求 的长；
(2)求 的值.
17.(15分)
某工厂的某种产品成箱包装,每箱 5 件. 该产品按箱售卖,每箱 30 元. 用户在使用某箱该产品时，若出现 1 件不合格品，则工厂赔偿 10 元；若出现 2 件不合格品，则工厂赔偿 20 元；若出现 3 ~5 件不合格品,则工厂赔偿 30 元. 设每件产品为不合格品的概率都为 , 且各件产品是否为不合格品相互独立.
(1)记每箱产品中恰有 1 件不合格品的概率为 ，求 的极大值点 .
(2)工厂质检部门拟在产品交付用户之前增加一道检验工序，提出了两种检验方案. 方案一: 从每一箱产品中随机抽 1 件检验, 如检验出不合格品, 则更换为合格品. 方案二: 从每一箱产品中随机抽 2 件检验, 如检验出不合格品, 则更换为合格品. 已知每件产品的检验费用为 2 元,以 (1) 中确定的 作为 的值,以一箱产品的售价减去赔偿费用及检验费用的值的期望为决策依据，应该选择方案一还是方案二
18.(17分)
已知函数 .
(1)设 .
① 求曲线 在点 处的切线方程；
② 求 在 上的最小值.
(2)若 在 上单调递减，求 的取值范围.
19.(17分)
已知 为坐标原点,椭圆 的右顶点为 ,离心率为 ,过点 的直线 与椭圆 交于另一点 ,与直线 分别交于点 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)若 ，求直线 的方程；
(3)证明: .
数学参考答案
1. .
2. 因为 ,所以 . 因为 ,所以 .
3. 此期间甲、乙两市游客的人均消费额为 元.
4. 与 的函数关系式为 .
5.C 设圆台的上底面圆的半径为 ,则圆锥的底面圆和圆台的下底面圆的半径均为 ,圆锥的母线 . 圆锥的侧面积是 . 解得 ,则圆台的母线 ,侧面积为 .
6. 因为 的图象过点 ，所以 . 因为点 落在 单调递减区间对应的图象上,所以 . 因为 ,所以 .
因为 的图象过点 ,所以 ,则 ,解得 . 由图可得 ,解得 . 结合 ,得 .
7. 记 的准线为 ，过点 作 的垂线，垂足分别为 ，过点 作直线 的垂线， 垂足为 (图略). 设 . 因为直线 的斜率为 ，所以 ， ,则 . 因为 ,所以 ,即 ,所以 .
8. C 易知 . 因为 ,所以 ,即 , 所以 ,解得 . 因为 ,所以 的最大值为 12 .
9. 由题意得 ,则 正确.
的焦距为2,与 的取值无关, 正确.
由 ,解得 ,结合 ,所以 的取值范围为 正确.
假设存在实数 ,使得点 在 上,则 . 当 时, ,所以 在 上无实数解, D 错误.
10. 因为 ,所以 或 ,即 或 . 若 ,则 . 若 ,则 ,所以 ,即 . 由 ,解得 . 由 ,解得 .
11. ACD . 当 时, ,当 时, ,所以 在 上单调递减,在 上单调递增,存在 , ,使得 正确. 为奇函数, 的极大值为 ,且当 时, ,所以 的值域为 . 取 ,不存在 ,使得 错误.
不妨设 ,则 ,即 . 函数 的图象关于直线 对称. 将 的图象向右平移 个单位长度得到函数 的图象, 与 的值域相同.
令 . 当 时, . 当 时, . 当 时, ,且 ,当且仅当 时,等号成立. 当 时,函数 单调递减,且 ,所以当 时. 取得最大值,最大值为 ,所以 的最大值为 ,即 的最大值为 . 正确.
不妨设 ,则 .
变形可得 ,
所以 , .
当 时, ,要使得 取得最小值,则 . 若 ,则 ,解得 ,即 , 当且仅当 时,等号成立. 若 ,则 . 解得 ,即 . 当且仅当 时,等号成立.
当 时, ,而 . 矛盾,舍去.
综上, 的最小值为 正确.
12.7 易得数列 也为等差数列,所以 为 的等差中项, 所以 .
13. 为偶函数，要使得 有且仅有 1 个零点，则 ，解得 .
经验证,当 时, 在 上单调递减,在 上单调递增,且 ,符合题意.
14. 延长 至点 ，使得 ，取 的中点 ,连接 . 在 中, ,所以点 的轨迹是以
为圆心， 为半径的圆， 的最小值为 ，最大值为 ，所以 的取值范围为 .
15. 解: 以 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则 ,
, 2 分
. 3 分
设平面 的法向量为 ,
则 即 取 ,可得 .
0). 5 分
(1)因为 ，所以 ， 7 分所以 平面 . 9 分
(2)易得 ， 10 分
12 分
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 . 13 分
16. 解:(1)易得 ， 2 分
故 . 5 分
(2)因为 ，所以 ， ， .
设 ,则 . 6 分
在 中,由正弦定理可得 , 8 分
在 中，由正弦定理可得 . 10 分
则 ，
12 分
化简可得 ， 14 分
. 15 分
17. 解:(1)每箱产品中恰有 1 件不合格品的概率 ， 2 分则 . 4 分
令 ,得 . 2. 当 时, ; 当 时, . 所以 的极大值点 . 6 分
(2)由(1)知 . 2 .
若选择方案一. 则一箱产品的售价减去赔偿费用及检验费用的值记为 .
8 分
. 10 分
若选择方案二,则一箱产品的售价减去赔偿费用及检验费用的值记为 .
12 分
. 14 分
因为 ,所以应该选择方案一. 15 分
18. 解:(1)当 时， . . 1 分
①因为 . 2 分
所以曲线 在点 处的切线方程为 . 4 分
② 令 ,则 . 5 分
当 时, ,且两个等号不能同时成立,所以 在
上单调递减. 6 分
又 ,所以存在 . 使得 . 7 分
当 时, ; 当 时, .
在 上单调递增,在 上单调递减. 8 分
又 ,
所以 在 上的最小值为 . 9 分
(2) .
令 ,则 , 10 分
若 ,即 ,则存在 ,使得当 时, ,所以 在 上单调递增. 12 分
因为 ,所以当 时, ,即 在 上单调递增,不符合题意. 13 分
若 ,即 ,则当 时, . 两个等号不能同时成立,所以当 时, . 14 分
当 时, ,所以 在 上单调递减. 15 分
因为 ,所以当 时, ,所以当 时, 在 上单调递减，符合题意. 16 分
综上, 的取值范围为 . 17 分
19.(1)解:由题可知 解得 2 分所以椭圆 的方程为 . 3 分
(2)解:因为直线 到 轴的距离均为 ，所以 .
因为 ,所以 . 4 分
因为点 的纵坐标为 ，所以点 的纵坐标为 . 5 分
将 代入 ,得 ,即 . 6 分
故直线 的方程为 或 . 8 分
(3)证明:由题可知直线 的斜率存在且不为 0，设直线 的方程为 ， ， . 当 时， . 10 分
由 得 . 11 分
因为 ,所以 ,
所以 . 当 时, . 12 分
又 ， 13 分
15 分
所以 ,所以 . 16 分
当 或 时,经验证可得 .
综上, . 17 分

展开更多......

收起↑