资源简介

厦门双十中学 2025-2026 学年(下)周末考试 高一数学 选填测试 (03)
注意事项:
1. 答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号, 在规定的位置贴好条形码。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其它答案标号.
3. 考试结束后,将答题卡交回。
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目 要求的.
1. 已知复数 ，复数 为复数 的共轭复数，则 ()
A. 1 B. C. D. 2
2. 圆锥 的轴截面是面积为 的等边三角形,则该圆锥的侧面积为 ( )
A. B. C. D.
3. 已知平面 ，直线 ，则 “ ” 是 “ ” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 在四面体 中， ， ， 两两垂直，且 ，若 均在球 的球面上, 则 的表面积为 )
A. B. C. D.
5. 已知一个圆锥的高为 6 , 底面半径为 8 , 现在用一个过两条母线的平面去截圆锥, 得到一个三角形, 则这个三角形面积的最大值为( )
A. 100 B. 50 C. 48 D. 24
6. 如图，在 中， ， ， ， 为 与 的交点，则向量 在 上的投影向量的模的最小值为( )
A. B.
c. D.
7. 内角 的对边分别为 ,满足 ,且 ,则 ( )
A. 为锐角 B. C. D.
8. 已知正四面体 内接于球 ,球 半径为 3, 为 的中点,过点 作球 的截面,求截面圆半径的最小值 ( )
A. 1 B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全 部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 如图所示，正方体 的棱长为 1，线段 上有两个动点 且 ，则下列结论中正确的是( )
A.
B. EF//平面
C. 异面直线 所成的角为定值
D. 三棱锥 的体积为定值
10. 在 中，角 所对的边为 ， ，则下列说法正确的是( )
A 若 ，则
B. 若满足条件的 有 2 个，则 的取值范围为
C. 面积的最大值为
D. 的最大值为
11. 设平面向量 满足 . 则下列命题中正确的是( )
A. B.
C. 若 ，则 的最大值为 D. 的取值范围是
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 如图，在空间四边形 中， 且 与 所成的角为60°， ， 分别是 ， 的中点， 则 与 所成角的大小为_____.
第 12 题图
13. 如图，在棱长为 2 的正方体 中， 是 的中点，动点 在正方体内部或表面上， 若 平面 ，则动点 的轨迹所形成的区域面积为_____
14. 已知 为 的外心，若 ，则实数 的最大值为_____.
第 13 题图
四、解答题:本题共 1 小题，共 15 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (15 分)
如图，多面体 是由一个直三棱柱 与一个四棱锥 组成，其中 是 上的一点.
(1)若 是 中点.
① 求证: 平面 ；② 求异面直线 与 所成角的余弦值.
(2)若 为 与 交点，问 上是否存在一点 ，使得 平面 ？如果存在，请求出 的值; 若不存在, 请说明理由.
附加: “十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱 “垂直贯穿”构成的多面体, 其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱, 两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点, 另外两条相对的侧棱交于一点(该点为所在棱的中点)若某“十字贯穿体”由两个底面边长为 2，高为 的正四棱柱构成， 则下列说法正确的是( )
A. 一个正四棱柱的某个侧面与另一个正四棱柱的两个侧面的交线互相垂直
B. 该“十字贯穿体”的表面积是
C. 该“十字贯穿体”的体积是
D. 一只蚂蚁从该“十字贯穿体”的顶点 出发，沿表面到达顶点 的最短路线长为
厦门双十中学 2025-2026 学年(下)周末考试 高 一 数 学 选填测试( 03 )参考解答
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目 要求的.
1.【答案】A 2.【答案】C 3.【答案】A 4.【答案】A
5.【答案】B 6.【答案】C 7.【答案】B 8.【答案】D
1.【答案】A由复数 可得 ,因此 , 所以 .
2.【答案】C根据题意，设圆锥的底面半径为 ，因为圆锥的轴截面为等边三角形， 所以圆锥的母线长 ，解得 ， 所以圆锥的侧面积为 .
3.【答案】A由 ，得 ；反之，由 ，得 或 相交， 所以“ ”是“ ”的充分不必要条件. 故选: A
4.【答案】A根据题意得四面体 的外接球 和以 为长宽高的长方体的外接球相同，所以外接球的直径为 ， 所以外接球 的表面积为 ,故选: A.
5.【答案】B如图圆锥 中， ，所以圆锥 的母线 ， 则在轴截面 中， ，所以 ，
所以 ，所以 ，
设 ，则 ，所以 的面积为 。
所以当 时，截面 面积有最大值，最大值为50. 故选:B
6.【答案】C由题,设 , 因为 三点共线， 三点共线，所以 ，解得 所以 ,则 , 当且仅当 ,即 时等号成立,故选: C.
7.【答案】 ,又 , ,整理得: , ，当且仅当 时等号成立， 又 为钝角, ; ,即 , ,解得: . 8.【答案】D如下图示, ,令正四面体的棱长为 ,则底面半径 ,
所以 ,
所以 ,则 ,
所以 ,则 ,可得 ,
要使截面圆半径最小，只需 垂直于截面圆，而 ，
所以截面圆半径为 ,故选: D
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全 都选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9.【答案】ABD 10.【答案】BCD 11.【答案】ACD
9.【答案】 因为 ，
又因为 平面 平面 ,所以 平面 ,
又因为 平面 ,所以 ,故 项正确:
易知 ，所以 ，又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ， 故 项正确；
当点 在点 处， 为 的中点时，由 ，可得异面直线 ， 所成的角是 ， 此时 ,
当 为上底面中心时， 在 的位置，此时异面直线 ， 所成的角是 ，
此时 ， ，所以 ，
所以异面直线 所成的角不是定值，所以 错误；
如图，连接 交 于点 . 因为 平面 ， 平面 ，
所以 ,所以 : 因为 平面 ,
所以 到平面 的距离为 ,所以 为定值，故 项正确: 故选: ABD.
10.【答案】BCD
对于 ,由余弦定理得 ,即 ,解得 ,故 错误; 对于 ,由正弦定理得 ,因为 ,所以 ,结合正弦函数图象, 要使角 有两个值，则 ，所以 ，故 正确；
对于 ,因为 ,所以 ,当且仅当 时等号成立, 所以 面积 ，故 正确； 对于 ,由正弦定理得 ,则 , 所以 , 其中 ，因为 ，所以当 时， 的最大值为 ，故 D 正确.
11. 【答案】 对于 ，由三角不等式可得 ，又 . 所以 . 故 正确.
对于 ，由 ，只能说明点 的轨迹是一个以 对应点为圆心、 为半径的圆， 不能推出 . 例如取 ，则 ， ， 且 . 满足题意，但 ，故 B 错
对于 ,若 ,不妨取 .
由条件 ,得 ,即 .
设 . 则 ,所以 .
代入得 . 因此 , 当 时取等号. 故 . 所以 正确.
对于 ,作平行四边形 ,使 . 则 .
由题设 ，可知点 的轨迹是以点 为圆心、 为半径的圆.
又因为 , ,所以四边形 为菱形.
设 ,则 .
因为 ；所以 等于 在 上的投影向量模长的 2 倍，
如图，过点 向直线 作垂线，垂足为 .
当 为图中两条切线的切点时，取得最大值、最小值.
因此
,当 时取等号.
又 , 当 时取等号. 所以 . 故 D 正确.
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12.【答案】 或 13.【答案】 14.【答案】
12.【答案】 或 如图,取 的中点 ,连接 ,
则由三角形中位线定理得 ,
，EP与 所成角为 .
与 所成的角为 ， 或 ，
与 所成角的大小为 或 . 故答案为: 或 .
13.【答案】 分别取 中点 ，连接 ， 则由正方体结构性质可知 所以四边形
、 、 均为平行四边形，
所以 ,所以 ,
因为 平面 在平面 外，所以 平面 平面 ，
又 ，所以平面 平面 ，
取 中点 ，连接 ， ，则 ，则 ，
所以 四点唯一确定一个平面，所以平面 即为平面 ， 所以由题意若 平面 ，则动点 的轨迹为平面四边形 ， 因为 ， 所以四边形 为等腰梯形,且该梯形的商为 , 由正方体结构性质可得面积为 .
14.【答案】 如图，过点 作 于点 ，因点 是 的外心，则 . 则 ，同理
故由 可得:
,
令外接圆半径 ,由正弦定理,得 ,
所以 ,
所以 ,而 ,所以 ,
所以 ,
由 ，可得 ，则 ，
当且仅当 时取等号,故 ,所以实数 的最大值为 .
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(15分)
(1)连接 交 于点 ，连接 ，如下图所示: 【没作图两分都扣掉】
2 分
在三棱柱 中， ，
所以，四边形 为平行四边形，
因为 ，所以 为 的中点，
又因为 为 的中点，所以 ， 4 分
因为 平面 ，故 平面 ；【线在面外设交代扣 1 分】 5 分因为 ，所以，异面直线 .与 所成角为 ，直线补角， 分 6 分
在直三棱柱 中， 平面 ， 平面 ，所以 ，
所以, ,
同理可得 ,
所以， ，
由余弦定理可得 ， 9 分
因此,异面直线 与 所成角的余弦值为 . 10 分
(2)如下图所示:因为 ， ，所以 ， 11 发
因为 平面 平面 ，平面 平面 ，【没写相交扣 1 分】
所以 ， 13 分
故 ，因此 . 14 分
所以，线段 上存在一点 ，使得 平面 ，且 . 15 分
附加:【答案】C依题意，不妨设该几何体中心对称，
对于 A: 在梯形 中， ， ,
则 ，所以 ，
即一个正四棱柱的某个侧面与另一个正四棱柱的两个侧面的交线不互相垂
直，A 错误；
对于 :该“十字贯穿体”由4个正方形和16个与梯形 全等的梯形组成，
故表面积 ， 错误；
对于 如图两个正四棱锥重叠部分为多面体 ，取 的中点 ， 则多面体 可以分成 8 个全等的三棱锥 ，
又 ,
所以该“十字贯穿体”的体积是 ， 正确；
对于 D: 将面 ，面 ，面 绕着面与面之间的交线旋转到与面 共面，如图: 则 所以 为钝角，
连接 ，则线段 的长为一只蚂蚁从该“十字贯穿体”的顶点 出发，沿表面到达顶点 的最短路线长， 根据对称性可得 ,
因为 ，所以 ，又 ，
所以 ，
所以 ,又 ,
所以 ，则 ，D 错误.
故选: C.

展开更多......

收起↑