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萍乡市 2025-2026 学年度高三二模考试试卷 数 学
本试卷分第 I 卷 (选择题) 和第 II 卷 (非选择题) 两部分. 第 I 卷 1 至 2 页，第 II 卷 3 至 4 页. 满分 150 分，考试时间 120 分钟.
注意事项:
1. 答卷前, 考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上. 考生要认真核对答题卡上粘贴条形码的 “准考证号、姓名、考试科目” 与考生本人的准考证号、姓名是否一致.
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 回答非选择题时，用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3. 考试结束后, 监考员将试题卷、答题卡一并收回.
第 1 卷
一、单选题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项 是符合题目要求的.
1. 若 ，则复数 的虚部为
A. -1 B. 1 C. -3 D. 3
2. 某同学需将 这 5 个字母排成一排,若 与 必须相邻,则不同的排法种数为
A. 24 B. 48 C. 96 D. 120
3. 为了研究 与 的线性相关关系,某同学收集了 5 组样本数据 (如下表),利用最小二乘法得到 关于 的线性回归方程为 ,则下列说法正确的是
1 2 3 4 5
2 4 5.5 9 7
A. B. 这 5 组样本数据中, 的 40% 分位数为 4
C. 当 时， 的预测值为 10 D. 去掉样本点 (3,5.5) 后， 与 的样本相关系数 必会改变 4. 在 中， ， ， 分别是角 ， ， 的对边，若 ， ， ，则
A. B. 75° C. 105° D. 120°
5. 已知 ,则 的最小值为
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
6. 在正四面体 中，点 在棱 上，点 在棱 上，若 平面 ，且 ， ，则三棱锥 与正四面体 的体积之比为
A. B. C. D.
7. 已知 是定义在 上的奇函数,且其图象关于直线 对称,当 时, ,则方程 在区间 上解的个数为
A. 11 B. 10 C. 9 D. 8
8. 已知数列 满足 ,其中 表示不超过 的最大整数. 若 ，则
A. 44 B. 45 C. 46 D. 47
二、多选题: 本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有多项符 合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 函数 ,则下列说法正确的是
A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线 对称
C. 的图象关于点 对称 D. 在区间 上单调递减
10. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,离心率为 ,点 在双曲线上,则下列说法正确的是
A. 双曲线 的渐近线方程为
B. 若 ,则
C. 的最小值为
D. 点 到 的两条渐近线的距离之积为定值
11. 在棱长为 2 的正方体 中，点 满足 ，其中 ，则下列说法正确的是
A. 当 时，
B. 当 时， 平面
C. 当 时，平面 截正方体所得截面面积为
D. 若直线 与直线 所成角为 ，则点 的轨迹为抛物线
第 II 卷
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知一个圆台的上、下底面半径分别为1和2，母线长为2，则该圆台的侧面积为_____.
13. 有甲、乙、丙三个相同的不透明盒子,甲盒中装有 2 个红球和 3 个蓝球,乙盒中装有 3 个红球和 2 个蓝球,丙盒中装有 4 个红球和 1 个蓝球. 现随机选择一个盒子,从该盒子中不放回地连续取出两个球，在第一次取出的球是红球的条件下，第二次取出的球也是红球的概率为_____.
14. 已知集合 ，定义 表示 的元素个数， 为 的三个互不相同的子集. 若集合 ，且 ，则不同的 的个数为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分 13 分)
已知等差数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求 的最小值.
16. (本小题满分 15 分)
某企业产品质检员随机从一条生产线分两次共抽取 50 件样品进行误差检测, 统计数据如下表:
抽取次数 抽取件数 平均误差
第一次 30 0.3
第二次 20 -0.45
(1)已知这条生产线的产品误差 服从正态分布 ，若以这 50 件样品的平均误差作为 的估计值，且误差落在区间 内的产品为“特等品”，试估计这条生产线生产的 10000 件产品中 “特等品” 的件数;
(2)已知这条生产线的 “特等品” 在某项测试任务中的达标率为 80%，现随机抽取 4 件 “特等品” 进行该项测试任务,记其中达标的件数为随机变量 ,求 的分布列及其数学期望.
附:若 ,则 ; .
17. (本小题满分 15 分)
已知圆 ，圆 ，动圆 与 外切，与 内切。
(1)求 的轨迹 的标准方程；
(2)设过点 的直线 与 交于 两点，且 ，求 的取值范围.
18. (本小题满分 17 分)
已知函数 .
(1)若 ，且 在点 处的切线与直线 垂直，求 的值；
(2)设函数 .
(i) 当 时,求 的最小值:
(ii) 当 时,讨论 的零点个数.
19. (本小题满分 17 分)
在三棱锥 中,点 在底面 内的投影 恰在直线 上, 与 的面积相等.
(1)若 ，证明: 为线段 的中点；
(2)若 的面积等于 .
(i)证明: 的周长为定值；
(ii) 当二面角 的平面角为 时,求线段 的长.
萍乡市 2025-2026 学年度高三二模考试 数学参考答案及评分标准
一、单选题(8×5=40分):1.A; 2.B; 3.C; 4.C; 5.A; 6.D; 7.A; 8.B.
二、多选题(3×6=18分):9.AC; 10.ACD; 11.BCD.
【说明:第 9 题全部分，逸时 1 个得 2 分
三、填空题(3×5=15分):12.6π；13. ；14.35.
【14 题】如图，将 放入 中，共有 种不同的放法. 需排除的情况: 当 时,则 ,将 放入其中，有 种放法，不满足条件. 同理， 和 都是 种放法不满足条件. 但 的情况被多减了 2 次。最后考虑次序,故所求 的个数为 .
四、解答题(共 77 分)
15.(1)因为 ，所以 ， 2 分设 的公差为 ,则 , 4 分
故 ; 6 分
(2)由(1)知， ， 8 分
则 , 9 分
令 ，因为 ，所以 为递增数列， 10 分
又 时, 时, , 12 分
故 的最小值为 47 . 13 分
16.(1)设这 50 件样品平均误差为 ，则 ，即 ， 2 分故 为“特等品”,即“特等品”的概率为 , 4 分
故这条生产线生产的 10000 件产品中 “特等品” 件数约为 10000×0.9545=9545 件; 6 分
(2)由题意得: , 7 分
则 , 9 分
, 11 分
12 分
则 的分布列如下:
Y 0 1 2 3 4
625 16 25 96 25 256 625 256 625
13 分
其数学期望 . 15 分
17.(1)由题知，圆 ,的半径为 ，圆 ,的半径为 ,设动圆 的半径为 , 2 分则 ,故 , 3 分故 的轨迹 是椭圆，焦点为 ，长轴长为 4。 5 分故 的轨迹 的标准方程为 ; 6 分
(2)若直线 不存在斜率，则 ，则 ， 7 分若直线 存在斜率,设其方程为 ,则 ,显然 ,联立 与 的方程,化简得 , 9 分 ,得 分则 ,得 , 12 分则 ,由 ,得 , 13 分又 ,故 , 14分综上所述， 的取值范围为 . 15 分
18.(1)若 ，则 ，得 ， 2 分若 在点 处的切线与直线 垂直，则 ，解得 ；_____3分
(2)(i)由题知， 的定义域为 ，则 ，故 ，则 5分
由函数 与 在 上的图象知,存在唯一的 使 , 6 分且当 时, 单调递减,当 时, 单调递增, 故 在 处取得最小值 , 7 分又由 得 ,故 的最小值为 1 ; 8 分
【利用函数同构等其它方法做对的，同样给分】
(ii) 的定义域为 ,当 时, ,当 时,此时 恒成立, 故 的零点个数等价于其在 上的零点个数, 9 分
① 当 时， ，令 ，则 ， 函数 ，显然 恒成立， 在 上单调递增，故 ，所以 在 上恒成立，故 无零点；_____10分 ② 当 时， ，令 ，则 ，函数 ,显然 恒成立, 在 上单调递增,故 ，所以当且仅当 时， ，故 有唯一零点； 11 分 ③ 当 时， 12 分
i) ,由 得 ,令 ,
则 , 13 分
令 ,则 ,故 在 上单调递增， ，故存在唯一的 使 分
ii) ,由 得 ,令 ,
则 ,又 ,故 在 上单调递增,
,当 时, ,故存在唯一的 使 ,
即存在唯一的 使 ; 16 分
综上: 当 时, 无零点; 当 时, 有且仅有 1 个零点; 当 时, 有 2 个零点. 17 分
19.(1)由题知， 面 ，则 ，又 ，且 ，所以 面 ， 所以 2 分
过 的垂线,垂足为 ,连接 ,则 ,又 ,所以 面 , 所以CP , 3分
因为 与 的面积相等， 与 分别为两个三角形的高，则 ，故 为等腰三角形，又 ，则 为线段 的中点； 5 分
(2)(i)由题知， ，得 ， 6 分以 为原点， 所在方向为 轴正方向，平行于 所在方向为 轴正方向建立空间直角坐标系,则 . 设 ,则 , 7 分
则 的距离为 ,
9分
化简得: ,同理可得 的轨迹方程也是 ,故点 在以 为中心的椭圆上,且 分别为该椭圆的左、右焦点. 10 分
所以 ,故 的周长为定值 16 ; 11 分
(ii) 设 ,则 , 设平面 的法向量为 ,则 ,取 ,则 , 则 ,同理可得平面 的法向量为 , 13 分故 , 14 分
又 在 上，则 ，故 ， 15 分在 平面中，设直线 的方程为 ，椭圆方程 联立。化简得 ,则 , 16 分
又 ,
故 ,得 ,由弦长公式得线段 的长 . 17 分
审核:胡斌(市教研室)

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