资源简介

江西萍乡市2025-2026学年高三二模考试数学试题
一、单选题
1．若，则复数的虚部为（ ）
A． B．1 C． D．3
2．某同学需将、、、、这个字母排成一排，若与必须相邻，则不同的排法种数为（ ）
A． B． C． D．
3．为了研究与的线性相关关系，某同学收集了5组样本数据（如下表），利用最小二乘法得到关于的线性回归方程为，则下列说法正确的是（ ）
1 2 3 4 5
2 4 9 7
A．
B．这5组样本数据中，的分位数为4
C．当时，的预测值为10
D．去掉样本点后，与的样本相关系数必会改变
4．在中，、、分别是角、、的对边，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，，则的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．在正四面体中，点在棱上，点在棱上，若平面，且，，则三棱锥与正四面体的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
7．已知是定义在上的奇函数，且其图象关于直线对称，当时，，则方程在区间上解的个数为（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
8．已知数列满足，，，其中表示不超过的最大整数．若，则（ ）
A．44 B．45 C．46 D．47
二、多选题
9．函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于直线对称
C．的图象关于点对称
D．在区间上单调递减
10．已知双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，点在双曲线上，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的渐近线方程为
B．若，则
C．的最小值为
D．点到的两条渐近线的距离之积为定值
11．在棱长为2的正方体中，点满足，其中，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，平面
C．当时，平面截正方体所得截面面积为
D．若直线与直线所成角为，则点的轨迹为抛物线
三、填空题
12．已知一个圆台的上、下底面半径分别为1和2，母线长为2，则该圆台的侧面积为________．
13．有甲、乙、丙三个相同的不透明盒子，甲盒中装有2个红球和3个蓝球，乙盒中装有3个红球和2个蓝球，丙盒中装有4个红球和1个蓝球.现随机选择一个盒子，从该盒子中不放回地连续取出两个球，在第一次取出的球是红球的条件下，第二次取出的球也是红球的概率为________．
14．已知集合，定义表示A的元素个数，，，为A的三个互不相同的子集.若集合，且，则不同的B的个数为________．
四、解答题
15．已知等差数列的前n项和为，且，．
(1)求的通项公式；
(2)若，求n的最小值．
16．某企业产品质检员随机从一条生产线分两次共抽取50件样品进行误差检测，统计数据如下表：
抽取次数 抽取件数 平均误差
第一次 30 0.3
第二次 20
(1)已知这条生产线的产品误差X服从正态分布，若以这50件样品的平均误差作为的估计值，且误差落在区间内的产品为“特等品”，试估计这条生产线生产的10000件产品中“特等品”的件数；
(2)已知这条生产线的“特等品”在某项测试任务中的达标率为80%，现随机抽取4件“特等品”进行该项测试任务，记其中达标的件数为随机变量Y，求Y的分布列及其数学期望．
附：若，则，；．
17．已知圆，圆，动圆与外切，与内切．
(1)求的轨迹的标准方程；
(2)设过点的直线与交于两点，且，求的取值范围．
18．已知函数，．
(1)若，且在点处的切线与直线垂直，求的值；
(2)设函数．
（ⅰ）当时，求的最小值；
（ⅱ）当时，讨论的零点个数．
19．在三棱锥中，点在底面内的投影恰在直线上，与的面积相等．
(1)若，证明：为线段的中点；
(2)若，，的面积等于．
（ⅰ）证明：的周长为定值；
（ⅱ）当二面角的平面角为时，求线段的长．
参考答案
1．A
2．B
3．C
4．C
5．A
6．D
7．A
8．B
9．AC
10．ACD
11．BCD
12．
13．
14．35
15．（1）因为，所以，
设的公差为d，则，
故.
（2）由（1）知，，，
则，
令，因为，所以为递增数列，
又时，，时，，
故n的最小值为47．
16．（1）设这50件样品平均误差为，则，即，而，
故为“特等品”，即“特等品”的概率为，
故这条生产线生产的10000件产品中“特等品”件数约为件；
（2）由题意得：，
则，，
，，
，
则Y的分布列如下：
Y 0 1 2 3 4
P
其数学期望．
17．（1）由题知，圆的半径为，圆的半径为，设动圆M的半径为r，
则，，故，
故M的轨迹E是椭圆，焦点为，，长轴长为4，
故M的轨迹E的标准方程为；
（2）
①若直线l不存在斜率，则，，则，
②若直线l存在斜率，设其方程为，，，则，显然，联立E与l的方程，化简得，
，得，
，，
则，，得，
则，由，
当 时，；当 时，
得，
又，解得，
综上所述，的取值范围为．
18．（1）若，则，，得，
若在点处的切线与直线垂直，则，解得；
（2）（ⅰ）由题知，的定义域为，所以的定义域为，
当时，，所以，
故，则，
由函数与在上的图象知，存在唯一的使，
且当时，，单调递减，当时，，单调递增，
故在处取得最小值，
又由得，故的最小值为1；
（ⅱ）的定义域为，
当时，，
当时，，此时恒成立，
故的零点个数等价于其在上的零点个数，
①当时，，
令，则，
函数，显然恒成立，在上单调递增，
故，所以在上恒成立，故无零点；
②当时，，
令，则，函数，
显然恒成立，在上单调递增，
故，所以当且仅当时，，故有唯一零点；
③当时，
若，由得，令，
则，
令，则，
故在上单调递增，，，
故存在唯一的使；
若，由得，令，，
则，又，故在上单调递增，
，当时，，故存在唯一的使，
即存在唯一的使；
综上：当时，无零点；当时，有且仅有1个零点；当时，有2个零点．
19．（1）过A作，垂足为G，连接，
因为点在底面内的投影恰在直线上，
则平面，平面，则，
又，且，平面，所以平面，
因为平面，所以，，，
又，平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为与的面积相等，GA与GB分别为两个三角形边上的高，
则，故为等腰三角形，
又，则F为线段AB的中点；
（2）（ⅰ）因为，，所以，
因为，所以，
以C为原点，所在方向为x轴正方向，平行于所在方向为z轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
设，则，，
则A到CP的距离为，
化简得：，
同理可得B的轨迹方程也是，
故点A，B在以C为中心的椭圆上，且E，F分别为该椭圆的左、右焦点，
所以，故的周长为定值16；
（ⅱ）设，，
则，，，
设平面ACP的一个法向量为，
则，
取，则，，则，
同理可得平面BCP的一个法向量为，
因为二面角的平面角为，
所以，
又A，B在上，
则，故，
在xOy平面中，设直线AB的方程为，与椭圆方程联立，
化简得，则，，
又，
故，解得，
由弦长公式得线段AB的长
．

展开更多......

收起↑