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同安一中 2025 级高一下学期数学第 8 周学情监测
学校:_____ 姓名:_____ 李号:_____
一、单选题
1. 复数 满足 ( 为虚数单位),则 的共轭复数的虚部是( )
A. -3 B. -3i C. 1 D. i
2. 已知直线 、 和平面 ，若 ，则“!与 不相交”是“!//a”的()
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 D. 既非充分又非必要条件
3. 在平行四边形 中, ，则 ( )
A. -3 B. -1 C. 1 D. 3
4. 已知圆锥 的高为2,侧面积是 ,其母线长为( )
A. B. C. D. 8
5. 在四面体 中， 为 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为( )。A. B. C. D.
6. 在 中，角 的对边分别为 ，已知 ，若 为 的中点，则 ( )
A. B. C. D.
7. 在棱长为 2 的正方体 中，棱 的中点分别为 ， ，且点 在侧面 内，若 平面 ,则点 的轨迹长度为( )
A. B. 2 C. D.
8. 在 VABC 中, 为 边上的高,垂足 在边 上, ,设 及 的面积分别为 、 ，当 时， 的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、多选题
9. 在正方体 中，点 ， ， 分别是棱 ， 的中点， 则:)
A. 平面 B. 平面
C. 平面 D. 平面 平面
10. 设 为复数,则下列命题正确的是
A. 若 ,则 B. 若 ,则 或
C. 若 ,则 D. 若 ,则 在复平面对应的点在一条直线上
11. 已知 的内角 的对边分别为 ，且 ，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题
12. 若一个三棱台的上、下底面面积分别为 8,18,高为5,则该棱台的体积为_____.
13. 如图，已知正方体 的棱长为 2， ， ， 分别为 ， ， 的中点。过点 ， ， 作正方体的截面，所得截面的面积是_____
14. 在 中,内角 的对边分别是 ,且 , 则 的最大值是_____.
四、解答题
15. 如图，在边长为 4 的正方体 中，点 在 上. (1)当 是 中点时，证明: 平面 ；(2)当 和 重合时，求三棱锥 的表面积.
16. 在 中,内角 所对的边分别为 . 已知 . (1)求 ；(2)若 ，求 的面积.
17. 如图，在正方体 中， 分别是棱 的中点. (1)求证:平面 平面 ；(7分)
(2)求平面 与平面 把正方体分成三部分的体积之比. (8分)
18. 如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形， ， 分别为 ， 的中点. 设平面 与平面 的交线为 .
(1)求证: 平面 ；(7分)(2)求证: ；(7分)
* (3)在棱 上是否存在点 (异于点 )，使得 平面 ？若存在，求出 的值； 若不存在, 说明理由. (7 分)
19. 在 VABC 中,角 所对应的边分别为 的面积为 .
(1)若 为锐角三角形，且满足 ，
① 求证: ；② 设 ，求 的取值范围。
*(2)求 的最大值.
(西安一中2025级高一下学期数学第 8 周学情监测) 参考答案
题号 1 2 3 4 6 G 7 8 0 10 11
答案 C B B C A A C A AC ED ABC
1. C
2. B当直线 与平面 相交，且交点不在直线 上时，满足 与 不相交”.
但“ ”不成立，故充分性不成立. 若 ，则 与 无交点，所以“ 与 不相交”，故必要性成立；
所以"/与 不相交" 是 “ /// ” 的必要非充分条件.
3 B .
4 C设圆锥的高为 ，侧面积为 ，底面半径为 ，母线为 ， 根据题意，圆锥的侧面积是 ，即 ①，又圆锥 的高为2，所以 ， 即 ②. 由(1)可得 . 化人②时得 . 化简得 . 整理得 . 化简得 ,解得 或 (舍),即 .
5. A由于 ，所以 ， 设 、 分别是 的中点，连接 ，则 ，所以异面直线 与 所成角为 (或其补角)，在 中， ， 所以 ，所以异面直线 与 所成角的余弦值为 .
6. A由正弦定理知， ，所以 ， . 所以 ,又 ,所以 . 在 中, . 因为 为 的中点，所以 . 在 Rt 中， . 在 中， .
7 C取 的中点 ，连接 ，因为 ，所以 是平行四边形,所以 平面 不在平面 内,所以 平面 , 问题可得 平面 平面 ，所以平面 平面 ， 则当点 在线段 上时， 平面 ，所以点 的轨迹长度为 .
8 A如图，在Rt 中，由 ，可得 ， 山 ，可得 ，在Rt 中，山 ，可得 则 .
以 ，则 ，则得 ，且 ，解得 ，证明 ,也用 ,解得 ,则 ,又 ,则 , 故 的取值范围为 .
9. AC 下注正方体 中. 点 ， 分别是棱 的中点， ， ， ，又 平面 ， 平面 ， 平面 ，故 正确。
， 与平面 相交， 与平面 相交，故 B 错误；
平面 平面 平面 ，故 正确；
与平面 相交， 平面 与平行面 相交，设 错误，
10. 对于 ，令 ，则 ，此时， 错误，
对于 ,设 ,则 ,
所以， ，即 ，则 ，当 ，则 成立，此时 ，
若 ， ，由 知 ；由 知: ，此时 ，问题可知，当 ， 问 ，
若 ，由 得: ，则 ，此时 ； 综上:将 ，则 以 ，
对于 ,令 ,则 ,此时 倍误,
对于 . 因为 在复平面内，表示到 距离相等的点构成的集合，故在 的中心线上。 作复平面对应的点在一条直线上，故 D 正确.
11. 因为 ，所以 ，验理得 ，即 . 又因为 ,所以 ,即 ,整理得 . 因为 ,所以 . 故 A 正确.
选项 B:由 ，得 ， ，
因此 ,即 . B 正确.
选项 C:由 ，可知 均为锐角；又因为 ，
又因为 ，即 ，所以 . 正确.
选项 D:因为 (因 )，得 且 ，但无法确定 和 的大小， 故无法推出 . 错误.
12. 解析:
13. 取 的中点 的中点 的中点 ,连接 , 则正六边形 EFMGVF 为对应的截面. 又正六边形的边长为 ，所以截面的面积为. .
14. 原式 ，由正弦定理得 ，即 ,则有 ,
因为 ,则 . 即 ,由正弦定理可得 , 山余弦定理可得 ,因为 ,当且仅当 时等号成立,得 ,所以 ,且 ,则 ,故 的最大值是 .
15. (1)证明见解析: (2)
(1)如图，连结 交 于点 ，则 为 的中位线，所以 ， 又因为 平面 之平面 ，所以 平面 .
(2)当 ，重合时，三棱锥 即三棱锥 ， 则在边长为 4 的正方体 中， 是边长为 的正三角形， 三棱锥 求面积为 .
16. .
( 1 )由 ，结合正弦定理，得 ， 即 ，则 ，因为 ，所以 ，即 .
(2) ，利用正弦定理得 而 面积 . 17 (1)证明见解析. (2) 1:16:7.
( 1 )连接 ，因为 分别是棱 的中点，
所以 ，又 平面 ， 平面 ， 所以 ，因此 ， ，交 ， ， 于 ， ， ， 边接 如图 易得四边形 ，为矩形，所以 ，且 ,所以四边形 是平行四边形。故 又 平面 ， 平面 ，则 平面 又 ， ， 平面 ，所以平面 平面 ，
(2)设正方体的棱长为 ，则体积为 ，三棱锥 的体积为 三棱台 的体积为 则火在平面 与平面 之间的几何体的体积为 . 故平面 与平面 把正方体分成的三部分的体积之比为: .
18.(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)不存在，理由见解析.
解:(1)证明:连接 ，因为底面 为平行四边形， 为 的中点，
所以 为 的中点，因为 为 的中点，所以在 中， ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面
(2)因为底面 为平行四边形，所以 ，
因为 平面 平面 ,所以 平面 .
因为平面 与平面 的交线为 平面 ,所以 .
(3)假设在棱 上存在点 (异于点 )，使得 平面 .
在平面 中,过点 作 的平行线 ,交 于 ,
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 ，所以平面 平面 ，因为 平面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，平面 平面 ，所以
另外，在平行四边形 中， 与 不平行，于盾，所以在棱 上不存在点 (异于点 )，使得 平面 .
19.(1)①证明见解析； ；(2)
(1)①设 外接圆半径为 ，由正弦定理得: ，
是锐角三角形，则
所以 . 又因为
所以 则 .
因此 或 ( 合去),所以 .
②因为 为锐角三角形,所以 ,解得, ,则
若 ，则由正弦定理得:
而
代入化简得: ，令 ，此中
则易得: 在 上是单调递增的，所以 ，即 .
所以 的取值范围是

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