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数 学
全卷满分 150 分, 考试时间 120 分钟。
注意事项:
1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3. 选择题用 2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答:字体工整. 笔迹清楚。
4. 考试结束后, 请将试卷和答题卡一并上交。
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。
1. 已知命题 ,则命题 的真假以及否定分别为
A. 真,
B. 真.
C. 假.
D. 假,
2. 集合 . 若 ,则实数
A. 0 B. 2 C. 3 D. -1
3. 某校组织高三年级所有学生参加“一带一路”知识测试,据统计学生的及格率为 ,高三年级中学生的男女比例为 . 男生的及格率为 ,则女生的及格率为
A. B. C. D.
4. 2024 年 12 月 20 日是澳门回归祖国 25 周年纪念日, 现把 2024、12、20、25 这四个数组成一个十位数的偶数, 保持这四个数中原有数字必须相邻, 且顺序不变, 则这样的十位数的偶数的个数为
A. 12 B. 16 C. 18 D. 24
5. 已知向量 ，若 ，则
A. -1 或 B. 1 或 C. -1 或 D. 1 或
6. 若球 是轴截面为正三角形的圆锥 的内切球,则圆锥 的表面积与球 的表面积的比值为
A. B. 3
C. D.
7. 已知原点为 ,椭圆 与直线 交于 两点,线段 的中点为 ,若直线 的斜率为 . 则椭圆 的离心率为
A. B. C. D.
8. 设 是各项均不相同的等比数列 的前 项和. . 则
A. -32 B. -16 C. 16 D. 32
二、选择题:本题共 3 小题、每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要 求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 若 ，则 的值可能是
A. 0 B. -4 C. 2 D.
10. 已知函数 . 则下列四个命题正确的是
A. 函数 在 上是增函数
B. 函数 的图象关于(1,0)中心对称
C. 的图象上任一点处的切线的斜率一定不小于
D. 函数. 的导函数 不存在极小值
11. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 . 过 的直线与 的右支分别交于点 的内切圆半径为 ,则
A.
B.
C.
D.
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分、共 15 分。
12. 若复数 满足 ，则 _____.
13. 函数 在 内有最大值. 没有最小值. 则 的取值范围是_____.
14. 已知 是定义在 上的连续函数, . 若 为奇函数, 为偶函数，且 ，则 _____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。
15.(本小题满分 13 分)
已知 中、内角 所对的边分别为 ，且 .
(1)求 ；
(2)若 ，求 的值.
16.(本小题满分 15 分)
为了检测流感疫苗的免疫效果，对 100 名志愿者注射流感疫苗，一段时间后，测量这 100 名志愿者的体内某项医学指标 ，现作出这 100 名志愿者年龄 与医学指标 ( ， 100)的散点图:
其中，年龄小于 40 岁的志愿者中该项医学指标 -的有 16，人， 的有 32 人；年龄不小于 40 岁的志愿者中该项医学指标 的有 40 人， 的有 12 人.
(1)请完成下面的 列联表,并根据小概率值 的独立性检验,判断能否认为该项医学指标与年龄有关？
年龄 医学指标 合计.
合计
(2)已知这 100 名志愿者年龄与该项医学指标的方差分别为 49 与 400，经计算 关于 的经验回归方程为 ,求变量 与变量 的样本相关系数 ,并判断 与 的相关性强弱.
参考公式: ,其中 .
0.1 0.01 0.005 0.001
2.706 6.635 7.879 10.828
经验回归方程为 ,其中 ,变量 与变量 的样本相关系数 ,若 ,则 与 有较强的相关性.
17. (本小题满分 15 分)
如图，直四棱柱 中，底面 为矩形，且 是 的中点， 、 、 分别是棱 、 、 上的点. 且 .
(1)证明: ；
(2)当 时,求二面角 的大小.
18. (本小题满分 17 分)
已知函数 .
(1)当 时,证明: 在 上存在唯一零点,并求 的零点 的值；
(2)设 ， 为 的两个极值点，
(i) 证实数 的取值范围;
(ii) 证明: .
19. (本小题满分 17 分)
已知点 在抛物线 上,按照如下方法依次构造点 ;过点 作斜率为 -1 的直线与抛物线 交于另一点 ,令 为 关于 轴的对称点,记 的坐标为 .
(1)求 的值；
(2)求证:数列 是等差数列，并求 ， ；。
(3)求 的面积.
参考答案、提示及评分细则
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D D C A C D A
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求。全部选对的得 6 分,部分选对的得部分分,有选错的得 0 分。
题号 9 10 11
答案 CD ABC ACD
1. ,故命题 为真. 又 . 故选 B.
2. 由 知 是 的子集,若 ,则 中有重复元素 0,不合题意舍去; 若 ,则无解; 若 ,则 ,经检验符合题意. 故选 D.
3.D 设女生的及格率为 ，由全概率公式可知 ，解得 . 故选 D.
4. C 25 不能在后两位,所以符合条件的十位数的偶数的个数为 . 故选 C.
5. A 由 知 ,即 ,得 或 ,故 或 ,故选 A.
6. C 设球 半径为 ,圆锥 的底面圆半径为 ,高为 ,因为球 是轴截面为正三角形的圆锥 的内切球,所以 ,所以圆锥 的表面积与球 的表面积之比为 ,故选 C.
7. 设 ,则 ,则 ,两式相减可得 ,即 ,即 ,故 . 故选 D.
8. A 设等比数列 的公比为 ,由 得 ,所以 , 因为 ,所以 ,则 ,而 ,则 ,故 . 故选 A.
9. CD 因为 ,所以 ,当 时 ,当 时 ,故选 CD.
10. 因为 ,所以函数的定义域为 . 因为 , 所以 时, 恒成立,所以 在 为增函数,故 正确; 因为 ,故 ,即 的图象关于点 对称,故 正确; 因为 ,当 时, 为 的最小值,所以 的图象上任一点处的切线的斜率一定不小于 ,故 正确; 有最小值 ，故 D 错误. 故选 ABC.
11. ACD 由题意得 ，由双曲线定义得 ，A 正确；所以 , B错误; 设 ,则 ,由余弦定理得 ,解得 ,所以 , 正确; 点 到 轴距离为 ,所以 ,解得 , D 正确. 故选 ACD.
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 因为 ,所以 ,所以 .
13. 因为 ,所以 ,因为 在 内有最大值,没有最小值,所以 ,即 ,所以 的取值范围是 .
14. -3 因为 为奇函数，所以 ，因为 为偶函数，所以 ，则 ,所以 ,则 ,所以函数 的一个周期为 4,则 . 又 ,所以 ,因为 ,所以 , ,所以 ,则 .
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。
15. 解: (1) 因为 ,
设 ,则 , 2 分
联立解得 , 4 分
由余弦定理得 . 6 分
(2)由 及正弦定理，
得 . 8 分
因为 ,
所以 , 9 分
因为 , 10 分
因为 ,所以 ,
由正弦定理得 ,即 ,
所以 . 13 分
16. 解:(1) 列联表如下:
年龄 医学指标 合计
32 16 48
12 40 52
合计 44 56 100
2 分
零假设为 : 该项医学指标与年龄没关系.
根据列联表中数据，得 ， 5 分
根据小概率值 的独立性检验,推断 不成立,
故该项医学指标与年龄有关. 6 分
(2)由 与 的方差分别为 49 与 400 得， ，
8 分
由 ,得 ,
所以 , 11 分
则 , 14 分
因为 ,所以 与 的相关性较强. 15 分
17.(1)证明:因为 ，所以四边形 是平行四边形，
所以 , 2 分
由题意知该四棱柱是长方体，故 平面 ，所以 平面 ， 3 分而 平面 ,所以 . 4 分
(2)解:建立如图所示的空间直角坐标系 ，则 ， ， ， ， ( ) . 7 分
设平面 的一个法向量为 ,
所以 ,则 ,令 ,得 , 9 分
设平面 的一个法向量为 ,
所以 ,则 ,令 ,得 , 11 分
13 分
由题意知二面角 为钝角，所以其大小为 . 15 分
18.(1)证明:当 时， ，则 ， 1 分令 ,则 ,
当 时， ，此时 单调递增；
当 时， ，此时 单调递减，
所以 ,所以 , 3 分
所以 在 上单调递增, 4 分
因为 ,
所以 在 上存在唯一零点 . 5 分
(2)(i)解:已知 有两个极值点，
易得 有两个零点, 6 分
令 ，则 ，
令 ,即 ,解得 ,
当 时, 在 上单调递减,
当 时, 在 上单调递增,
在 处取得最小值,且 .
若 有两个零点,一定有 ,解得 , 8 分
又易知 时, 时, ,
根据零点存在定理可知，函数 在 上各存在一个零点，
11 分
故 的取值范围为 . 12 分
(ii)证明: 由 (i) 知, ,且 ,
故 ,
故 , 14 分
令 ,
则 , 15 分
当 时, 在 上单调递减,
所以 , 16 分
故 . 17 分
19.(1)解:因为点 在抛物线 上，可得 ，解得 . 2 分
(2)证明:由(1)知: ，即 ，
因为点 在抛物线 上, 所以 ,两式相减得 , 4 分
则 ,可得 , 6 分
可知数列 是以首项为 4,公差为 8 的等差数列, 7 分
则 . 9 分
(3)解:由(2)知 ， 10 分
过 作 轴,垂足为 ,
可得梯形 的面积为: , 12 分
同理可得 , 13 分
且梯形 的面积为: , 15 分
所以 的面积为:
17 分

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