资源简介

数 学
满分 150 分, 考试时间 120 分钟。
注意事项:
1. 答题前,考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、准考证号分别填写在试卷和答题卡规定的位置上。
2. 答选择题时,选出每小题答案后,用 铅笔把答题卡对应题目的答案涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后，再涂其它答案。非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相应的区域内，写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题 目要求的。
1. 复数 在复平面内所对应的点为 ,则
A. B. C. D.
2. 集合 ,则
A. B. C. D.
3. 函数 ,若 ,则 的取值范围为
A. B. C. D.
4. 向量 ,若 与 同向,则
A. B. C. 3 D.
5. 在点 处的切线方程是 ,则
A. -2 B. 0 C. 1 D. 2
6. 某人有 3 种颜色的灯泡 (每种颜色的灯泡足够多), 要在如图所示的图形的 6 个顶点 上各安装一个灯泡,要求同一线段两端的灯泡颜色不同,则不同的安装方法共有
A. 3 种 B. 6 种
C. 12 种 D. 48 种
7. 若 ,则
A. B. C. D. 或
8. 双曲线 的右焦点为 ，过点 且斜率为 的直线与 轴交于点 ,线段 与 交于点 ,若 为 的中点,则 的离心率为
A. B. C. D. 5
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 已知 ,则
A. 的解集为 或
B. 的解集为
C. 当 时, 的最小值为 1
D. 恒成立
10. 函数 的部分图象如图所示,则
A.
B. 在 上单调递减
C. 的表达式可以写成
D. 若关于 的方程 在 上有且只有 3 个实数根,则
11. 抛物线 的焦点为 ,以 为圆心, 为半径得到圆 ,圆 上有一点 . 过点 的直线与 交于 两点,与圆 另交于点 ,则
A. B. 当 时, 的横坐标为 3
C. 当 时, D.
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。
12. 在 中, ,锐角 满足 ,则 _____.
13. ,则 _____.
14. 如图，在三棱锥 中， 平面 ， ， ， ,过点 的平面与 交于点 ,则 _____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. 本小题满分 13 分
已知正方形 的边长为 2,按如下规律构造正方形序列: 取当前正方形各边中点,依次连接各边中点得到新正方形,重复此操作得到一系列正方形. 设第 个正方形与第 个正方形之间的封闭区域为第 个“环域”,记第 个“环域”的面积为 ,初始正方形 为第 1 个正方形.
(1)求数列 的通项公式；
(2)受实际物理测量精度限制，该作图操作无法实现无限次分割，仅可进行有限次作图. 若此分割作图过程可无限延续,则所有依次作出的正方形的面积之和趋近于某一确定常数 ,求这个常数 的值.
16. 本小题满分 15 分
如图所示,已知等腰梯形 中, 是 的中点,将 沿 对折至 ,使得与边长为 2 的菱形 成 的二面角,折叠后发现 .
(1)求点 到平面 的距离；
(2)求二面角 的正弦值.
17. 本小题满分 15 分
某农场现有两种优质作物种子,在相同种植条件下,单位面积产量分别为随机变量 (单位:吨/亩),其分布列为
0.5 1.0
0.8 0.2
0.2 0.8 1.2
0.2 0.5 0.3
(1)若分别用两种种子各种植 100 亩，设 ， 分别为两种作物的总产量，求 ， ；
(2)现将总面积为 100 亩的土地进行种植规划，用 亩种植第一种种子，剩余亩数种植第二种种子, 为两种作物总产量的方差之和,求 的最小值时的 值;
(3)结合期望与方差，从稳产性、总产量、种植风险三个角度，对“全部种植第一种种子”，“全部种植第二种种子”，“按(2)最优比例种植”三种方案进行综合评价，并给出面向农场生产的合理化种植建议.
18. 本小题满分 17 分
设 为坐标原点, 分别是直线 和 上的动点,且 ,动点 满足 ,记动点 的轨迹为曲线 .
(1)求曲线 的方程；
(2) ，过曲线 的中心 作一条直线交曲线 于 ， 两点,求 周长的最小值、 面积的最大值；
(3)若点 是曲线 上异于顶点的任意一点,若 ， ，直线 ， 分别交直线 于点 . 以 为直径的圆是否恒经过 轴上的某两个定点 若经过,求出这两个定点的坐标; 若不经过, 请说明理由.
19. 本小题满分 17 分
已知 为定义在 上的奇函数且连续可导,令 . 当 时, 有 .
(1)讨论 在区间 上的单调性,并证明: 当 时, ;
(2)当 时，解不等式: ；
(3)我们可以找到满足题意的一个函数 . 现在利用这个函数，重新构造函数 ,记 ,若实数 满足 ,证明: .
参考答案
数 学
一、选择题
1.B由复数的几何意义可知 ,故 .
2. ,故 .
3.C由题得 ,令 ,则 为增函数,又 ,故 , 即 的取值范围为 .
4. A由题设知 ,则 ,则 ,则 ,而 ,故 .
5.D ,又 在 处的切线方程是 ,故 ,又 ,故 .
6.C先安装下底面的三个顶点有 种不同的安装方法,再安装上底面的三个顶点有 种不同的安装方法. 由分步乘法计数原理可知,共有 种不同的安装方法.
本题也可以从 点入手,则有 种不同的安装方法.
7.B因为 ,所以 ,而 ,故 ,则 ，故 .
8.C记 ,则 ,则 , ,因为点 在双曲线 上, 则 ,令 ,得 ,化简得 ,又 ,则 , 故离心率 .
二、选择题
9.AC 或 ,故 A 正确; ,且 ,且 ,且 ,故 B 错误; 当 时, ,故 C 正确; ,即 ,故 D 错误.
10.BCD由图知 ,因此 ,故 A 错误;
由五点法可知 ,因此 ,令 ,得经过最大值点的对称轴为 ,故 即 为单调递减区间,故 正确;
由诱导公式可知 ,故 正确;
令 ,故 ,故 ,因为 在 上有且只有 3 个实数根,则 ,故 正确.
11.AC对于 ,圆 ,代入 得 ,故 A 正确;
对于 ,记 ,显然 ,而 , 可得 ,则 ,而 ,解得 , 故 B 错误;
对于 ,由 得 ,此时直线的斜率 ,所以 , 即 ,点 到 的距离 ,故 ,故 C 正确;
对于 ,设直线 方程为 ,由 ,得 ,
,圆 的弦 ,
因此 不一定小于 0, D 错误.
三、填空题
12. 因为 ，则 ，由余弦定理 可得 ， 由正弦定理可得 .
13. ,故 ,
,故 ,
故 ,因此 .
14. 法一(坐标法):如图建立空间直角坐标系 ,
,由 ,
得 ,由 得 ,
即 ,得 ,则 ,
则 .
法二(几何法):由 平面 ， 平面 知 ，由 ，
， 平面 ， 平面 得 平面 ，由 平面 得 ,取 上一点 使得 ,
由余弦定理得 , ,可得 ,由平行线分线段成比例知 ,故 ,故 .
四、解答题
15. 解: (1) 正方形 的面积为 ,故连接各边中点得到的新正方形面积是原正方形的 ,
因此 是首项为 4,公比为 的等比数列,所以 ,
因此 ,故 的通项公式为 .
(2) ,
故当 时, .
16. 解:(1)由题设，可知 ，
取 中点 ,连接 ,故 ,
又 平面 平面 ,
又 平面 ,故 . 故 为平面 与平面 所成二面角的平面角,
. 因为 平面 ,故平面 平面 ,平面 平面 , 过 作 交 于 ,
故 平面 .
,
因此点 到平面 的距离为 .
(2)以 为坐标原点，直线 为 轴， 轴，过 且垂直于平面 的直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
则 .
设平面 的法向量为 ,则 ,即 取 ,
设平面 的法向量为 ,则 ,即 取 , ,
,
所以二面角 的正弦值为 .
17. 解: (1) 由题设得
,
,
,
,
.
(2) ，
故当 时, 取得最小值 300 .
(3)全部种植第一种种子: (吨),
全部种植第二种种子: (吨)，
按(2)最优比例种植: (吨)，
评价: 最优比例种植的方差最小, 为 300 , 稳产性最好, 产量适中; 全部种植第二种种子总产量最高, 但是风险较高.
建议: 若农场追求高产量且能承担较高风险, 可选全种第二种种子; 若更看重稳产, 降低种植风险, 应采用 75 亩种第一种种子, 25 亩种第二种种子的最优比例.
18. 解: (1) 设 ,
,
,
故曲线 的方程为 .
(2) 为曲线 的右焦点，其左焦点 ，根据椭圆的对称性，
的周长为 ,
故当 最小时,周长最小,因此当 轴时周长最小,故最小值为 14 .
,
故当 最大时,面积最大,因此当 轴时面积最大,故最大值为 .
(3)设 ， ， ，
直线 的方程分别为 ,
故 ,
以 为直径的圆的方程为 ,
令 ,得 ,即 ,
解得 或 ,故以 为直径的圆恒经过 轴上的两个定点 .
19. 解: (1) 当 时, 为奇函数. 当 时, ,
在 上单调递增,
为奇函数, 在 上单调递增.
令 ,
在 上单调递增,
.
(2) 等价于
即 ,
,
由(1)知 在 上单调递增, ,即 ,
故原不等式的解集为 .
(3) ,故 在 上单调递增,
,且 ,故 .
要证 ,只需证 ,
只需证 ,
只需证 ,
即证 .
令 ,
令 ,
故 在 上单调递增,
所以 ,故 在 上单调递减,
即 成立,
故 .

展开更多......

收起↑