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高一数学试题
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一个选 项是正确的。请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。
1. 已知 为虚数单位,复数 ，复数 的虚部为( )
A. 1 B. 3 C. i D.
2. 已知向量 满足 ，且 ，则 的值为( )
A. 4 B. 2 C. 8 D. 3
3. 如图，在 中， ， ，若 ，则 ( )
A. B.
C. D.
4. 设 ，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
5. 如图，在半径为 的圆 中，有一条长度为 2 的弦 ，则 ( )
A. 2
B. 4
C. 8
D. 12
6. 函数 ,若 在区间 上单调递减,则实数 的最小值是( )
A. B. C. D.
7. 如图所示，一半径为 4 米的水轮,水轮圆心 距离水面 2 米,已知水轮每 60 秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点 从水中浮现时(图中点 )开始计时，则下列说法错误的是( )
A. 点 距离水面的高度 (米)与时间 (秒)之间的函数解析式为
B. 点 第一次到达最高点需要 20 秒
C. 当水轮转动 95 秒时，点 距离水面 1 米
D. 当水轮转动 50 秒时，点 在水面下方，距离水面 2 米
8. 在锐角 中，角 的对边分别为 ，记 的面积为 ，若 ，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求。
9. 下列说法中正确的说法为( )
A. 若 ，则
B. 在 中，若 ，则
C. 两个非零向量 ，若 ，则 与 共线且反向
D. 若 ，则存在唯一实数 使得
10. 已知函数 的部分图象如图所示,则下列说法正确的是 ( )
A. 函数 的最小正周期为
B.
C. 函数 在 上单调递增
D. 方程 的解为
11. 正方形 的边长为 2, 在 上,且 ,如图,点 是以 为直径的半圆上任意一点， ，则()
A. 最大值为 0.5
B. 最大值为 1
C. 的最大值为
D. 最大值是
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 已知向量 不共线，且向量 ， ，且 ，则 _____.
13. 已知复数 在复平面内对应的点在第三象限，则实数 的取值范围是_____.
14. 已知函数 . 若 , ，则 的取值范围是_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15. (13 分)
如图，已知单位圆 与 轴正半轴交于点 ，点 ， 在单位圆上，其中点 在第一象限， 且 ，记 .
(1)若 ，求点 的坐标；
(2)若点 的坐标为 ，求 的值.
16. (15分)
已知函数 .
(1)求 的单调递增区间；
(2)在 中， ， ， 的面积为 ，求边 的长.
17. (15 分)
已知在 中, 为 中点, .
(1)设 和 的夹角为 ，若 ，求证: ；
(2)若 ，求 .
18. (17 分)
已知 的内角 的对边分别为 ,且 .
(1)求 ；
(2)若 的面积为 .
①已知 为 的中点，求 底边 上中线 长的最小值；
②求内角 的角平分线 长的最大值.
19. (17 分)
如图，设 ，且 ，当 时，定义平面坐标系为 的斜坐标系. 在 的斜坐标系中,任意一点 的斜坐标这样定义: 设 分别为 正方向同向的单位向量, 若向量 ,记向量 . 在 的斜坐标系中.
(1)若向量 ，求 ；
(2)若向量 的斜坐标分别为 和 ，设函数 ，
①若 的根从小到大依次为 ,求 ;
②比较 与 的大小，并说明理由. (参考数据: )
高一数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B D D C A A C D BC ABD BD
12. 13. (-2,1)
14.
11. BD以线段 所在直线为 轴,线段 的中垂线为 轴,建立平面直角坐标系,如图, 则 . 设 ,则 , 由 ,得 ,则 , 解得 对于 ,其中锐角 由 确定, ,则当 时, , A 错误;
对于 ,即 ,当且仅当 时取等号, 正确;
对于 ,则 , 而 ,当 时, 取得最大值为 错误.
对于 ,其中锐角 由 确定, ,则当 时, 取得最大值 , D 正确.
15.(1)因为 ，所以 ，所以点 坐标为 ， ..3 分又因为 ,所以 ,所以点 坐标为 ; .6 分
(2)由 点在单位圆上，得 ，又点 位于第一象限，则 ， ..8 分所以点 的坐标为 ,即 .
所以 ..11 分
所以 . .13 分
16. (1) , .2 分
令 , .4 分
解得 ,
所以函数 的单调递增区间为 .7 分
(2)因为 ，又 为 的内角，则 ，故 ，
所以 ,
所以 . ..10 分
设角 所对边分别为 ,因为 ,由正弦定理得 . ①
因为三角形的面积为 ，所以 .②
由①②解得: ， .13 分
由余弦定理得 ,
所以 ..15 分
17.(1)因为 为 中点，所以 ，
则 . .2 分
根据向量数量积的分配律可得:
已知 ，则 .
代入可得 . 因为 ,所以 ,
即 ..7 分
(2)因为 ，所以
又因为 ,
则 .9 分
那么 ,
展开可得: .11 分
已知 ，根据向量数量积公式 ， ， . 代入可得 ,
所以 . ..15 分
18.(1)因为 ，由正弦定理可得 ，
整理得 , .2 分
则 .5 分
(2) ，所以
① 由题意可得 ，解得 ， ..6 分
由于 ,则
, ..9 分
当且仅当 时取等号,所以 , 11 分
②因为 为角 的角平分线，则 ，
因为 ,则 ,
且 ,则 ,可得 , .13 分
又因为 ，则 ，即 ，
且 ,则 , .15 分
又因为 ,当且仅当 时,等号取得到,
则 ,所以 . .17 分
19.(1)因为向量 ，所以 ，又因为 ，
所以 ,所以 ; ..4 分
(2)①因为向量 ，所以 ，
所以 ,
化简得 ; .6 分
所以 ,化简得 , .8 分
所以 ,则方程 的根等价于 的根,
如图所示,在 的一个周期内,方程根的个数为 3,
因为 ,则当 ,根的个数 , .10 分
② ，理由如下:
令 ,则 ,
又因为 ,所以 ,
又因为 ,所以 ,由零点存在定理可得 , .13 分
由(2)①可知 在 上单调递减，
所以 ,即 ,所以 . .17 分

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