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数学试卷
注意事项:
1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.
2. 每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 在试题卷上作答无效.
3. 考试结束后, 请将本试卷和答题卡一并交回. 满分 150 分, 考试用时 120 分钟.
一、单选题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只 有一项符合题目要求.
1、若复数 ，则
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
2. 若全集 ,则
A. B.
C. D.
3. 已知直线 被圆 截得的弦长为 2,则实数
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
4. 已知两个单位向量 与 的夹角为 ,设 ,则
A. 1 B. C. 2 D. 3
5. 已知随机变量 ,则它对应的频率分布条形图是
6. 如图 1 是由一个扇形和三角形组成的平面区域, ,扇形圆心角 , ，则扇形区域的面积为
图 1
A. B.
C. D.
7. 设 ,若对任意 恒成立,则实数 的取值范围是
A. B. C. D.
8. 已知直线 过抛物线的焦点 ，且与该抛物线交于 . 两点，经过点 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点 ,经过点 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点 E. 若 ，则 与 的面积的比值是
A. B. 3 C. D. 9
二、选择题:本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分:在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分. 有选错的得 0 分.
9. 设函数 是定义在 上的奇函数,若 在区间 上单调,则
A.
B. 的值不唯一
C. 的图象关于 中心对称
D. 的最小正周期是
图 2
10. 如图 2,双曲线 的离心率是 ,左、 右顶点分别为 ,直线 与双曲线交于 , 两点, 与 交于点 ,下列说法正确的是
A. 可能是等腰直角三角形
B. 当 是等边三角形时,
C. 直线 斜率之积为定值
D. 点 在以 为直径的圆上
11. 已知定点 是边长为 的等边三角形. 若动点 到平面 的距离是 1 , 则下列说法正确的是
A. 三棱锥 的体积为定值
B. 点 到平面 的距离的最大值是 6
C. 当点 (异于点 ) 到平面 的距离是 1 时,
D. 若 在一个半径为 5 的球 的球面上,则 的轨迹长度是
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 函数 在区间 上的最大值是_____.
13. 已知一组数据 满足 ,则这组数据的方差是_____.
14. 中,角 所对的边分别为 ,若 的面积是 2,则 的最小值是_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分 13 分)
已知 是数列 的前 项和， ，
(1)命题 :若_____(i)_____，则_____(ii)_____.
① 是以 2 为公差的等差数列；
②对任意 ， .
从①②中选择一个填在(i)，另一个填在(ii)，使得命题 为真命题，并证明.
(若写两种选择，则按第一种选择给分)
(2)在(1)的条件下，求数列 的通项.
16. (本小题满分 15 分)
图 3
如图 3，在多面体 中， 平面 为 中点， .
(1)证明: 平面 ；
(2)当二面角 的正切值为 时，求直线 与平面 所成角的正弦值.
17. (本小题满分 15 分)
已知 ，曲线 的方程是 .
(1)讨论曲线 的形状；
(2)当 时，点 ，点 ，过点 的直线与曲线 有唯一交点 (异于点 ),求证: 平分 .
18. (本小题满分 17 分)
设 是大于 1 的正整数,定义在 上的函数 ,且 恒成立.
(1)求 的值；
(2)设 ，
(I) 求不等式 的解集;
( II ) 设 是正实数,其中 ,且 ,证明: .
19. (本小题满分 17 分)
2021 年 3 月, 滇池绿道作为昆明市十大重点工程之一启动建设. 滇池绿道规划总长 137 公里, 宛如一条璀璨夺目的翡翠项链, 将滇池沿线 43 处主要湿地公园、2 个历史文化名村、20 余处美丽乡村串珠成链, 融滇池美景与人文古韵于一体，徐徐铺展出一幅青绿为底、乡愁点睛、活力涌动的滇池长卷.
骑行爱好者小明已骑行数年, 2026 年初始, 他从滇池绿道沿岸选择了 2 条不同的骑行路线，记为路线 、 ，计划保持每周骑行一次，并制定了两个不同阶段的骑行计划.
第一阶段:第一周从 、 路线中随机选择一个路线，经过统计分析发现，若前一周选择路线 ,则下一周选择路线 的概率为 ; 若前一周选择路线 ,则下一周选择路线 的概率为 .
第二阶段:骑行 30 周，每周从 1~30 这 30 个数字中随机选择一个、若该数字除以 7 余数为 1 或 2 , 则该周选择路线 A, 否则选择路线 B. 每个数字仅使用一次, 直到第 30 个数字抽完.
(1)记小明第一阶段累计 次选择路线 B 骑行共花了 周，比较 的期望 与 的大小; (给出判断即可)
(2)求小明第一阶段第 2 周选择骑行路线 B 的概率；
(3)记小明第二阶段路线 B 骑行次数全部用完为止共花了 Y 周，求随机变量 的期望 .
数学评分细则
一、单选题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A D B B D C D
1. ,故选 C.
2. ,故选 A.
3. 圆 的圆心为 ,半径为 1,直线 被圆截得的弦长为 2,则直线 过圆心 ,得 ,故选 D.
4. 由题意 ,因为 ,所以 , 所以 ,故选 B.
5. ,则 的取值可能是 . 又 ,所以频率分布图形态应是右偏的,故选 B.
6. . 中， , ，由正弦定理得 ，解得 ，扇形区域面积为 ，故选 D.
7. 对任意 . 当 时, 恒成立; 当 时, ,分别作出 和 的图象,结合图象可知,不等式等价于 ,解不等式 ,可得 ,综上,实数 的取值范围是 ,故选 C.
8. 不妨设抛物线方程为 ,直线 ,代入抛物线方程,可得 ,设 ,可知 . 直线 : ,即 ,令 ,得 ,所以 与 轴平行, 且 ,同理可得 与 轴平行,且 . 由 , 与 轴平行, 与 轴平行,可得 ,结合 ,可得 ,所以 , 故选 D.
二、选择题: 本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
题号 9 10 11
答案 AD BCD ABD
9. 函数 是定义在 上的奇函数,则 . 由 可知 的图象关于 轴对称, , . 由 在区间 上单调可知 ,所以 , 的最小正周期是 ,故选 AD.
10. 双曲线 的离心率是 ,所以 ,双曲线 : ,渐近线方程 . 由对称性, 是等腰三角形. 若 是等腰直角三角形，则直线 与 平行，直线 与双曲线不存在两个交点，故 不可能是等腰直角三角形, 不正确; 设 ,则 , ,点 在以 为直径的圆上, 正确; 当 是等边三角形时,因为 ,所以 也是 的中点, 是 的重心, 到 的距离为 , 正确,故选 BCD.
11. 三棱锥 的高为 1,底面积为 ,所以三棱锥 的体积 为定值，A 正确； 的 边上的高最小值为 1，所以 的面积有最小值 ，设点 到平面 的距离为 ，由 ， 得 ，当 取最小值 时， 有最大值 6，B 正确；当点 (异于点 ) 到平面 的距离是 1,且 在平面 异侧时, 与 不平行, 不正确; 设点 到 的距离为 的外接圆圆心为 . 由 是边长为 的等边三角形，可知 外接圆半径为 4， . 因为点 到平面 的距离是 1,所以 的轨迹是以 为半径的圆或是以 为半径的圆,所以 的轨迹长度是 , D 正确,故选 ABD.
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
题号 12 13 14
答案 2 3.6
12. ,当 时, 单调递增; 当 时, , 单调递减; 当 时, 单调递增. 又 ,所以函数 在区间 上的最大值是 2 .
13. 由 可知 的 平 均 数 ,方差
14. 若 的面积是 2,则 ,由余弦定理, 的几何意义为单位圆上的点 与点 连线的斜率,当过点 的直线
与 相切时,即 时, 有最小值 , 有最小值 . 综上,当 时, 有最小值 .
四、解答题(本大题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤)
15. (本小题满分 13 分)
解: 情形一:
(1)选择证明:若 是以 2 为公差的等差数列，则 .
若 是以 2 为公差的等差数列,
则 ,
. (4 分)
当 时, ,
对任意 ， ，
. (8 分)
(2)当 时， ，
当 时， ， 不满足 ，
(13 分)
情形二:
(1)选择证明:若对任意 ， ，则 是以 2 为公差的等差数列.
由 ,得 ,化简得 ,
是以 1 为首项，4 为公比的等比数列， ， (4 分) ,
是以 2 为公差的等差数列. (8 分)
(2) 对任意 .
当 时， ，
当 时， ， 不满足 ，
(13 分)
16. (本小题满分 15 分)
(1)证明:连接 ，如图，
， 为 中点， .
平面 ， 平面 ， .
平面 .
,四边形 是平行四边形, ,
平面 . (6 分)
(2)解: 平面 ， ， ，
即为二面角 的平面角.
不妨设 ，
平面 ， 平面 ，
.
在 中, .
(9 分)
法一:
， 直线 与平面 所成角即为直线 与平面 所成角.
在 中, ,在 中, ,
在 中, ,
设点 到平面 的距离为 ,
(13 分) 设直线 与平面 所成角为 ,
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 . (15 分) 法二:
如图,建立空间直角坐标系, ,
,
,
设平面 的一个法向量为 ,
由 得 取 ,
得 , (13 分)
设直线 与平面 所成角为 ,
则 ,
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 . (15 分)
17. (本小题满分 15 分)
(1)解:当 时，曲线 ，表示圆； (1 分)
当 时, ,曲线 ,表示焦点在 轴上的椭圆;
(3 分)
当 时,曲线 ,表示两条平行于 轴的直线; (4 分) 当 时, ,曲线 ,表示焦点在 轴上的双曲线. (6 分)
(2)证明:当 时，曲线 ， (7 分)
直线 的斜率存在,设其方程为 ,则 ,
联立 ,消去 得 ,
直线与椭圆有唯一交点, ,
解得 , (9 分)
又 , 解得 (舍),或 .
直线 ,
设 ,则 ,即 ,
(12 分)
则 ，
又 ,
所以 ,即 平分 . (15 分)
18.(本小题满分 17 分)
解: (1) 的定义域为 ,
令 ,解得 .
当 时, 单调递增,
当 时, 单调递减,
. (3 分)
令 ,得 ,两边取对数可得 ,解得 ,
是大于 1 的正整数, . (6 分)
(2)(I)由(1)知 ,
要解 ,即解 ,
只需解 .
令 ,
设 ,
令 ,解得 .
当 时, 单调递减;
当 时, 单调递增,
当 时, 有最小值 ,
在 单调递增. (10 分)
又 ,
当 时, ; 当 时, ,
不等式 的解集为 . (12 分)
(II) 对任意 ,
由 (I) 知, 在 单调递增,
,
累加可得 . (17 分)
19. (本小题满分 17 分)
解: (1) 当 时, ; (2 分)
当 时, . (4 分)
(2)设小明第一阶段第 2 周选择骑行路线 B 的概率为 ,
则 . (8 分)
(3) 这 30 个数字中除以 7 余数为 1 或者 2 的有 10 个，
所以有 10 次选择路线 次选择路线 .
的所有可能取值为 ,
(12 分)
.
所以随机变量 的期望是 周. (17 分)

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