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郑州市 2026 年高中毕业年级第二次质量预测 数学试题卷
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 只交答题卡。
第 I 卷(选择题，共 58 分)
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的。
1. 已知复数 ,则
A. 1 B. C. 2 D.
2. 已知集合 ,则
A. B.
C. D.
3. 已知 ,则 的值所在的区间是
A. B. C. D.
4. 已知平面上不共线的四点 ,满足 ,则 在 上的投影向量为
A. B. C. D.
5. 设 是斜三角形的一个内角,则不等式 的解集为
A. B.
C. D.
6. 已知椭圆 ,椭圆上一点 到直线 距离的最大值为 ,则该椭圆的离心率为
A. B. c. D.
7. 已知函数 ,若函数 与函数 的图象的交点有 个,记为 ,则
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 若方程 的三个根 成等比数列,则该数列的公比为
A. B. C. 2 D. 3
二、选择题;本题共3小题,每小题6分,共18分. 在每小题给出的选项中,有多 项符合题目要求. 全部选对的得 6 分,部分选对的得部分分,有选错的得 0 分.
9. 某校 AI 社团组织全校学生参加 AI 伦理与法治素养主题知识竞赛，旨在引导同学们深入学习人工智能伦理规范与相关法律知识, 争做负责任的 AI 技术传播者. 竞赛分为初赛和决赛两个环节, 现从所有初赛成绩 (满分 100 分, 最低分 50 分) 中, 随机调查了部分同学的测试成绩, 按 分组,并绘制出如图所示的频率分布直方图. 下列说法正确的是
A. 的值为 0.04
B. 估计样本成绩的众数约为 85
C. 估计样本成绩的上四分位数约为 87.5
D. 若规定成绩排名前 20% 的同学可入围决赛，估计进入决赛的同学成绩应不低于 90 分
10. 已知函数 ,函数 ,则
A. 当 时,
B. 和 的奇偶性相同
C. 和 的周期相同
D. 和 的最值相同
11. 已知抛物线 为坐标原点,过点 作斜率为 的直线 交抛物线 于 两点,其中 在第一象限,直线 交抛物线 于另一点 ,其中 ,直线 与直线 交于点 . 则
A.
B. 当 时,直线 的方程为
C. 当 四点共圆时,
D. 点 落在定直线 上
第 II 卷(非选择题，共 92 分)
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 函数 的所有极值点之和为_____.
13. 已知 为等差数列,记公差为 ,前 项和为 ,当且仅当 时 取得最大值，则 的取值范围为_____.
14. 已知一个圆锥的底面半径为 5,表面积为 . 若在该圆锥内放入三个半径均为 的球,其中每个球都与其它两个球相切,三个球都与圆锥的底面和侧面也相切，则 _____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分) 如图,在 中, 为 边上的一点,满足 ,且 .
(1)求 ；
(2)若 ，求 的值.
16. (15 分) 如图，在四棱锥 中， 底面 ，平面 平面 ,四棱锥 的体积为 2 .
(1)求证: ；
(2)求平面 与平面 的夹角的余弦值.
17. (15 分) 函数 , e 为自然对数的底数.
(1)当 时,过点 可以作曲线 三条切线,求实数 的取值范围;
(2)若存在 ，使得 对任意 成立，求实数 的取值范围.
18. (17 分) 已知双曲线 的一个焦点到一条渐近线的距离为 1,点 在双曲线 上;
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)设点 是双曲线 上的动点， 是圆 上的动点，且直线 与圆 相切,求 的最小值;
(3)如图， ， 是双曲线 上两点，直线 ， 与 轴分别交于点 ， ，点 在直线 上；若 ， 关于原点对称，且 ，是否存在点 ，使得 为定值; 若存在,求出该定点 的坐标; 若不存在,请说明理由;
19. (17分)某商场举行抽奖活动，箱子里装有标号为 1 到 的 张奖券，不同的奖券标号对应不同的奖品, 标号越大, 奖品越丰厚. 规则如下: 顾客从中有放回地抽取奖券 次,每次抽取一张奖券,抽取结果中标号最大的奖券对应的奖品即为最终奖品,设最终获得的奖品对应的奖券标号为 .
(1)当 ， 时，求最终拿到标号为 3 的奖券的概率和拿到标号为 2 的奖券的概率.
(2)若 .
① 求最终拿到标号不大于 的奖券的概率;
② 求随机变量 的期望 (用 表示).
(3) 当 时,证明: .
郑州市 2026 年高三第二次质量预测数学评分参考
一、选择题(每小题 5 分，共 40 分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C D A C D C A
二、选择题(每小题 6 分，共 18 分)
题号 9 10 11
答案 ABC BD ACD
三、填空题(每小题 5 分，共 15 分)
四、解答题
15. 解: (1) 因为 ，所以 ，
则 ,
即 , .3 分
因为 ,所以 ,
所以 ，即 . ..6 分
(2)不妨令 ，则 ， ，设 ，则 .
在 中,由余弦定理得 ,
即 . ① .9 分
在 中，由余弦定理得 ，即
. ② .11 分
①② 联立，解得 . .13
分
16. 解: (1) 设 ,在平面 内过点 作 ,垂足为 ,
因为平面 平面 ,平面 平面 ,
所以 平面 , .2 分
又 平面 ,所以 , .3 分
因为 平面 平面 ,所以 , .4 分
因为 平面 平面 ,
所以 平面 , .5 分
又因为 平面 ,所以 . .6 分
(2)在 中，由 ，可得 ，
由(1)知 ,则 ,
解得 ， ，所以 ， ，
.8 分
因为 平面 平面 ,所以 ,
以 为 轴建立如图所示空间直角坐标系,
所以 分
.13 分
设平面 的一个法向量为 ,
则 ,取 , .11 分
设平面 的一个法向量为 ,
又 ,
则 ,取 ,
所以 ,
所以平面 与平面 的夹角的余弦值为 . .15 分
17. 解: (1) 当 时, ,设切点
则切线方程为 , .2 分
把 代入得 ,整理得 ,
因为过点 可以作曲线 三条切线,所以 有三个解. .4 分
设 ,令 ,得 或 ,令 ,得 , 所以 在区间 和 上单调递增,在 上单调递减;
,所以当 时, 有三个解,过点 可以作曲线 三条切线. .7 分
(2) 等价于 对任意 成立，令 ，则 .
在 上单调递增,在 上单调递减, 当 时, ,所以存在 ,且当 , 单调递增,当 单调递减.
,又因为 ,所以 ,
.11 分
存在 ,即 ,使得 即可,所以 .
令 ,所以 在 上单调递减,在 上单调递增, . 所以 .
综上,当 时,存在 ,使得 对任意 成立. .15 分
18. 解: (1) 因为焦点到一条渐近线的距离为 1,即 ,又点 在双曲线上,所以 ,解得 . 所以双曲线的方程为 . .5 分
(2)圆 的圆心 ，半径为 .
因为 是圆 上的动点,直线 与圆 相切,所以 .
所以 .
设 ，因为点 是双曲线 上的动点，所以 .
所以 ,
当 时, 取得最小值,此时 ,
所以 . .10 分
(3)由题意知，直线 的斜率存在，设直线 的方程为 .
联立 ,整理得 ,
且 ,
设 ,则 , .12 分
直线 的方程为 ，
令 ,则 ,即 .
同理可得, .
因为 关于原点对称,所以 , .13 分
即 ,
整理得 ,
即 ,
整理得 , .14 分
即 ,
所以 或 . .15 分
若 ,则 ,则直线方程为 ,即 , 此时直线 过点 ,不符合题意.
若 ,则直线方程为 ,恒过定点 , .16 分
所以 为定值，又 ，在 中， 为斜边，
所以当 为 中点 时， .
因此存在点 ,使得 为定值. .17 分
19. 解: (1) 拿到标号为 3 的奖券, ,即至少有一次抽到 3,所以
.2 分
拿到编号为 2 的奖券, ,即没有抽到 3,且至少有一次抽到 2,
没有抽到 3 的概率为 ,没有抽到 3 且全抽到 1 的概率为 ,
所以最终拿到标号为 3 的奖券的概率是 ，最终拿到标号为 2 的奖券的概率是 .
.4 分
(2)① 拿到编号不大于 ， ，即每次抽到的编号都小于等于 .
所以 . .6 分
② ,
.8 分
所以随机变量 的期望
10 分
(3) ,
随机变量 的期望
. .13 分
设 ,
当 时, ,等号成立;
当 时,当 时, 单调递减;
当 时, 单调递增;
所以 , .15 分
设 ,
因为 ,
所以 ,所以 .
综上所述， . .17 分

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