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湖南省娄底市冷水江市2025年中考三模数学试题
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．2024年1月22~26日，某地连续5天的最低气温（单位：℃）分别为，2，3，其中最低的气温是（　　）
A． B． C． D．3
2．人工智能与时代已悄然来临，科技逐渐融入人类生活．下列设计的人工智能图标中，是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．2024年“五一”假期，湖南省共接待游客1849.47万人次，其中省外游客182.5万人次，数据182.5万用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，，点 O在直线上，，交于点G，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．若点在平面直角坐标系的第四象限内，则x 的取值范围在数轴上可表示为（　　）
A． B．
C． D．
7．为了解全班学生的课外阅读情况，班主任王老师随机调查了10名学生，得到他们在某一天 各自课外阅读所用时间的数据，结果用条形统计图表示如下，根据此图可知这10名学生这一天各自课外阅读所用时间组成样本的中位数和众数分别是 （　　）
A．0.5，0.5 B．1，1 C．0.5，1 D．1，1.5
8．已知方程的两个实数根分别为，，则式子的值等于（　　）
A． B．0 C．2 D．6
9．如图，在中，是直径，弦于点E，连接，，．下列结论中，不一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
10．已知二次函数的图象上存在两点，，若对于，始终有，则下列式子正确的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题有8个小题，每小题3分，满分24分）
11．分解因式：3a2﹣12=　 　．
12．端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市以每盒x 元购进一批肉粽，按进价增加20% 作为售价，则肉粽的售价为　 　 元．（用含x 的代数式表示）
13．方程的解为　 　．
14．如图，在平行四边形中，，以点B 为圆心，的长为半径作弧交于点E， 分别以点 C，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交的延长线于点F，则的值为　 　．
15．如图，小辰订购鲜花给奶奶过生日，付款时忘了支付密码后三位数，只记得密码后三位数 是由“2，3，5”这三个数字组成的（不同数位上的数字不同），现随机输入这三个数， 一次就能支付成功的概率为 　 　．
16．甲烷、乙烷、丙烷、丁烷等分子结构相似的一类有机化合物，统称为“烷烃”，烷烃的命名与分子中碳原子的个数有关，下表是“烷烃”化学式的排列规律：
物质 甲烷 乙烷 丙烷 丁烷 戊烷 己烷 ···
化学式 …
则含个碳原子数的“烷烃”的分子式为　 　．
17．如图，已知反比例函数的图象经过斜边的中点D， 且与直角边相交于点C， 点A 在x轴上．若点B的坐标为，则点C的坐标为 　 　．
18．如图，正方形的边长为6，点O 是对角线的中点，正方形的边分别 交于点M，N， 交于点 P，若，则 　 　．
三、解答题（本大题有8个小题，第19题10分，第20题6分，第21~22题每题7分，第23~24题每题8分，第25~26题每题10分，满分66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：
（1）；
（2）
20．如图，与的顶点C 重合，交于点F，已知，． 求证：．
21．“换”出消费新活力，湖南家电启动以旧换新活动．在购买政策限定的新家电时对于以旧换新的消费者，国家给予新家电价格10%的补贴，其中，电脑最高补贴450元，空调最高补贴 300元．某学校分两次更新部分电脑和空调，第一次购买1台电脑和2台空调，补贴前需花费10000元；第二次购买2台电脑和1 台空调，补贴前需花费12200元．
（1）补贴前．学校购买一台电脑和一台空调所需的资金分别是多少元
（2）若该校两次购买的所有电脑和空调均参加以旧换新活动，则一共能获得多少元的国家补贴
22．“湖广熟、天下足”，湖南是有名的鱼米之乡，是新中国成立以来不间断调出稻谷的两个省份之一，为国家粮食安全作出了重要贡献．某校数学社团以“关注粮食安全，传承勤俭美德”为主题开展综合实践活动，在国家统计局官网上收集了粮食产量和播种面积的有关数据，并对数据进行整理和分析．请观察统计图，并回答相应问题：
（1）2022年湖南省粮食播种面积比2021年增加________千公顷；
（2）自2019~2022年间，设湖南省单位面积粮食产量的平均值为，方差为；全国单位面积粮食产量的平均值为，方差为；则________，________；（填写“”或者“”）
（3）国家统计局公布，2023年全国粮食总产量69541万吨，比上一年增长．如果继续保持这个增长率，计算2024年全国粮食总产量约为多少万吨（结果保留整数）？
23．某数学实践活动小组安排了一次主题项目学习，请你利用所学知识回答表格中的问题．
实践主题 数学来源于生活，数学服务于生活
实践目标 运用所学知识进行实地测量，深入探究数学知识
工具准备 测角仪、测距仪、作图工具等
测量方案 【实践场地】 学校有一块三角形池塘，两边，紧靠围墙，为一条笔直小路，无法直接确定池塘的边长，
【实践过程】 ①用测角仪测量围墙与小路所成夹角，； ②用测距仪测量小路的长
【数据收集】 ，，
提出问题 （1）两面围墙的夹角的度数为 ； （2）三角形池塘的面积为多少
深入探讨 （3）如何利用测量数据求出的值
24．如图，是的外接圆，， 点 D 是上一点，连接，延长至点F，连接， 使得．
（1）试判断 与 的位置关系，并说明理由；
（2）若，， 求的长．
25．问题情境
“综合与实践”课上，老师提出如下概念：将三角形纸片折叠，使顶点A 的对应点落在边上点 D 处，折痕为， 若与均为等腰三角形，我们称折痕是的双等腰折痕．
初步尝试：
（1）如图①，若点E，F分别是的边，的中点，求证：折痕是的双等腰折痕；
类比探究：
（2）如图②，在三角形纸片中，，是的双等腰折痕，且点E为的中点，连接，交于点P， 若，，求 的值；
拓展应用：
（3）如图③，在三角形纸片中，是的双等腰折痕，．若是的顶角，折痕，点A到折痕的距离为4，求边的长．
26．在平面直角坐标系中，抛物线（为常数，）的顶点为P，与x轴相交于两点（点A在点B 的左侧），与y轴相交于点C，轴交抛物线于点D．
（1）若，求点B的坐标；
（2）在（1）的条件下，点M 是第一象限内抛物线上的一个动点，设点M 的横坐标为m，连接，若，求m的值；
（3）过点P 作于点F， 若，是否存在抛物线，使得 若存在，求此抛物线的表达式，若不存在，请说明理由
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】有理数大小比较的实际应用
【解析】【解答】解：∵|-6|=6＞|-5|=5＞|-1|=1，
∴，
∴最低的气温是，
故答案为：B.
【分析】根据正数大于负数，几个负数绝对值大的反而小，进行比较即可.
2．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的人工智能图标是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项符合题意；
B、此选项中的人工智能图标既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故选项符合题意；
C、此选项中的人工智能图标既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故选项不符合题意；
D、此选项中的人工智能图标既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故选项不符合题意.
故答案为：A．
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形；把一个平面图形，在平面内绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可逐一判断得出答案.
3．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：数据182.5万用科学记数法表示为.
故答案为：D.
【分析】用科学记数法表示大于10的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此解答即可.
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原计算错误，故不符合题意；
B、，原计算错误，故不符合题意；
C、，原计算正确，故符合题意；
D、，原计算错误，故不符合题意.
故答案为：C．
【分析】根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断A选项；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可判断B选项；根据幂的乘方，底数不变，指数相乘可判断C选项；根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断D选项.
5．【答案】C
【知识点】垂线的概念；对顶角及其性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，即，
∴；
故答案为：C．
【分析】根据垂直定义及角的和差求出∠BOE=58°，由二直线平行，同旁内角互补求出∠OGD=122°，最后根据对顶角相等求出∠CGE的度数.
6．【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；点的坐标与象限的关系；数形结合
【解析】【解答】解：由点在平面直角坐标系的第四象限内，可知：，
解得：；
则x的取值范围在数轴上的表示为
故答案为：C．
【分析】由第四项象限的点横坐标为正数，纵坐标为负数列出关于字母x的不等式组，分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集，进而根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式组的解集在数轴上表示出来即可判断得出答案.
7．【答案】B
【知识点】条形统计图；中位数；众数
【解析】【解答】解：由统计图得
中间两个数都是，
中位数是；
出现次数最多是数据是1，
众数是1.
故答案为：B．
【分析】在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此结合条形统计图提供的信息解答即可.
8．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-化简代入求值
【解析】【解答】解：由可得：，
∴；
故答案为：B．
【分析】设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，利用一元二次方程根与系数x1+x2=，，求出， 然后利用多项式乘以多项式法则将待求式子展开后整体代入计算即可.
9．【答案】C
【知识点】垂径定理；圆周角定理；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：A、∵是的直径，∴，故此选项结论一定正确，不符合题意；
B、∵，AB是圆O的直径，∴，故此选项结论一定正确，不符合题意；
C、∵OB=OC，∴∠B=∠BCO，但题目中给出的条件不能证出∠B=∠BOC，故此选项结论不一定正确，符合题意；
D、∵∠A与∠BOC分别是弧BC所对的圆周角与圆心角，
∴， 此选项结论一定正确，不符合题意.
故答案为：C．
【分析】由直径所对的圆周角为直角可判断A选项；根据垂直弦的直径平分弦可判断B选项；根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可判断D选项；根据等边对等角可判断C选项.
10．【答案】A
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；分类讨论
【解析】【解答】解：设抛物线的对称轴为直线：，
∵，，始终有，
∴，
①当时，
∴，
∴当时，，始终有，
②当时，
∴，
∴，
∴当时，，始终有，
③当时，
∴，
∴，
∴不成立．
∴，，始终有，则或，
∴或，
∴或且，
故答案为：A．
【分析】先由对称轴直线公式得出抛物线的对称轴直线为，由于抛物线y=ax2+bx+c中a＜0，故抛物线开口向下，抛物线上离对称轴距离越近的点的纵坐标越大 ，据此结合1＜x1＜2＜x2＜3时，始终有y1＜y2可得|3-x|＜|x-2|，然后分当x≥3，2≤x＜3及x＜2三种情况分别列出含绝对值符号的不等式，求解即可判断得出答案.
11．【答案】3（a+2）（a﹣2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：3a2﹣12=3（a+2）（a﹣2）．
【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
12．【答案】1.2x
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：由题意可知肉粽的售价为元；
故答案为：1.2x．
【分析】根据售价=进价×（1+增加的百分比）列出式子，再将20%转化为小数进行化简即可.
13．【答案】x=2
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：
去分母得：，
移项、合并同类项得：；
经检验：是原方程的解；
故答案为：x=2．
【分析】根据两内项之积等于两外项之积将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出原方程根的情况.
14．【答案】1
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由题意可得：平分，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：1．
【分析】由作图过程可得BP平分∠EBC，BE=BC，由角平分线的定义得∠EBF=∠CBF；由平行四边形的对边平行且相等得出AD=BC，AD∥BC，由二直线平行，内错角相等得∠EFB=∠CBF，则∠EBF=∠EFB，由等角对等边得出BE=EF=AD，由线段构成及等量减去等量差相等得出AE=DF，从而即可求出两线段比值.
15．【答案】
【知识点】用列举法求概率
【解析】【解答】解：现随机输入这三个数，有235、253、325、352、523、532，共6种可能，那么一次就能支付成功的概率为；
故答案为：．
【分析】利用列举法列举出由“2，3，5”这三个数字组成的 （不同数位上的数字不同） 所有等可能的三位数，而“一次支付成功”意味着输入的三位数恰好是密码的正确组合，由于密码是唯一的（只有一个正确的三位数），从而得出符合条件的结果只有1种，最后根据概率公式计算即可.
16．【答案】
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：设碳原子的数目为（为正整数）时，氢原子的数目为，
由表可知：碳原子的数目为1、2、3……，
当时，，
时，，
时，，
……
∴，
∴含个碳原子数的“烷烃”的分子式为．
故答案为：.
【分析】设碳原子的数目为（为正整数）时，氢原子的数目为，观察表格列出部分物质碳原子数目与氢原子数目，发现变化规律为“”，依此规律即可得出答案.
17．【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：∵点D是的中点，且点，
∴点，即，
∴，
∴反比例函数解析式为，
∵轴，
∴点C的横坐标为8，
∴，
∴点C的坐标为；
故答案为：．
【分析】利用中点坐标公式求出D(4，3)，然后利用待定系数法求出反比例函数解析式，根据点的坐标与图形性质可得点C的横坐标为8，将x=8代入所求的反比例函数解析式算出对应的函数值即可得到点C的坐标.
18．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；正方形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形，是正方形，
∴
∴四点共圆，
∵是正方形的对角线，
∴
∴
∵
∴
∴
∵正方形的边长为6，
∴
∵是的中点，
∴，
设，过点作于点，
∴，
过点O作于点R，则
∵
∴，
∴
∴，即
又
∴，
解得，，
∴
在上取一点，使，
∴
∴，
∴
∴，
解得，，
∴
∴
故答案为：．
【分析】由正方形的四个内角都是直角可得，由确定圆的条件得出点O、M、C、N四点共圆；由正方形对角线平分一组对角及同弧所对圆周角相等得出∠ONM=∠OCM=45°，由直角三角形两锐角互余求出∠MNC=75°，由角的构成推出∠CNO=120°，由勾股定理及中点定义求出；设，过点作于点，由等腰直角三角形的性质得；过点O作于点R，则，由四边形内角和定理得，由角的构成求得，根据含30°角直角三角形的性质及勾股定理求得；在上取一点，使，由等边对等角及三角形外角性质求得∠PQT=30°，根据含30°角直角三角形的性质及勾股定理求得，，然后根据CM=CT+QT+QM建立方程，可求出，从而即可得出PC的长，最后根据OP=OC-PC可算出答案．
19．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】分式的混合运算；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先代入特殊锐角三角函数值，然后根据二次根式性质、有理数乘方运算法则、绝对值性质分别化简，再计算二次根式乘法，最后计算实数加减法运算即可；
（2）把括号内的整式1看成“”，利用同分母分式加法法则计算括号内的部分，同时利用完全平方公式将除式的分母分解因式，并根据除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，进而计算分式乘法，约分化简即可.
20．【答案】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】由二直线平行，同位角相等得∠A=∠CFD，由等边对等角得∠CFD=∠D，则∠D=∠A，从而利用“SAS”证明△ABC≌△DCE即可.
21．【答案】（1）解：设补贴前学校购买一台电脑所需资金为x元，一台空调所需资金为y元，由题意得：
，
解得：；
答：补贴前学校购买一台电脑所需资金为4800元，一台空调所需资金为2600元．
（2）解：由题意及（1）可得：（元），（元），
∴电脑以旧换新每台价格为450元，空调以旧换新每台价格为260元，
∴（元）；
答：一共能获得2130元的国家补贴．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设补贴前学校购买一台电脑所需资金为x元，一台空调所需资金为y元，根据单价乘以数量等于总价及“ 第一次购买1台电脑和2台空调，补贴前需花费10000元；第二次购买2台电脑和1 台空调，补贴前需花费12200元”列出关于字母x、y的二元一次方程组，求解即可；
（2）结合（1）的结论及题意（ 理论值超过最高补贴，取最高值，当理论值未超过最高补贴时取理论值）求出电脑以旧换新每台价格为450元，空调以旧换新每台价格为260元，然后根据总补贴等于购买电脑补贴加购买空调补贴，列式计算即可.
22．【答案】（1）
（2），；
（3）解：2024 年全国粮食总产量（万吨），
答： 2024 年全国粮食总产量70445万吨
【知识点】条形统计图；折线统计图；平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：（1）由图②可知，2021 年播种面积是 4758.4 千公顷 ，2022 年播种面积是 4765.5 千公顷，
∴ 2022年湖南省粮食播种面积比2021年增加 4765.5 - 4758.4 =7.1，公顷，
故答案为：7.1；
（2）由图①可知，湖南省单位面积粮食产量数据（单位：公斤 / 公顷），2019 - 2022 年分别为 6444、6431、6461、6333，
全国单位面积粮食产量数据（单位：公斤 / 公顷）2019 - 2022 年分别为 5720、5734、5805、5801，
∴==6417.25（公斤 / 公顷），=≈5765.18（公斤 / 公顷），
∴＞，
由图可知，湖南省单位面积粮食产量数据波动相对较大 ，全国单位面积粮食产量数据相对更集中，
∴，
故答案为：，.
【分析】（1）从图②提取有关数据信息即可得出答案；
（2）根据平均数的概念分别求得和，即可得出答案；由图①可知，湖南省单位面积粮食产量数据波动相对较大 ，全国单位面积粮食产量数据相对更集中，即可得出答案；
（3）根据增长后的量 = 增长前的量 ×（1+增长率）进而即可得出答案．
（1）解：从 “2019 - 2022 年湖南省粮食播种面积” 统计图中获取数据，2021 年播种面积是 4758.4 千公顷 ，2022 年播种面积是 4765.5 千公顷．
增加的面积千公顷．
故答案为：；
（2）解：湖南省单位面积粮食产量数据（单位：公斤 / 公顷）2019 - 2022 年分别为 6444、6431、6461、6333．
其平均值．
全国单位面积粮食产量数据（单位：公斤 / 公顷）2019 - 2022 年分别为 5720、5734、5805、5801．
其平均值．
所以．
观察数据，湖南省单位面积粮食产量数据波动相对较大 ，全国单位面积粮食产量数据相对更集中，所以．
故答案为：，；
（3）解：已知 2023 年全国粮食总产量万吨，增长率．
所以2024 年全国粮食总产量（万吨）
23．【答案】（1）
解：（2）过点C作于点F，如图所示：
由（1）可知：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）过点A作于点G，如图所示：
由（2）可得：，，
∴，
∴，
∴．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
∵，
∴；
故答案为：45°；
【分析】（1）根据邻补角求出∠BAC=30°，然后根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得∠ABC=∠ACD-∠BAC，从而代值计算即可；
（2）过点C作于点F，根据∠BAC的正弦函数及特殊锐角三角函数值求出CF的长，由 ∠ BAC的余弦函数及特殊锐角三角函数值求出AF的长，由等腰直角三角形性质求出BF=CF，然后根据线段和差由AB=AF+BF算出AB的长，进而利用三角形面积公式列式计算即可；
（3）过点A作于点G，由等腰直角三角形性质得出AG=BG，由∠ABC的正弦函数及特殊锐角三角函数值算出AG，再根据线段和差求出CG，最后在Rt△ACG中，利用正切函数的定义即可求出tan75°的值.
24．【答案】（1）解： 与相切，理由如下：
∵是的外接圆，，
∴是直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
即，
∴ 与相切
（2）解：在中，，
∵
∴，
∴，
∴
连接，，作于点H，则
∵，
∴
∴
∴，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴BD=CD，
又∵DH⊥BC，
∴垂直平分，
∵
∴在的垂直平分线上，
∴D、H、O三点共线，
∴
∴
【知识点】垂径定理；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由由圆周角定理及弧、弦、圆心角的关系判断出AB是圆的直径，再根据直径所对的圆周角为90°得出∠ADB=90°，由直角三角形两锐角互余、等量代换及角的构成可推出∠BAF=90°，从而根据垂直半径外端点的直线就是圆的切线可得结论；
（2）在Rt△ABF中，利用勾股定理算出BF=5，由等面积法求出AD的长，进而再在Rt△ADB中，利用勾股定理算出BD的长，然后根据线段和差算出DF的长；连接，，作于点H，则，由有两组角相等的两个三角形相似证明，由相似三角形对应边成比例建立方程得到；由直角三角形两锐角互余、角的构成、同角的余角相等及同弧所对的圆周角相等可推出∠AFB=∠BCD，由等量代还得出∠DBC=∠BCD，由等角对等边得出BD=CD，由等腰三角形的三线合一得出DH垂直平分BC，然后根据到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，可证明D、H、O三点共线，得到，由勾股定理即可求出的长．
25．【答案】（1）证明：由折叠可知：，
∵点E，F分别是的边，的中点，
∴，
∴，
∴与均为等腰三角形，
∴折痕是的双等腰折痕；
（2）解：∵是的双等腰折痕，
∴与均为等腰三角形，
∵点E为的中点，且，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由折叠可知：，
∴点F是的中点，
∴，
∴，
∵，，
∴由勾股定理可得，
∴，
过点E作于点M，如图所示：
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：由折叠可知：，
∵，
∴，
∴四边形是菱形，
连接，交于点H，过点F作于点N，如图所示：
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的双等腰折痕，
∴与均为等腰三角形，
∵是的顶角，
∴∠BED=∠BDE，
∵在菱形中，，DF∥AE，
∴ ∠BDE=∠C=∠DFC=∠BAC=∠BED，
∴，
过点D作于点R，
∴，
∴，
∴
【知识点】菱形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）由折叠性质得，由中点定义得AE=BE，AF=FC，则，然后根据等腰三角形定义可得△BDE与△CDF都是等腰三角形，进而根据新定义即可得出结论；
（2）由题意易得与均为等腰三角形，由中点定义及折叠性质可推出BE=ED，由等边对等角得，由折叠性质、直角三角形两锐角互余、平角定义及等角的余角相等推出∠C=∠FDC，由等角对等边得出FD=FC，结合折叠推出AF=FC，由三角形中位线定理得出EF∥BC，且EF=BC，由平行于三角形一边的直线截其它两边延长线，所截三角形与原三角形相似得出；在Rt△ABC中，利用勾股定理算出BC=10，由余弦函数定义求出；过点E作于点M，由等哟啊三角形的三线合一得出BD=2BM，在Rt△BME中，由∠ABC的余弦函数求出BM，从而可得BM的长，最后根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方求解即可；
（3）由折叠及已知得AE=ED=FD=AF，由四边相等的四边形是菱形得出四边形AEDF是菱形；连接，交于点H，过点F作于点N，由菱形对角线垂直平分得，由勾股定理得AE=ED=DF=AF=5，根据菱形面积公式及等面积法求出FN，再利用勾股定理算出AN，则；由菱形对边平行得ED∥AC，DF∥AE由平行线性质推出∠BDE=∠C=∠DFC=∠BAC=∠BED，由等角对等边得出FD=DC=5；过点D作DR⊥AC于点R，由等腰三角形的三线合一及等角同名三角函数值相等可求出CR，进而得到FC，最后根据线段和差可算出AC.
26．【答案】（1）解：当，抛物线解析式为，
令，则，
整理得，
，，
点A在点B的左侧，
，．
（2）解：设点坐标为，过点作轴于点交于点，如图所示，
当，，
，
，，
，
轴，，
，
四边形为矩形，
，，
，
，即
将代入，即，
整理得，
解得，（舍去），
．
（3）解：存在，理由如下，
，即，
抛物线，即为，
设，，则为方程的两个根，
，，
，
，
令，得，即，
，，
顶点，
，
，，
，
，
整理得，
解得，（舍去）
，，
故存在抛物线，使得．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与坐标轴的交点问题；矩形的判定与性质；解直角三角形—边角关系；数形结合
【解析】【分析】（1）易得抛物线解析式为，零抛物线解析式中的y=0算出对应的x的值即可求得点B的坐标；
（2）点坐标为，过点作轴于点交于点，令（1）中抛物线解析式中的x=0算出y的值可得点C(0，2)，由由直角三角形两锐角互余、结合已知及同角的余角相等推出；由三个内角为直角的四边形是矩形得四边形CEFO为矩形，由矩形对边相等得CE=OF=m，ME=n-2；由正切函数定义求得求得，由等角同名三角函数值相等可得，即，从而可用含m的式子表示出点M的坐标，将点M的坐标代入抛物线解析式求解即可；
（3）若，则抛物线为，设，，则为方程的两个根，利用根与系数的关系得到，，利用，得到；求得，顶点，由两点间距离公式表示出PF、CF，代入，解方程即可求解.
1 / 1湖南省娄底市冷水江市2025年中考三模数学试题
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．2024年1月22~26日，某地连续5天的最低气温（单位：℃）分别为，2，3，其中最低的气温是（　　）
A． B． C． D．3
【答案】B
【知识点】有理数大小比较的实际应用
【解析】【解答】解：∵|-6|=6＞|-5|=5＞|-1|=1，
∴，
∴最低的气温是，
故答案为：B.
【分析】根据正数大于负数，几个负数绝对值大的反而小，进行比较即可.
2．人工智能与时代已悄然来临，科技逐渐融入人类生活．下列设计的人工智能图标中，是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的人工智能图标是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项符合题意；
B、此选项中的人工智能图标既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故选项符合题意；
C、此选项中的人工智能图标既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故选项不符合题意；
D、此选项中的人工智能图标既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故选项不符合题意.
故答案为：A．
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形；把一个平面图形，在平面内绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可逐一判断得出答案.
3．2024年“五一”假期，湖南省共接待游客1849.47万人次，其中省外游客182.5万人次，数据182.5万用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：数据182.5万用科学记数法表示为.
故答案为：D.
【分析】用科学记数法表示大于10的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此解答即可.
4．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原计算错误，故不符合题意；
B、，原计算错误，故不符合题意；
C、，原计算正确，故符合题意；
D、，原计算错误，故不符合题意.
故答案为：C．
【分析】根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断A选项；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可判断B选项；根据幂的乘方，底数不变，指数相乘可判断C选项；根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断D选项.
5．如图，，点 O在直线上，，交于点G，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂线的概念；对顶角及其性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，即，
∴；
故答案为：C．
【分析】根据垂直定义及角的和差求出∠BOE=58°，由二直线平行，同旁内角互补求出∠OGD=122°，最后根据对顶角相等求出∠CGE的度数.
6．若点在平面直角坐标系的第四象限内，则x 的取值范围在数轴上可表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；点的坐标与象限的关系；数形结合
【解析】【解答】解：由点在平面直角坐标系的第四象限内，可知：，
解得：；
则x的取值范围在数轴上的表示为
故答案为：C．
【分析】由第四项象限的点横坐标为正数，纵坐标为负数列出关于字母x的不等式组，分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集，进而根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式组的解集在数轴上表示出来即可判断得出答案.
7．为了解全班学生的课外阅读情况，班主任王老师随机调查了10名学生，得到他们在某一天 各自课外阅读所用时间的数据，结果用条形统计图表示如下，根据此图可知这10名学生这一天各自课外阅读所用时间组成样本的中位数和众数分别是 （　　）
A．0.5，0.5 B．1，1 C．0.5，1 D．1，1.5
【答案】B
【知识点】条形统计图；中位数；众数
【解析】【解答】解：由统计图得
中间两个数都是，
中位数是；
出现次数最多是数据是1，
众数是1.
故答案为：B．
【分析】在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此结合条形统计图提供的信息解答即可.
8．已知方程的两个实数根分别为，，则式子的值等于（　　）
A． B．0 C．2 D．6
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-化简代入求值
【解析】【解答】解：由可得：，
∴；
故答案为：B．
【分析】设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，利用一元二次方程根与系数x1+x2=，，求出， 然后利用多项式乘以多项式法则将待求式子展开后整体代入计算即可.
9．如图，在中，是直径，弦于点E，连接，，．下列结论中，不一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂径定理；圆周角定理；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：A、∵是的直径，∴，故此选项结论一定正确，不符合题意；
B、∵，AB是圆O的直径，∴，故此选项结论一定正确，不符合题意；
C、∵OB=OC，∴∠B=∠BCO，但题目中给出的条件不能证出∠B=∠BOC，故此选项结论不一定正确，符合题意；
D、∵∠A与∠BOC分别是弧BC所对的圆周角与圆心角，
∴， 此选项结论一定正确，不符合题意.
故答案为：C．
【分析】由直径所对的圆周角为直角可判断A选项；根据垂直弦的直径平分弦可判断B选项；根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可判断D选项；根据等边对等角可判断C选项.
10．已知二次函数的图象上存在两点，，若对于，始终有，则下列式子正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；分类讨论
【解析】【解答】解：设抛物线的对称轴为直线：，
∵，，始终有，
∴，
①当时，
∴，
∴当时，，始终有，
②当时，
∴，
∴，
∴当时，，始终有，
③当时，
∴，
∴，
∴不成立．
∴，，始终有，则或，
∴或，
∴或且，
故答案为：A．
【分析】先由对称轴直线公式得出抛物线的对称轴直线为，由于抛物线y=ax2+bx+c中a＜0，故抛物线开口向下，抛物线上离对称轴距离越近的点的纵坐标越大 ，据此结合1＜x1＜2＜x2＜3时，始终有y1＜y2可得|3-x|＜|x-2|，然后分当x≥3，2≤x＜3及x＜2三种情况分别列出含绝对值符号的不等式，求解即可判断得出答案.
二、填空题（本大题有8个小题，每小题3分，满分24分）
11．分解因式：3a2﹣12=　 　．
【答案】3（a+2）（a﹣2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：3a2﹣12=3（a+2）（a﹣2）．
【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
12．端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市以每盒x 元购进一批肉粽，按进价增加20% 作为售价，则肉粽的售价为　 　 元．（用含x 的代数式表示）
【答案】1.2x
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：由题意可知肉粽的售价为元；
故答案为：1.2x．
【分析】根据售价=进价×（1+增加的百分比）列出式子，再将20%转化为小数进行化简即可.
13．方程的解为　 　．
【答案】x=2
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：
去分母得：，
移项、合并同类项得：；
经检验：是原方程的解；
故答案为：x=2．
【分析】根据两内项之积等于两外项之积将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出原方程根的情况.
14．如图，在平行四边形中，，以点B 为圆心，的长为半径作弧交于点E， 分别以点 C，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交的延长线于点F，则的值为　 　．
【答案】1
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由题意可得：平分，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：1．
【分析】由作图过程可得BP平分∠EBC，BE=BC，由角平分线的定义得∠EBF=∠CBF；由平行四边形的对边平行且相等得出AD=BC，AD∥BC，由二直线平行，内错角相等得∠EFB=∠CBF，则∠EBF=∠EFB，由等角对等边得出BE=EF=AD，由线段构成及等量减去等量差相等得出AE=DF，从而即可求出两线段比值.
15．如图，小辰订购鲜花给奶奶过生日，付款时忘了支付密码后三位数，只记得密码后三位数 是由“2，3，5”这三个数字组成的（不同数位上的数字不同），现随机输入这三个数， 一次就能支付成功的概率为 　 　．
【答案】
【知识点】用列举法求概率
【解析】【解答】解：现随机输入这三个数，有235、253、325、352、523、532，共6种可能，那么一次就能支付成功的概率为；
故答案为：．
【分析】利用列举法列举出由“2，3，5”这三个数字组成的 （不同数位上的数字不同） 所有等可能的三位数，而“一次支付成功”意味着输入的三位数恰好是密码的正确组合，由于密码是唯一的（只有一个正确的三位数），从而得出符合条件的结果只有1种，最后根据概率公式计算即可.
16．甲烷、乙烷、丙烷、丁烷等分子结构相似的一类有机化合物，统称为“烷烃”，烷烃的命名与分子中碳原子的个数有关，下表是“烷烃”化学式的排列规律：
物质 甲烷 乙烷 丙烷 丁烷 戊烷 己烷 ···
化学式 …
则含个碳原子数的“烷烃”的分子式为　 　．
【答案】
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：设碳原子的数目为（为正整数）时，氢原子的数目为，
由表可知：碳原子的数目为1、2、3……，
当时，，
时，，
时，，
……
∴，
∴含个碳原子数的“烷烃”的分子式为．
故答案为：.
【分析】设碳原子的数目为（为正整数）时，氢原子的数目为，观察表格列出部分物质碳原子数目与氢原子数目，发现变化规律为“”，依此规律即可得出答案.
17．如图，已知反比例函数的图象经过斜边的中点D， 且与直角边相交于点C， 点A 在x轴上．若点B的坐标为，则点C的坐标为 　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：∵点D是的中点，且点，
∴点，即，
∴，
∴反比例函数解析式为，
∵轴，
∴点C的横坐标为8，
∴，
∴点C的坐标为；
故答案为：．
【分析】利用中点坐标公式求出D(4，3)，然后利用待定系数法求出反比例函数解析式，根据点的坐标与图形性质可得点C的横坐标为8，将x=8代入所求的反比例函数解析式算出对应的函数值即可得到点C的坐标.
18．如图，正方形的边长为6，点O 是对角线的中点，正方形的边分别 交于点M，N， 交于点 P，若，则 　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；正方形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形，是正方形，
∴
∴四点共圆，
∵是正方形的对角线，
∴
∴
∵
∴
∴
∵正方形的边长为6，
∴
∵是的中点，
∴，
设，过点作于点，
∴，
过点O作于点R，则
∵
∴，
∴
∴，即
又
∴，
解得，，
∴
在上取一点，使，
∴
∴，
∴
∴，
解得，，
∴
∴
故答案为：．
【分析】由正方形的四个内角都是直角可得，由确定圆的条件得出点O、M、C、N四点共圆；由正方形对角线平分一组对角及同弧所对圆周角相等得出∠ONM=∠OCM=45°，由直角三角形两锐角互余求出∠MNC=75°，由角的构成推出∠CNO=120°，由勾股定理及中点定义求出；设，过点作于点，由等腰直角三角形的性质得；过点O作于点R，则，由四边形内角和定理得，由角的构成求得，根据含30°角直角三角形的性质及勾股定理求得；在上取一点，使，由等边对等角及三角形外角性质求得∠PQT=30°，根据含30°角直角三角形的性质及勾股定理求得，，然后根据CM=CT+QT+QM建立方程，可求出，从而即可得出PC的长，最后根据OP=OC-PC可算出答案．
三、解答题（本大题有8个小题，第19题10分，第20题6分，第21~22题每题7分，第23~24题每题8分，第25~26题每题10分，满分66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：
（1）；
（2）
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】分式的混合运算；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先代入特殊锐角三角函数值，然后根据二次根式性质、有理数乘方运算法则、绝对值性质分别化简，再计算二次根式乘法，最后计算实数加减法运算即可；
（2）把括号内的整式1看成“”，利用同分母分式加法法则计算括号内的部分，同时利用完全平方公式将除式的分母分解因式，并根据除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，进而计算分式乘法，约分化简即可.
20．如图，与的顶点C 重合，交于点F，已知，． 求证：．
【答案】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】由二直线平行，同位角相等得∠A=∠CFD，由等边对等角得∠CFD=∠D，则∠D=∠A，从而利用“SAS”证明△ABC≌△DCE即可.
21．“换”出消费新活力，湖南家电启动以旧换新活动．在购买政策限定的新家电时对于以旧换新的消费者，国家给予新家电价格10%的补贴，其中，电脑最高补贴450元，空调最高补贴 300元．某学校分两次更新部分电脑和空调，第一次购买1台电脑和2台空调，补贴前需花费10000元；第二次购买2台电脑和1 台空调，补贴前需花费12200元．
（1）补贴前．学校购买一台电脑和一台空调所需的资金分别是多少元
（2）若该校两次购买的所有电脑和空调均参加以旧换新活动，则一共能获得多少元的国家补贴
【答案】（1）解：设补贴前学校购买一台电脑所需资金为x元，一台空调所需资金为y元，由题意得：
，
解得：；
答：补贴前学校购买一台电脑所需资金为4800元，一台空调所需资金为2600元．
（2）解：由题意及（1）可得：（元），（元），
∴电脑以旧换新每台价格为450元，空调以旧换新每台价格为260元，
∴（元）；
答：一共能获得2130元的国家补贴．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设补贴前学校购买一台电脑所需资金为x元，一台空调所需资金为y元，根据单价乘以数量等于总价及“ 第一次购买1台电脑和2台空调，补贴前需花费10000元；第二次购买2台电脑和1 台空调，补贴前需花费12200元”列出关于字母x、y的二元一次方程组，求解即可；
（2）结合（1）的结论及题意（ 理论值超过最高补贴，取最高值，当理论值未超过最高补贴时取理论值）求出电脑以旧换新每台价格为450元，空调以旧换新每台价格为260元，然后根据总补贴等于购买电脑补贴加购买空调补贴，列式计算即可.
22．“湖广熟、天下足”，湖南是有名的鱼米之乡，是新中国成立以来不间断调出稻谷的两个省份之一，为国家粮食安全作出了重要贡献．某校数学社团以“关注粮食安全，传承勤俭美德”为主题开展综合实践活动，在国家统计局官网上收集了粮食产量和播种面积的有关数据，并对数据进行整理和分析．请观察统计图，并回答相应问题：
（1）2022年湖南省粮食播种面积比2021年增加________千公顷；
（2）自2019~2022年间，设湖南省单位面积粮食产量的平均值为，方差为；全国单位面积粮食产量的平均值为，方差为；则________，________；（填写“”或者“”）
（3）国家统计局公布，2023年全国粮食总产量69541万吨，比上一年增长．如果继续保持这个增长率，计算2024年全国粮食总产量约为多少万吨（结果保留整数）？
【答案】（1）
（2），；
（3）解：2024 年全国粮食总产量（万吨），
答： 2024 年全国粮食总产量70445万吨
【知识点】条形统计图；折线统计图；平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：（1）由图②可知，2021 年播种面积是 4758.4 千公顷 ，2022 年播种面积是 4765.5 千公顷，
∴ 2022年湖南省粮食播种面积比2021年增加 4765.5 - 4758.4 =7.1，公顷，
故答案为：7.1；
（2）由图①可知，湖南省单位面积粮食产量数据（单位：公斤 / 公顷），2019 - 2022 年分别为 6444、6431、6461、6333，
全国单位面积粮食产量数据（单位：公斤 / 公顷）2019 - 2022 年分别为 5720、5734、5805、5801，
∴==6417.25（公斤 / 公顷），=≈5765.18（公斤 / 公顷），
∴＞，
由图可知，湖南省单位面积粮食产量数据波动相对较大 ，全国单位面积粮食产量数据相对更集中，
∴，
故答案为：，.
【分析】（1）从图②提取有关数据信息即可得出答案；
（2）根据平均数的概念分别求得和，即可得出答案；由图①可知，湖南省单位面积粮食产量数据波动相对较大 ，全国单位面积粮食产量数据相对更集中，即可得出答案；
（3）根据增长后的量 = 增长前的量 ×（1+增长率）进而即可得出答案．
（1）解：从 “2019 - 2022 年湖南省粮食播种面积” 统计图中获取数据，2021 年播种面积是 4758.4 千公顷 ，2022 年播种面积是 4765.5 千公顷．
增加的面积千公顷．
故答案为：；
（2）解：湖南省单位面积粮食产量数据（单位：公斤 / 公顷）2019 - 2022 年分别为 6444、6431、6461、6333．
其平均值．
全国单位面积粮食产量数据（单位：公斤 / 公顷）2019 - 2022 年分别为 5720、5734、5805、5801．
其平均值．
所以．
观察数据，湖南省单位面积粮食产量数据波动相对较大 ，全国单位面积粮食产量数据相对更集中，所以．
故答案为：，；
（3）解：已知 2023 年全国粮食总产量万吨，增长率．
所以2024 年全国粮食总产量（万吨）
23．某数学实践活动小组安排了一次主题项目学习，请你利用所学知识回答表格中的问题．
实践主题 数学来源于生活，数学服务于生活
实践目标 运用所学知识进行实地测量，深入探究数学知识
工具准备 测角仪、测距仪、作图工具等
测量方案 【实践场地】 学校有一块三角形池塘，两边，紧靠围墙，为一条笔直小路，无法直接确定池塘的边长，
【实践过程】 ①用测角仪测量围墙与小路所成夹角，； ②用测距仪测量小路的长
【数据收集】 ，，
提出问题 （1）两面围墙的夹角的度数为 ； （2）三角形池塘的面积为多少
深入探讨 （3）如何利用测量数据求出的值
【答案】（1）
解：（2）过点C作于点F，如图所示：
由（1）可知：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）过点A作于点G，如图所示：
由（2）可得：，，
∴，
∴，
∴．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
∵，
∴；
故答案为：45°；
【分析】（1）根据邻补角求出∠BAC=30°，然后根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得∠ABC=∠ACD-∠BAC，从而代值计算即可；
（2）过点C作于点F，根据∠BAC的正弦函数及特殊锐角三角函数值求出CF的长，由 ∠ BAC的余弦函数及特殊锐角三角函数值求出AF的长，由等腰直角三角形性质求出BF=CF，然后根据线段和差由AB=AF+BF算出AB的长，进而利用三角形面积公式列式计算即可；
（3）过点A作于点G，由等腰直角三角形性质得出AG=BG，由∠ABC的正弦函数及特殊锐角三角函数值算出AG，再根据线段和差求出CG，最后在Rt△ACG中，利用正切函数的定义即可求出tan75°的值.
24．如图，是的外接圆，， 点 D 是上一点，连接，延长至点F，连接， 使得．
（1）试判断 与 的位置关系，并说明理由；
（2）若，， 求的长．
【答案】（1）解： 与相切，理由如下：
∵是的外接圆，，
∴是直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
即，
∴ 与相切
（2）解：在中，，
∵
∴，
∴，
∴
连接，，作于点H，则
∵，
∴
∴
∴，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴BD=CD，
又∵DH⊥BC，
∴垂直平分，
∵
∴在的垂直平分线上，
∴D、H、O三点共线，
∴
∴
【知识点】垂径定理；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由由圆周角定理及弧、弦、圆心角的关系判断出AB是圆的直径，再根据直径所对的圆周角为90°得出∠ADB=90°，由直角三角形两锐角互余、等量代换及角的构成可推出∠BAF=90°，从而根据垂直半径外端点的直线就是圆的切线可得结论；
（2）在Rt△ABF中，利用勾股定理算出BF=5，由等面积法求出AD的长，进而再在Rt△ADB中，利用勾股定理算出BD的长，然后根据线段和差算出DF的长；连接，，作于点H，则，由有两组角相等的两个三角形相似证明，由相似三角形对应边成比例建立方程得到；由直角三角形两锐角互余、角的构成、同角的余角相等及同弧所对的圆周角相等可推出∠AFB=∠BCD，由等量代还得出∠DBC=∠BCD，由等角对等边得出BD=CD，由等腰三角形的三线合一得出DH垂直平分BC，然后根据到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，可证明D、H、O三点共线，得到，由勾股定理即可求出的长．
25．问题情境
“综合与实践”课上，老师提出如下概念：将三角形纸片折叠，使顶点A 的对应点落在边上点 D 处，折痕为， 若与均为等腰三角形，我们称折痕是的双等腰折痕．
初步尝试：
（1）如图①，若点E，F分别是的边，的中点，求证：折痕是的双等腰折痕；
类比探究：
（2）如图②，在三角形纸片中，，是的双等腰折痕，且点E为的中点，连接，交于点P， 若，，求 的值；
拓展应用：
（3）如图③，在三角形纸片中，是的双等腰折痕，．若是的顶角，折痕，点A到折痕的距离为4，求边的长．
【答案】（1）证明：由折叠可知：，
∵点E，F分别是的边，的中点，
∴，
∴，
∴与均为等腰三角形，
∴折痕是的双等腰折痕；
（2）解：∵是的双等腰折痕，
∴与均为等腰三角形，
∵点E为的中点，且，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由折叠可知：，
∴点F是的中点，
∴，
∴，
∵，，
∴由勾股定理可得，
∴，
过点E作于点M，如图所示：
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：由折叠可知：，
∵，
∴，
∴四边形是菱形，
连接，交于点H，过点F作于点N，如图所示：
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的双等腰折痕，
∴与均为等腰三角形，
∵是的顶角，
∴∠BED=∠BDE，
∵在菱形中，，DF∥AE，
∴ ∠BDE=∠C=∠DFC=∠BAC=∠BED，
∴，
过点D作于点R，
∴，
∴，
∴
【知识点】菱形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）由折叠性质得，由中点定义得AE=BE，AF=FC，则，然后根据等腰三角形定义可得△BDE与△CDF都是等腰三角形，进而根据新定义即可得出结论；
（2）由题意易得与均为等腰三角形，由中点定义及折叠性质可推出BE=ED，由等边对等角得，由折叠性质、直角三角形两锐角互余、平角定义及等角的余角相等推出∠C=∠FDC，由等角对等边得出FD=FC，结合折叠推出AF=FC，由三角形中位线定理得出EF∥BC，且EF=BC，由平行于三角形一边的直线截其它两边延长线，所截三角形与原三角形相似得出；在Rt△ABC中，利用勾股定理算出BC=10，由余弦函数定义求出；过点E作于点M，由等哟啊三角形的三线合一得出BD=2BM，在Rt△BME中，由∠ABC的余弦函数求出BM，从而可得BM的长，最后根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方求解即可；
（3）由折叠及已知得AE=ED=FD=AF，由四边相等的四边形是菱形得出四边形AEDF是菱形；连接，交于点H，过点F作于点N，由菱形对角线垂直平分得，由勾股定理得AE=ED=DF=AF=5，根据菱形面积公式及等面积法求出FN，再利用勾股定理算出AN，则；由菱形对边平行得ED∥AC，DF∥AE由平行线性质推出∠BDE=∠C=∠DFC=∠BAC=∠BED，由等角对等边得出FD=DC=5；过点D作DR⊥AC于点R，由等腰三角形的三线合一及等角同名三角函数值相等可求出CR，进而得到FC，最后根据线段和差可算出AC.
26．在平面直角坐标系中，抛物线（为常数，）的顶点为P，与x轴相交于两点（点A在点B 的左侧），与y轴相交于点C，轴交抛物线于点D．
（1）若，求点B的坐标；
（2）在（1）的条件下，点M 是第一象限内抛物线上的一个动点，设点M 的横坐标为m，连接，若，求m的值；
（3）过点P 作于点F， 若，是否存在抛物线，使得 若存在，求此抛物线的表达式，若不存在，请说明理由
【答案】（1）解：当，抛物线解析式为，
令，则，
整理得，
，，
点A在点B的左侧，
，．
（2）解：设点坐标为，过点作轴于点交于点，如图所示，
当，，
，
，，
，
轴，，
，
四边形为矩形，
，，
，
，即
将代入，即，
整理得，
解得，（舍去），
．
（3）解：存在，理由如下，
，即，
抛物线，即为，
设，，则为方程的两个根，
，，
，
，
令，得，即，
，，
顶点，
，
，，
，
，
整理得，
解得，（舍去）
，，
故存在抛物线，使得．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与坐标轴的交点问题；矩形的判定与性质；解直角三角形—边角关系；数形结合
【解析】【分析】（1）易得抛物线解析式为，零抛物线解析式中的y=0算出对应的x的值即可求得点B的坐标；
（2）点坐标为，过点作轴于点交于点，令（1）中抛物线解析式中的x=0算出y的值可得点C(0，2)，由由直角三角形两锐角互余、结合已知及同角的余角相等推出；由三个内角为直角的四边形是矩形得四边形CEFO为矩形，由矩形对边相等得CE=OF=m，ME=n-2；由正切函数定义求得求得，由等角同名三角函数值相等可得，即，从而可用含m的式子表示出点M的坐标，将点M的坐标代入抛物线解析式求解即可；
（3）若，则抛物线为，设，，则为方程的两个根，利用根与系数的关系得到，，利用，得到；求得，顶点，由两点间距离公式表示出PF、CF，代入，解方程即可求解.
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