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第一单元倍数与因数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．在下面的括号里填上适当的质数，使这个式子成立．此题共有( )种填法（交换加数位置，算同一种填法）．( )+( )=30．
A．2 B．3 C．4 D．5
2．如果M＝2×3×5，N＝2×3×3，则M和N的最大公因数是（ ）。
A．2 B．3 C．6 D．无法确定
3．个位上是（ ）的数既是2的倍数又是5的倍数．
A．4 B．2 C．5 D．0
4．在自然数1—10中，有三个连续的合数，它们的和是（ ）
A．29 B．28 C．27 D．26
5．要使4是5的倍数，里有（ ）种填法。
A．1 B．2 C．8 D．无数
6．要使三位数15□既是3的倍数，又是5的倍数，□里可以填的数是（ ）。
A．0 B．3 C．5 D．6
二、填空题
7．“6□”是3的倍数，□里可以填( )，“3□”是5的倍数□里可以填( )
8．最小的奇数与最小的质数、最小的合数相加，和是( )。
9．华罗庚是我国著名的( )。
10．把50以内6和8的倍数、公倍数分别填在下面的圈里，再找出它们的最小公倍数。
6和8的最小公倍数是（ ）。
三、判断题
11．15既是奇数又是合数。( )
12．m、n是连续的两个非零自然数，它们的最小公倍数是m和n的积． ( )
13．两个质数的和一定是合数。( )
14．一个质数，至少有3个因数。( )
四、解答题
15．有两根绳子，一根长36分米，一根长48分米，把它们都剪成长度相等的小段，而且没有剩余．每小段最长是多少分米？一共可以剪成几段？
16．将一批图书分给10个或15个或20个小朋友都恰好能分完，这批图书至少有多少本？
17．我们知道，每个自然数都有因数，对于一个自然数a，我们把小于a的正的因数叫做a的真因数．如10的正因数有1、2、5、10，其中1、2、5是10的真因数．
把一个自然数a的所有真因数的和除以a，所得的商叫做a的“完美指标”．如10的“完美指标”是（1+2+5）÷10=．
一个自然数的“完美指标”越接近1，我们就说这个数越“完美”．如8的“完美指标”是（1+2+4）÷8=，10的“完美指标”是，因为比更接近1，所以我们说8比10更完美．
（1）试分别计算5、6、9的“完美指标”；
（2）试找出比10大，比20小的自然数中，最“完美”的数．
18．将自然数1，2，3，4，5，6一次重复写下去，得到多位数123456123456……组成一个988位数。这个数字是否含有因数3？是不是2的倍数？
19．一个最普通的火柴游戏就是两人一起玩，先置若干根火柴于桌上，两人轮流取，每次所取的数目可先做一些限制，规定取走最后一根火柴者获胜．
（1）规则一：若限制每次所取的火柴数目最少1根，最多3根，则如何制胜？
例如：桌面上有n＝15根火柴，甲、乙两人轮流取，甲先取，则甲应如何取才能制胜？
（2）规则二：限制每次所取的火柴数目为1至4根，则如何制胜？
（3）规则三：限制每次所取的火柴数目不是连续的数，而是一些不连续的数，如1、3、7，则又该如何制胜？
（4）规则四：限制每次所取的火柴数是1或4(一个奇数，一个偶数)
《第一单元倍数与因数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 B C D C B A
1．B
【详解】可从最小的质数开始，2+28=30，其中28不是质数，不符合要求．3+27=30,27也不是质数，不符合要求．以此类推，找到7+23=30 11+19=30 13+17=30，共三组符合要求的算式，所以正确答案是B．其他答案不符合要求．
考点：质数的概念．
2．C
【分析】根据题意可知，M分解质因数是M＝2×3×5，N分解质因数是N＝2×3×3，两个数的共有质因数的乘积即为最大公因数，由此即可选择。
【详解】由分析可知：
M和N的最大公因数是：2×3＝6
故答案为：C
【点睛】本题主要考查最大公因数的求法，熟练掌握最大公因数的求法并灵活运用。
3．D
【详解】【解答】解：个位上是0的数既是2的倍数又是5的倍数.
故答案为D
【分析】个位数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数，个位数字是0或5的数是5的倍数，所以既是2的倍数又是5的倍数的个位数字一定是0.
4．C
【详解】在自然数1—10中，
只有8、9、10是三个连续的合数，
它们的和是8+9+10=27
5．B
【分析】5的倍数特征：个位上是0或5的数是5的倍数。据此解答。
【详解】
要使4是5的倍数，里有2种填法。
故答案为：B
6．A
【分析】3的倍数特征：每一位上数字之和能被3整除；5的倍数特征：个位上是0或5的数；要使15□是5的倍数，个位可以是5、0；又要是3的倍数，则1＋5＋□应是3的倍数；据此可知□里可以填0。
【详解】因为是5的倍数，所以15□的□只能填0或者5，而1＋5＋5＝11不是3的倍数，1＋5＋0＝6是3的倍数，所以□里可以填的数是0。
故答案为：A
【点睛】此题主要考查了2、3、5的倍数特征，要熟练掌握。
7． 0 3 6 9 5 0
【详解】略
8．7
【分析】根据对奇数、质数和合数的了解，可知最小的奇数是1，最小的质数是2，最小的合数是4，求出它们的和即可。
【详解】最小的奇数是1，最小的质数是2，最小的合数是4，则1＋2＋4＝7，所以和是7。
【点睛】此题考查的目的是理解掌握奇数、质数、合数的意义，关键是明确这几类数中最小的分别是几。
9．数学家
【分析】华罗庚是我国著名的数学家，他被称为中国现代数学之父。据此解答即可。
【详解】根据分析可知，华罗庚是我国著名的数学家。
【点睛】本题属于常识性考查，注意平时多积累。
10．见详解；24
【分析】求一个数的倍数的方法：用这个数分别乘以自然数1，2，3，4，5…，所得积就是这个数的倍数，据此写出6和8的倍数，然后填在圈里。
【详解】
6和8的最小公倍数是24。
11．√
【分析】整数中，能被2整除的数是偶数，不能被2整除的数是奇数；质数是自然数中，除了能被1和本身整除外不再能被其它数整除的数，合数是自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数，1既不是质数也不是合数。根据奇数和合数的定义作答。
【详解】15÷2＝7……1，不能被2整除，所以是奇数
15＝1×15＝3×5，能被4个数整除，所以是合数；
所以15既是奇数又是合数。
故答案为：√
【点睛】本题考查奇数和合数的意义，要理解意义并能用它判断数的奇偶性和是否为质数或合数。
12．√
【详解】略
13．×
【详解】2是质数，它与其它的质数相加时经常还会是质数，例如：2＋3＝5，5还是质数；
故答案为：×
14．×
【分析】质数是指除了1和它本身的两个因数以外再没有其他的因数的数。合数是指就除了1和它本身的两个因数以外还有其他的因数的数。据此解答。
【详解】根据质数的定义可知，质数只有1和它本身的这两个因数，所以原题的说法是错误的。
故答案为：×
【点睛】此题主要明确质数与合数的定义以及它们之间的区别。
15．每小段最长12分米，一共可以剪成7段
【分析】先求36、48的最大公因数，再求可以剪成多少段。
【详解】36＝2×2×3×3
48＝2×2×2×2×3
2×2×3＝12（分米）
36÷12＋48÷12
＝3＋4
＝7（段）
答：每小段最长12分米，一共可以剪成7段。
【点睛】此题主要考查学生应用求几个数的最大公因数的方法解决实际问题的能力。
16．60 本
【分析】根据题意，这批图书的数量是10、15和20的公倍数。题目要求“至少”有多少本，即求10、15和20的最小公倍数。利用短除法或分解质因数的方法求出最小公倍数即可。
【详解】10＝2×5
15＝3×5
20＝2×2×5
10、15和20最小公倍数为：2×2×3×5＝60（本）
答：这批图书至少有 60 本。
17．，1，；16
【详解】试题分析：（1）根据定义的新的运算意义，分别找出5、6、和9的正因数，再分别找出它们的真因数，最后再由“完美指标”的意义，列式即可解答；
（2）根据“完美指标”的意义知道，自然数的真因数越多，此数越完美；因为在11﹣19的数中，11、13、17、19是质数，真因数只有1，所以先排除此三个数，再分别找出12、14、15、16、18的正因数，再分别找出它们的真因数，最后再由“完美指标”的意义，分别求出“完美指标”．
解：（1）5的正因数有：1，5，其中1是5的真因数，
完美指标：1÷5=，
6的正因数有：1，2，3，6，其中1，2，3是6的真因数，
完美指标：（1+2+3）÷6=1，
9的正因数有：1，3，9，其中1，3是9的真因数，
完美指标：（1+3）÷9=，
（2）12的正因数有：1、2、3、4、6、12，其中1、2、3、4、6是真因数，
完美指标：（1+2+3+4+6）÷12=≈1.33，
14的正因数有：1、2、7、14，其中1、2、7是真因数，
完美指标：（1+2+7）÷14=≈0.71，
15的正因数有：1、3、5、15，其中1、3、5是真因数，
完美指标：（1+3+5）÷15==0.6，
16的正因数有：1、2、4、8、16，其中1、2、4、8是真因数，
完美指标：（1+2+4+8）÷16=≈0.94，
18的正因数有：1、2、3、6、9、18，其中1、2、3、6、9是真因数，
完美指标：（1+2+3+6+9）÷18=≈1.17，
由以上所求的完美指标知道，16的完美指标最接近1，
所以，比10大，比20小的自然数中，最“完美”的数是16；
答：5、6、9的“完美指标”分别是、1、；比10大，比20小的自然数中，最“完美”的数是16．
点评：解答此题的关键是，根据所给出的新的运算方法，即完美指标的意义及计算方法，找出对应的数，列式解决问题．
18．不含因数3，是2的倍数
【详解】一个循环周期是6，988÷6=164（个周期）……4，因为余数是4，所以这个数的尾数是4，是2的倍数；1+2+3+4+5+6=21，一个周期的数字之和是21，21×164=3444，又因为余数是4，则988位数的末四位是1234，1+2+3+4=10，3444+10=3454，3+4+5+4=16，16不是3的倍数，所以这个数不含因数3，是2的倍数。
19．（1）解:为了取得最后一根，甲必须最后留下零根火柴给乙，故在最后一步之前的轮取中，甲不能留下1根或2根或3根，否则乙就可以全部取走而获胜．如果留下4根，则乙不能全取，则不管乙取几根(1或2或3)，甲必能取得所有剩下的火柴而赢了游戏．同理，若桌上留有8根火柴让乙去取，则无论乙如何取，甲都可使这一次轮取后留下4根火柴，最后也一定是甲获胜．由上述分析可知，甲只要使得桌面上的火柴数为4、8、12、16……让乙去取，则甲必稳操胜券．因此若原先桌面上的火柴数为15，则甲应先取3根(因为15－3＝12)，若原先桌面上的火柴数为18，则甲应先取2根(因为18－2＝16)
（2）解:有n根火柴，每次可取1至k根，则甲每次取后所留的火柴数目必须为k＋1的倍数
（3）解:若开局是奇数，则先取者必胜；若开局为偶数，则先取者会输
（4）解:若甲先取，则甲每次取时所留火柴数为5的倍数或5的倍数加2
【详解】【解答】规则一：若限制每次所取的火柴数目最少1根，最多3根，则为了取得最后一根，甲必须最后留下零根火柴给乙，故在最后一步之前的轮取中，甲不能留下1根或2根或3根，否则乙就可以全部取走而获胜．如果留下4根，则乙不能全取，则不管乙取几根(1或2或3)，甲必能取得所有剩下的火柴而赢了游戏．同理，若桌上留有8根火柴让乙去取，则无论乙如何取，甲都可使这一次轮取后留下4根火柴，最后也一定是甲获胜．由上述分析可知，甲只要使得桌面上的火柴数为4、8、12、16……让乙去取，则甲必稳操胜券．因此若原先桌面上的火柴数为15，则甲应先取3根(因为15－3＝12)，若原先桌面上的火柴数为18，则甲应先取2根(因为18－2＝16)；
规则二：限制每次所取的火柴数目为1至4根，则有n根火柴，每次可取1至k根，则甲每次取后所留的火柴数目必须为k＋1的倍数；
规则三：限制每次所取的火柴数目不是连续的数，而是一些不连续的数，如1、3、7，则若开局是奇数，则先取者必胜；若开局为偶数，则先取者会输；
规则四：限制每次所取的火柴数是1或4(一个奇数，一个偶数)，则若甲先取，则甲每次取时所留火柴数为5的倍数或5的倍数加2.
故答案为规则一：若限制每次所取的火柴数目最少1根，最多3根，则为了取得最后一根，甲必须最后留下零根火柴给乙，故在最后一步之前的轮取中，甲不能留下1根或2根或3根，否则乙就可以全部取走而获胜．如果留下4根，则乙不能全取，则不管乙取几根(1或2或3)，甲必能取得所有剩下的火柴而赢了游戏．同理，若桌上留有8根火柴让乙去取，则无论乙如何取，甲都可使这一次轮取后留下4根火柴，最后也一定是甲获胜．由上述分析可知，甲只要使得桌面上的火柴数为4、8、12、16……让乙去取，则甲必稳操胜券．因此若原先桌面上的火柴数为15，则甲应先取3根(因为15－3＝12)，若原先桌面上的火柴数为18，则甲应先取2根(因为18－2＝16)；
规则二：限制每次所取的火柴数目为1至4根，则有n根火柴，每次可取1至k根，则甲每次取后所留的火柴数目必须为k＋1的倍数；
规则三：限制每次所取的火柴数目不是连续的数，而是一些不连续的数，如1、3、7，则若开局是奇数，则先取者必胜；若开局为偶数，则先取者会输；
规则四：限制每次所取的火柴数是1或4(一个奇数，一个偶数)，则若甲先取，则甲每次取时所留火柴数为5的倍数或5的倍数加2.
【分析】根据因数和倍数的运用进行解答.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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